Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Lineare Algebra und ökonomische Anwendung

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1 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Lineare Algebra und ökonomische Anwendung Von Siegmar Stöppler unter Mitarbeit von Wilbrecht Hollnagel TEGHNSGHfi HOCHSCHULE 0AKMSTA9T INSTITUT FOf Westdeutscher Verlag Opladen 1972

2 INHALTSVERZEICHNIS T E I L I EINLEITUNG 1 1. EINFÜHRUNG IN GRUNDBEGRIFFE UND PROBLEME PER LINEAREN ALGEBRA LINEARITÄT Linearformen und lineare Funktionen Lineare Gleichungen Operationen mit Linearformen und linearen Gleichungen 7 AUFGABEN ZU 1.1. DIE UMSATZFUNKTION ZU EINER LINE- AREN PREIS-ABSATZ-FUNKTION LINEARE GLEICRUNGSS1STEME U Problemstellung II Systematische Lösungsmethode für lineare Gleichungssysteme Geometrische Interpretation der Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare homogene Gleichungssysteme Lineare inhomogene Gleichungssysteme 18 AUFGABEN ZU 1.2. EIN MISCHUNGSBEISPIEL VEKTOREN IM R n Definition, Operationen und Regeln Lineare Gleichungen in n-vektoren Skalarprodukt, Norm und Abstand im R n 27 AUFGABEN ZU 1.3. EIN BEISPIEL ZUR LISTEN- VERARBEITUNG IN EINER BANK EIN BEISPIEL DER LINEAREN PROGRAMMIERUNG 31 III

3 2. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN AUSSAGENLOGIK \ Aussagen und Wahrheitswert Operationen mit Aussagen Implikation und Äquivalenz ' Beveisverfahren Zusammenfassung von Gesetzen der Aussagenlogik in der Aussagenalgebra 45 AUFGABEN ZU 2.1. ANALYSE EINFACHER ÖKONOMISCHER SÄTZE MENGENLEHRE Mengen Mengenoperationen Quantbren Beziehung zwischen Aussagen- und Mengenalgebra. Der strukturelle Aspekt 57 AUFGABEN ZU 2.2. ERFASSUNG EINES NETZPLANS UND AUFTRETENDE PROBLEME ALGEBRAISCHE STRUKTUREN Struktur mit einer Operation : Gruppe Strukturen mit zwei Operationen (+ und ): Körper und Ring 67 AUFGABEN ZU 2.S. DER MINIMALE TRANSPORTWEG IN EINEM REIHENFOLGEPROBLEM DER LINEARE VEKTORRAUM LINEARE VEKTORRÄUME UND UNTERRÄUME 72 3.J..1. Definition des Vektorraums und Beispiele Der (lineare) Unterraum eines Vektorraüms LINEARKOMBINATIONEN. ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT Linearkombination und Erzeugung von Unterraumen Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 77 IV

4 3.3. BASIS UND DIMENSION Basis und Austauschsätze Basis und Dimension Sumjnenraum und Dimensionssatz DIE LÖSBARKEIT LINEARER GLEICHUNGEN UND GLEI- CHUNGSSYSTEME Lineare Gleichungen im allgemeinen Vektorraum Lineare homogene Gleichungen Lineare inhomogene Gleichungen LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Der Rang einer Matrix Verfahren zur Bestimmung des Ranges einer Matrix Die Lösbarkeitskriterien eines linearen Gleichungssystems Basislösungen 94 AUFGABEN ZU 3. WEITERE ANALYSE DBS MISCHUNGSPROBLEMS MATRIZENRECHNUNG MATRIZEN UND OPERATIONEN Begriff der Matrix Addition von Matrizen und Multiplikation von Skalaren Matrizenmultiplikation Spezielle Matrizen 107 4,1.5.. Transposition und Symmetrie Blockmatrizen 110 AUFGABEN ZU 4.1. PROBLEM DER MATERIALVERFLECHTUNG IN EINEM BETRIEB REGULÄRE UND SINGULÄRE MATRIZEN, INVERSE Regularität und Singularität Iriverse einer Matrix Gaußscher Algorithmus zur Berechnung der Inversen Orthogonalmatrizen. Inverse von Blockmatrizen und andere spezielle Inverse Matrizenreihen und Leontief-Inverse 128

5 AUFGABEN ZU 4.2, EIN PROBLEM DER INPUT-OUTPUT- RECHNUflG 'DETERMINANTEN UND MATRIZEN Definition und Eigenschaften y Determinante, Rang und Inverse, Cramersche Regel Weitere skalare Funktionen auf Matrizen: Spur 143 AUFGABEN ZU 4.3. PROBLEME DER GEWÖHNLICHEN LINEAREN REGRESSION EIGENWERTPROBLEM. QUADRATISCHE FORMEN UND DEFINITE MATRIZEN Eigenwerte Eigenwerte symmetrischer Matrizen Nicht-negative unzerlegbare Matrizen, ihre Eigenwerte und ihre Leontief-Inversen Eigenwerte stochastischer Matrizen. Grenzverhalten von Potenzen stochastischer Matrizen Quadratische Formen Kriterien der Definität 165 AUFGABEN ZU 4.4. PROBLEME IN DER ORTHOGONALEN UND GEWÖHNLICHEN LINEAREN REGRESSION MATRIZEN UND LINEARE ABBILDUNGEN (TRANSFORMATIONEN) Abbildungen Lineare Abbildungen Probleme der Matrizenrechnung und Lineare Transformationen, 177 AUFGABEN ZU 4.S. LINEARE TRANSFORMATIONEN IM INPUT- OUTPUT-MODELL n-dimensionale GEOMETRIE UND LINEARE PROGRAMMIERUNG , DAS ALLGEMEINE PROBLEM DER LINEAREN PROGRAMMIERUNG PUNKTMENGEN, GERADEN UND HYPEREBENEN- ' KONVEXE MENGEN UND POLYEDER, BESCHRÄNKTHEIT UND EXTREMALPUNKTE 188

