Lineare Algebra und analytische Geometrie

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1 Lineare Algebra und analytische Geometrie von Günther Eisenreich Mit 107 Abbildungen und 2 Tabellen 3., erweiterte und berichtigte Auflage Akademie Verlag

2 Inhaltsverzeichnis A. Allgemeine Vorbemerkungen Gegenstand der Untersuchung Erkenntnistheoretisches. Axiomatisierung Literatur 15 B. Logische Grundbegriffe. Mengen, Abbildungen, Relationen Logische Grundbegriffe Mengen Mengenbegriff Operationen mit Mengen Rechenregeln 21 Aufgaben Abbildungen Grundbegriffe Surjektive, injektive, bijektive Abbildungen Zusammensetzung von Abbildungen. Diagramme Graph einer Funktion. Kartesisches Produkt Relationen und Operationen Binäre Relationen Äquivalenzrelationen Mächtigkeit w-stellige Relationen Operationen 35 Aufgaben 36 C. Geometrie Synthetischer Aufbau der Geometrie Analytischer Aufbau der Geometrie Allgemeines Analytische Geometrie der Geraden Koordinaten Orientierung der Geraden Teilverhältnis Gruppenbegriff 50

3 8 Inhaltsverzeichnis Schwerpunkt. Baryzentrische Koordinaten 52 Aufgaben Permutationen. Homomorphie und Isomorphie von Gruppen Analytische Geometrie der Ebene. Vektorrechnung Koordinaten in der Ebene Geraden der Ebene Parallelität von Geraden Geradenbüschel Zusammenhang mit linearen Gleichungen 62 Aufgaben Vektoren Definition der Vektoren Addition von Vektoren Multiplikation von Vektoren mit Zahlen Kollinearität Koordinaten. Ortsvektoren Translationen ' Geradengleichung in Parameterform Schwerpunkt. Baryzentrische Koordinaten 74 Aufgaben Anwendungen baryzentrischer Koordinaten Ein Hilfssatz Satz von CBVA Satz von MENELAOS 80 Aufgabe Skalarprodukt Kovariante und kontravariante Koordinaten Längenquadrat. Quadratische Formen. Winkel zwischen Vektoren Aufgaben.. "* Orientierung der Ebene Orientierter Flächeninhalt HüSSEsche Normalform der Geradengleichung 95 Aufgaben Elementare analytische Geometrie des Raumes Vektoren im Raum. Koordinaten Ebenengleichung HESSEsche Normalform der Ebenengleichung 102 Aufgaben Parallelität von Ebenen Geraden im Raum Ebenenbüschel Ebenehbündel. Geradenbündel 106 Aufgaben Orientierung des Raumes Vektorprodukt Spatprodukt Entwicklungssätze *. 114 Aufgaben Einführung des n-dimensionalen Raumes Vektorraum Definition Folgerungen aus den Axiomen Untervektorraum 119

4 Inhaltsverzeichnis Abhängigkeit Folgerungen aus den Abhängigkeitssätzen Basis eines Vektorraumes 126 Aufgaben Affiner Raum Definition des affinen Raumes Affiner Unterraum Koordinatensystem Parameterdarstellung affiner Unterräume Parallelität 130 Aufgaben 131 D. Lineare Gleichungssysteme. Matrizen und Determinanten Begriff des linearen Gleichungssystems. Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen Vektorraum der linearen Abbildungen. Matrizenaddition Hintereinanderausführung linearer Abbildungen. Matrizenmultiplikation Zusammenfassung GAxrsssches Eliminationsverfahren 140 Aufgaben Rang Lösbarkeitskriterien für lineare Gleichungssysteme Struktur der Lösung 147 Aufgaben Beschreibung von Vektorräumen und affinen Räumen durch lineare Gleichungssysteme 151 Aufgabe Lineare Funktionale Isomorphie und Homomorphie von Vektorräumen Reguläre Matrizen Umformung von Matrizen auf Dreiecks- und auf Diagonalgestalt Elementarteilersatz 162 Aufgaben Determinanten Motivierung. Allgemeiner Determinantenbegriff Folgerungen aus der allgemeinen Determinantendefinition Gerade und ungerade Permutationen Explizite Determinantendefinition CBAMBBsche Regel Multiplikationssatz LAPLAOEscher Entwicklungssatz 174

