Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II

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1 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II Lineare Wirtschaftsalgebra von Dr. Dietrich Ohse Professor für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Quantitative Methoden, an der Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main 5., verbesserte Auflage Verlag Franz Vahlen München

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort Symbolverzeichnis V XV Kapitel 1 Vektoren 1.1 Begriffliche Einführung Ordnungsrelationen Vektoroperationen Addition von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Vektorraum und geometrische Interpretation Vektorraum Geometrische Darstellung von Vektoren Eigenschaften von Vektoren Linearkombination von Vektoren Lineare Abhängigkeit/Lineare Unabhängigkeit Unterräume und geometrische Interpretation der linearen Abhängigkeit Dimension und Basis eines Vektorraumes Einheitsvektoren und Koordinaten von Vektoren Skalares Produkt von Vektoren Definition des skalaren Produktes Geometrische Interpretation des skalaren Produktes 35 Aufgaben zum Kapitel 1 37 Kapitel 2 Matrizen 2.1 Begriffliche Einführung Ordnungsrelationen Spezielle Matrizen Quadratische Matrizen Diagonalmatrizen Einheitsmatrizen Transponierte Matrizen Symmetrische Matrizen Dreiecksmatrizen Untermatrizen Blockstrukturen Matrizenoperationen Multiplikation mit einem Skalar 58

3 X Inhaltsverzeichnis Addition von Matrizen Multiplikation von Matrizen Dyadisches Produkt Ökonomische Anwendungen von Matrizen Materialverflechtung Technologische Matrix Matrixdarstellung einer Input-Output-Tabelle Netzwerk-Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Rang einer Matrix 88 Aufgaben zum Kapitel 2 92 Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme 3.1 Einführung Lösung linearer Gleichungssysteme Lösung einer linearen Gleichung Lösung eines Gleichungssystems Gleichungsoperationen Gaußschsr Algorithmus Algorithmen als Lösungsverfahren Prinzipieller Lösungsweg Rechentableau Algorithmus der Gaußschen Elimination Simultane Elimination und Substitution Aufwandsabschätzung von Algorithmen Teilweise Elimination und Substitution oder vollständige Elimination? Lineare Abhängigkeit/Lineare Unabhängigkeit Lineare Abhängigkeit von Gleichungen Lineare Unabhängigkeit von Gleichungen Widersprüchliche Gleichungen Konsequenzen der linearen Abhängigkeit Lösbarkeit von Gleichungssystemen Berechnung des Ranges einer Matrix Praxisrelevanz linearer Gleichungssysteme Eigenschaften von Modellen der Praxis Ökonomische Anwendungen linearer Gleichungssysteme Input/Output-Analyse Stationärer Zustand eines Markovprozesses Teilbedarfsrechnung durch Stücklistenauflösung Innerbetriebliche Kosten- und Leistungsverrechnung 163 Aufgaben zum Kapitel 3 168

4 Inhaltsverzeichnis XI Kapitel 4 Unterbestimmte Gleichungssysteme 4.1 Einführung Modellierung eines Kuppelproduktionsprozesses Basis eines unterbestimmten Gleichungssystems Pivotalgorithmen zur Berechnung verschiedener Basislösungen Elementarer Basistausch Verkürztes Tableau Homogene Gleichungssysteme Allgemeine Lösung eines homogenen Gleichungssystems Allgemeine Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems 197 Aufgaben zum Kapitel Kapitel 5 Matrixinversion 5.1 Die Inverse einer Matrix Zusammenhang zwischen der Lösung eines linearen Gleichungssystems und der Inversen der Koeffizientenmatrix Die Berechnung der Inversen Pivotierung außerhalb der Hauptdiagonalen Existenz der Inversen Ökonomische Bedeutung der Inversen Stücklistenauflösung durch Matrixinversion Bedarfsrechnung Pivotalgorithmen zur Matrixinversion Berechnung der Inversen ohne Einheitsmatrix Impliziter Spaltentausch Korrekte Zeilen- und Spaltenanordnung Algorithmus Matrizengleichungen 233 Aufgaben zum Kapitel Kapitel 6 Determinanten 6.1 Begriffliche Einführung Eigenschaften von Determinanten Die Berechnung einer Determinante Adjunkte und adjungierte Matrix Der Entwicklungssatz von Laplace Determinantenberechnung durch Triangulieren Hauptabschnittsdeterminanten Anwendungen von Determinanten Oamersche Regel Darstellung der Inversen einer Matrix 271 Aufgaben zum Kapitel 6 272

5 XII Inhaltsverzeichnis Kapitel 7 Quadratische Formen und Eigenwertprobleme 7.1 Quadratische Formen Definition quadratischer Formen Definitheit quadratischer Formen mit zwei Variablen Quadratische Formen und Matrizen Quadratische Formen mit drei Variablen Quadratische Formen mit n Variablen Quadratische Formen mit einer homogenen linearen Nebenbedingung Quadratische Formen mit n Variablen und m homogenen linearen Nebenbedingungen Extremwertprobleme mit mehreren Variablen Extremwerte einer Funktion mit zwei Variablen Extremwerte einer Funktion mit n Variablen Extremwerte einer Funktion mit zwei Variablen unter einer Nebenbedingung Extremwerte einer Funktion mit n Variablen unter einer Nebenbedingung Extremwerte einer Funktion mit n Variablen unter m Nebenbedingungen Ähnliche Matrizen, Eigenwerte, Eigenvektoren Ähnliche Matrizen Eigenwerte Eigenvektoren Eigenwerte und Definitheit 331 Aufgaben zum Kapitel Kapitel 8 Lineare Planungsrechnung 8.1 Begriffliche Einführung Das Standardproblem der linearen Planungsrechnung Formulierung der Grundaufgabe Berücksichtigung von Ungleichungen Berücksichtigung von Vorzeichenbeschränkungen Anwendungsbeispiele der linearen Planungsrechnung Das optimale Produktionsprogramm Die optimale Mischung Der optimale Transportplan Graphische Lösung Struktur des Problems Ein Lösungsvorschlag Grundlagen des Simplexverfahrens Charakterisierung der Rand- und Eckpunkte Eckpunkte als Basislösungen Generierung alternativer Basislösungen Bewertung alternativer Basislösungen 360

6 Inhaltsverzeichnis XIII 8.6 Das Simplexverfahren Das Simplextableau Das Optimalitätskriterium Lösungsverbesserung Unbeschränkte Lösung Der Standardalgorithmus des Simplexverfahrens Minimierung Erweiterung des Simplex Verfahrens Zur Geometrie eines allgemeinen LP-Problems Gleichungen als Nebenbedingungen Größer-Gleich-Beziehungen als Nebenbedingungen Die drei Phasen des Simplexverfahrens Abschließende Bemerkungen Effizienz des Simplexverfahrens Praxis der linearen Planungsrechnung 393 Aufgaben zum Kapitel Lösungen der Aufgaben 399 Literaturverzeichnis 455 Personen- und Sachverzeichnis 459