6 5.4. ZULÄSSIGE LÖSUNGEN DER LP-NEBENBEDINGUNGEN Ax_ = b_, x > 0, ECKEN UND KONVEXE POLYEDER KONVEXE KEGEL UND KONVEXE POLYEDERKEGEL J OPTIMALE LÖSUNGEN DES LP-PROBLEMS, ECKEN (BASIS-)TAUSCR UND SIMPLEXVERFAHREN SIMPLEXMETHODE UND SIMPLEXTABLEAU PROBLEM DER ANFANGSLÖSUNG. 2-PHASEN-METHODE' 209 AUFGABEN ZU S. DIE KOSTENOPTIMALE LÖSUNG DES MISCHUNGSPROBLEMS VEKTOR- UND MATRIZENRECHNUNG UND DIFFERENTIATION SKALARFUNKTIONEN MIT SKALAREN UND VEKTORIELLEN VARIABLEN, DER GRADIENT VEKTORIELLE FUNKTIONEN MIT VEKTORIELLEN VARIABLEN, -^ FUNKTIONALMATRIX, LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN EXTREMA EINER SKALARFUNKTION, MEHRERE VARIABLEN UND ZWEITE PARTIELLE ABLEITUNGEN 219 TEIL II 7. BETRIEBLICHE MATRIZENMODELLE PRODUKTIONS- UND KOSTENPLANUNG MIT MATRIZEN BEISPIEL EINES EINFACHEN BETRIEBSABLAUFS ERFASSUNG DER LEISTUNGSTABELLE DURCH MATRIZEN DIE KOPPLUNGS- UND STRUKTURMATRIX IM EINFACHEN BEISPIEL ERWEITERUNG DER KOPPLUNGSMATRIX: UMSATZMATRIZEN DER FERTIGUNGSSTELLEN PLANUNG DER STRUKTURMATRIX PLANUNG MIT NEBENBEDINGUNGEN FVF PRODUKTION UND DURCHSÄTZE. TRANSFORMATION IN EIN LP-PROBLEM 237 VII

7 7.7. MAXIMIERUNG DES-DECKUNGSBEITRAGS ÜBER DIE EINFLUSS- GRÖSSENABHÄNGIGEN KOSTEN ALS ZIELFUNKTION DES LP~ ' PROBLEMS LÖSUNG DES PLANUNGSPROBLEMS ALS LP-PROBLEM VOLKSWIRTSCHAFTLICHE INPUT-OUTPUT-MODELI.E PROVVKTIONSTHEORETISCHE GRUNDBEGRIFFE UND ANNAHMEN VORAUSSETZUNGEN DES INPUT-OUTPUT-GRUNDMODELUB,VON LEONTIEF DEFINITIONEN ' DAS PRODUKTIONSMODELL DIE EXISTENZ VON LÖSUNGEN IM LEONTIEF-PRODUKTIONS- MODELL Problemstellung Die Lösbarkeit für alle Naehfragekonstellationen bei Kenntnis der Lösung für eine einzige Lösung mit der Neumannschen Reihe. Direkter und indirekter Inputbedarf HAWKINS-SIMON-Bedingungen und ihre ökonomische Interpretation Technologiematrix und Polyederkegel. Ein weiteres Lösungskriterium MENGEN- UND WERTGRÖSSEN IM PRODUKTIONSMODELL DAS PREISMODELL PROBLEME IN LP-FORMULIERUNG ZUR VERBINDUNG VON PREIS- UND PRODUKTIONSMODELL ERWEITERUNGEN DES INPUT-OUTPUT-GRUNDMODELLS BEWERTETE MARKOV-PROZESSE UND POLITIK-OPTIMIERUNG WAHRSCHEINLICHKEITEN. GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEIN- LICHKEITSTHEORIE 273 VIII

8 9.2. WAHRSCHEINLICHKEITSBAUM UND STOCHASTISCHE PROZESSE MARKOV-PROZESSE VOLLSTÄNDIG ERGODISCHE PROZESSE. DIE GRENZWAHRSCHEIN- 282 LICHKEITEN 9.5. BEWERTUNG VON MARKOV-PROZESSEN STRATEGIEN UND POLITIKEN. DIE ITERATIVE POLITIKBE- STIMMUNG IM SEQUENTIELLEN ENTSCHEIDUNGSPROZESS DIE POLITIKOPTIMIERUNG IM STATIONÄREN MARKOV-PROZESS GEWÖHNLICHE LINEARE UND ORTHOGONALE REGRESSION LINEARE REGRESSION ' _ Einleitung: Begriffe der Regressionsrechnung Die Bestimmung der Regressionshyperebene nach der Methode der kleinsten Quadrate Herleitung wichtiger Eigenschaften der Hyperebene mit mit der geringsten quadratischen Abweichung Zwei Methoden zur Bestimmung der Summe der quadratischen Abweichungen Schematisches Verfahren zur Bestimmung der Regressions-Koeffizienten b und der minimalen Summe der quadratischen Abweichungen Das Bestimmtheitsmaß ORTHOGONALE REGRESSION Einleitung: Ein spezielles Regressionsproblem Bestimmung der Regressionsgeraden Lösung des Beispiels 31'7 LITERATURVERZEICHNIS 320 SACHVERZEICHNIS 323