5 10 Inhaltsverzeichnis Adjunktenmatrix Rangbestimmung mittels Determinanten 177 Aufgaben 178 E. Koordinatentransformationen. Affine und lineare Abbildungen. Orientierung Koordinatentransformationen Übergang zu einer neuen Basis im Vektorraum. Transformation der Vektorkoordinaten Transformation der Punktkoordinaten Affine Abbildungen Begriff der affinen Abbildung Geometrische Eigenschaften affiner Abbildungen Verschiedene geometrische Eigenschaften Geometrische Charakterisierung affiner Abbildungen Bestimmung einer affinen Abbildung durch n +1 Punkte 190 Aufgaben Orientierung und Koordinatentransformation Synthetische Definition der Orientierung Analytische Charakterisierung der Orientierung Anwendung auf die Flächeninhalts- und Volumenberechnung Aufgaben Lineare Abbildungen Beschreibung einer linearen Abbildung bezüglich einer beliebigen Basis Übergang zu neuen Basen Äquivalenz von Matrizen Ähnlichkeit von Matrizen Eigenwertproblem Motivierung. Charakteristische Gleichung Satz von CAYBEY-HAMILTON Eigenraum. Vielfachheit von Eigenwerten 209 Aufgaben Nichtdiagonalisierbare Matrizen. Direkte Summe von Vektorräumen. JOB- DANsche Normalform Invariante Unterräume Direkte Summe JoBDANsche Normalform 221 Aufgaben Beweis für die Existenz der JoBDANschen Normalform 226 Aufgaben 233 F. Metrische Geometrie. Quadratische Formen Metrischer Baum Skalarprodukt ScHMiDTsches Orthogonalisierungsverfahren Totalsenkrechte Vektorräume 239

6 Inhaltsverzeichnis Bewegungen Begriff der Bewegung Geradentreue. Affinität Eigentliche und uneigentliche Bewegungen Translationen Drehungen ' Orthogonale Matrizen Geometrische Deutung Drehachse Eigenwerte einer orthogonalen Matrix 248 Aufgaben Quadratische Formen Begriffsbestimmung. Beispiele Definitheit Matrizenschreibweise. Koordinatentransformation Hauptachsentransformation Eigenwerte einer symmetrischen Matrix Hauptachsensatz Orthogonalität der Eigenvektoren Praktische Durchführung der Hauptachsentransformation. Beispiele Kriterien für die Definitheit quadratischer Formen Zusammenhang mit den Eigenwerten SYLVESTBRsches Definitheitskriterium SYLVESTEBsches Trägheitsgesetz Anwendung der Hauptachsentransformation auf affine Abbildungen Komplexe Geometrie. HEBMiTEsche Formen 263 Aufgaben 264 G. Kurven und Flächen zweiter Ordnung. Anfangsgründe der projektiven Geometrie Kurven zweiter Ordnung Definition Normalformen Klassifikation Bestimmung von Drehwinkel und Mittelpunkt Einige allgemeine Eigenschaften von Kurven zweiter Ordnung Geraden auf Kurven zweiter Ordnung Bestimmung einer Kurve zweiter Ordnung Nähere Untersuchung der eigentlichen Kegelschnitte Ellipse und Hyperbel Parabel Scheitelgleichung der Kegelschnitte Polarkoordinaten Pol und Polare 276 Aufgaben Projektive Geometrie ' Einführung der projektiven Ebene Dualität Projektiver Raum 280

7 12 Inhaltsverzeichnis 2.4. Projektive Abbildungen Projektive Skala auf einer Geraden Doppelverhältnis 283 Aufgabe Bestimmung einer projektiven Abbildung Trennende Punktepaare. Charakterisierung projektiver Abbildungen Korrelationen Kegelschnitte in der projektiven Ebene Polarverwandtschaft Konjugierte Durchmesser Anwendung des Doppelverhältnisses Invarianz des Doppelverhältnisses beim Projizieren Satz vom vollständigen Vierseit Konstruktion des 4. harmonischen Punktes Anwendung des Doppelverhältnisses auf eine involutorische Projektivität Projektive Klassifikation der Kegelschnitte Kurven zweiter Klasse 294 Aufgaben Flächen zweiter Ordnung Definition. Normalformen Gestaltliche Verhältnisse Geradenscharen Klassifikation Polarverwandtschaft Erlanger Programm 301 Sachwortverzeichnis 303