Matrizentheorie. von F. R. Gantmacher. Mit 11 Abbildungen

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1 Matrizentheorie von F. R. Gantmacher Mit 11 Abbildungen 0 w VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1986

2 Inhalt Erster Teil: Allgemeine Theorie Matrizen und Matrizenoperationen Definition der Matrix. Bezeichnungen 19 Addition und Multiplikation von Matrizen 21 Quadratische Matrizen 31 Assoziierte Matrizen. Minoren inverser Matrizen 38 Inversion rechteckiger Matrizen. Die pseudoinverse Matrix 41 Der Gaußsche Algorithmus Die Gaußsche Eliminationsmethode 50 Eine mechanische Interpretation des Gaußschen Algorithmus 55 Der Sylvestersche Determinantensatz.. 57 Zerlegung quadratischer Matrizen in Produkte von Dreiecksmatrizen Übermatrizen. Das Rechnen mit Übermatrizen. Der verallgemeinerte Gaußsche Algorithmus 66 Lineare Operatoren im n-dimensionalen Vektorraum Vektorräume 78 Lineare Operatoren, die einen w-dimensionalen Vektorraum in einen m-dimensionalen Vektorraum abbilden 84 Addition und Multiplikation linearer Operatoren 86 Koordinatentransformationen 87 Äquivalente Matrizen. Der Rang eines Operators. Die Sylvestersche Ungleichung 89 Lineare Operatoren, die einen»-dimensionalen Vektorraum in sich abbilden. 93 Charakteristische Wurzeln und Eigenvektoren linearer Operatoren Lineare Operatoren einfacher Struktur 100

3 12 Inhalt 4. Charakteristisches Polynom und Minimalpolynom einer Matrix 4.1. Addition und Multiplikation von Matrizenpolynomen Rechte und linke Division von Matrizenpolynomen. Der verallgemeinerte Bezoutsche Satz Das charakteristische Polynom einer Matrix. Adjungierte Matrizen Die Methode von D. K. FADDEEV zur gleichzeitigen Berechnung des charakteristischen Polynoms und der adjungierten Matrix Das Minimalpolynom einer Matrix Matrizenfunktionen 5.1. Definition der Matrizenfunktion Das Lagrange-Sylvestersche Interpolationspolynom Andere Wege zur Bestimmung von f(a). Die Komponenten der Matrix A Darstellung von Funktionen durch Matrizenreihen Einige Eigenschaften von Matrizenfunktionen.... ' Die Anwendung der Matrizenfunktionen zur Integration linearer Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten Stabilität im Fall linearer Systeme Äquivalente Transformationen von Polynommatrizen. Analytische Elementarteilertheorie 6.1. Elementare Transformationen von Polynommatrizen Die kanonische Form einer A-Matrix Invariantenteiler und Elementarteiler von Polynommatrizen Äquivalenz linearer Binome Kriterien für die Ähnlichkeit von Matrizen Normalformen von Matrizen ' Die Elementarteiler der Matrix f(a) Eine Methode zur Konstruktion der Transformationsmatrix Eine weitere Methode zur Konstruktion der Transformationsmatrix Die Struktur linearer Operatoren im w-dimensionalen Vektorraum. Geometrische Elementarteilertheorie 7.1. Das Minimalpolynom eines Vektors bzw. eines Vektorraumes (bezüglich eines gegebenen linearen Operators) Die Zerlegung eines Vektorraumes in invariante TJnterräume mit teilerfremden Minimalpolynomen Kongruenzen. Quotientenräume Die Zerlegung eines Vektorraumes in zyklische invariante Unterräume Normalformen einer Matrix Invariantenteiler. Elementarteiler Die Jordansche Normalform einer Matrix Die Methode von A. N. KBYLOV zur Transformation der Säkulargleichung. 217

4 Inhalt Matrizengleichungen 8.1. Die Gleichung AX = XB Der Spezialfall A = B. Vertauschbare Matrizen Die Gleichung AX XB = C Die skalare Gleichung f(x) = Gleichungen von Matrizenpolynomen Die m-ten Wurzeln regulärer Matrizen Die m-ten Wurzeln singulärer Matrizen Der Logarithmus einer Matrix Lineare Operatoren im unitären Raum 9.1. Vorbemerkungen Metrische Räume Die Gramsche Determinante Orthogonalprojektionen Die geometrische Bedeutung der Gramschen Determinante Orthogonalisierung Orthonormalbasen Adjungierte Operatoren Normale Operatoren im unitären Raum Spektren normaler, hermitescher und unitärer Operatoren Positiv semidefinite und positiv definite hermitesche Operatoren Polare Zerlegung linearer Operatoren im unitären Raum. Cayleysche Formeln Lineare Operatoren im euklidischen Raum Die polare Zerlegung linearer Operatoren und die Cayleyschen Formeln im euklidischen Raum Vertauschbare normale Operatoren Der pseudoinverse Operator Quadratische und hermitesche Formen Lineare Transformationen quadratischer Formen Die Transformation einer quadratischen Form in eine Summe von Quadraten. Das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen Die Methode von LAGRANGB zur Transformation einer quadratischen Form in eine Summe von Quadraten. Die Jacobische Gleichung Semidefinite und definite quadratische Formen Die Hauptachsentransformation quadratischer Formen Formenbüschel Extremaleigenschaften der charakteristischen Wurzeln regulärer Formenbüschel Kleine Schwingungen von Systemen mit n Freiheitsgraden Hermitesche Formen Hankeische Formen 341

5 14 Inhalt Zweiter Teil: Spezielle Fragen und Anwendungen 11. Komplexe symmetrische, schiefsymmetrische und orthogonale Matrizen Einige Sätze über komplexe orthogonale und unitäre Matrizen Die polare Zerlegung einer komplexen Matrix Normalformen komplexer symmetrischer Matrizen Normalformen komplexer schief symmetrischer Matrizen ' Normalformen komplexer orthogonaler Matrizen Singulare Matrizenbüschel Einführung Reguläre Matrizenbüschel Singulare Büschel Die kanonische Form singulärer Matrizenbüschel Die minimalen Indizes eines Büschels. Ein Kriterium für die strenge Äquivalenz von Matrizenbüscheln Singulare Büschel quadratischer Formen Anwendungen in der Theorie der Differentialgleichungen Matrizen mit nichtnegativen Elementen Allgemeine Eigenschaften Spektraleigenschaften unzerlegbarer nichtnegativer Matrizen Zerlegbare Matrizen Die Normalform einer zerlegbaren Matrix Primitive und imprimitive Matrizen Stochastische Matrizen Grenzwahrscheinlichkeiten homogener Markovscher Ketten mit endlich vielen Zuständen Vollständig nichtnegative Matrizen Oszillationsmatrizen Verschiedene Begularitätskriterien und die Lokalisierung der charakteristischen Wurzeln Das Regularitätskriterium von HADAMAED und seine Verallgemeinerungen Die Norm einer Matrix Die Verallgemeinerung des Hadamardsohen Kriteriums auf Übermatrizen Das Regularitätskriterium von FIEDLER Die Gersgorinschen Kreise und andere Lokalisierungsgebiete Anwendungen der Matrizenrechnung zur Untersuchung linearer Differentialgleichungssysteme Systeme linearer Differentialgleichungen mit stetigen Koeffizienten. Grundbegriffe 469

6 Inhalt Die Ljapunovsche Transformation Reduzierbare Systeme Die kanonische Form reduzierbarer Systeme. Der Satz von EBTJGEST DerMatrizant Das Produktintegral. Der Volterrasche Infinitesimalkalkül Differentialgleichungssysteme im Komplexen. Allgemeine Eigenschaften Das Produktintegral im Komplexen Isolierte singulare Stellen Schwach singulare Stellen Reduzierbare analytische Systeme Analytische Funktionen mehrerer Matrizen und ihre Anwendung zur Untersuchung von Differentialgleichungssystemen. Die Arbeiten von LAPPO-DAOTXEVSKIJ Das Routh-Hurwitzsche Problem und verwandte Fragen Einleitung Die Cauchyschen Indizes Der Routhsche Algorithmus Spezialfälle. Beispiele Der Satz von LJAPTJNOV Der Routh-Hurwitzsche Satz 541 * Die Formel von OBLANDO Sonderfälle des Routh-Hurwitzschen Satzes Die Methode der quadratischen Formen. Die Bestimmung der Anzahl der verschiedenen reellen Nullstellen eines Polynoms Unendliche Hankelsche Matrizen endlichen Ranges Die Bestimmung des Index einer gebrochenen rationalen Funktion mit Hilfe der Koeffizienten in Zähler und Nenner Ein zweiter Beweis des Routh-Hurwitzschen Satzes Einige Ergänzungen zum Routh-Hurwitzschen Satz. Das Stabilitätskriterium von LIENAED und CHTPAKT Einige Eigenschaften Hurwitzscher Polynome. Ein Satz von STIELTJES. Die Darstellung Hurwitzscher Polynome mit Hilfe von Kettenbrüchen Das Stabilitätsgebiet. Die Markovschen Parameter Der Zusammenhang mit dem Momentenproblem Der Zusammenhang der Hurwitzschen mit den Markovschen Determinanten Die Sätze von MABKOV und CEBYSEV Das verallgemeinerte Routh-Hurwitzsche Problem 598 Anhang von V. B. Lidskij Ungleichungen für charakteristische und singulare Wurzeln 1. Majorantenfolgen Die Horn-Neumannschen Ungleichungen 607

7 16 Inhalt 3. Die Weylschen Ungleichungen Maximal-Minimaleigenschaften von Summen und Produkten der charakteristischen Wurzeln hermitescher Operatoren Ungleichungen für charakteristische und singulare Wurzeln von Operatorsummen und -produkten Eine andere Aufgabenstellung bezüglich des Spektrums von Summen und Produkten hermitescher Operatoren 624 Literatur 632 ' Namen- und Sachverzeichnis 647 * s