Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker

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1 Willi Törnig Peter Spellucci Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker Band 1: Numerische Methoden der Algebra Zweite, überarbeitete und ergänzte Auflage Mit 15 Abbildungen > Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork London Paris Tokyo 1988

2 I Hilfsmittel, Nullstellenberechnung bei Gleichungen 1 Hilfsmittel Punkte und Vektoren Schreibweise Definitionen Normierung. Skalares Produkt Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit Matrizen Definitionen Matrixnormen Eigenwerte. Spektralradius Rang einer Matrix Spezielle Matrizen Positiv semidefinite und positiv definite Matrizen Diagonal-, Tridiagonal- und Block-Tridiagonal-Matrizen Weitere, für die Anwendungen wichtige Matrizen Lineare Gleichungssysteme Bezeichnungen. Lösbarkeit Lösung homogener Gleichungssysteme Lösung inhomogener Gleichungssysteme Nichtlineare Gleichungssysteme Darstellungsform. Eigenschaften Funktionalmatrix Iterationsverfahren Konstruktion Konvergenz Konvergenz bei kontrahierender Abbildung Fehlerabschätzungen Der Satz von Ostrowski Lokale und globale Konvergenz Hilfsmittel aus der Analysis im R n 29

3 1.7.1 Vektorfunktionen Ableitungen und Funktionalmatrix Mittelwertsatz und Taylorscher Satz Aufgaben 33 Berechnung der Nullstellen von Funktionen Intervallschachtelungsverfahren Verfahrensvorschriften Konvergenz Newtonsches Verfahren Konstruktion des Verfahrens Konvergenz Weitere Konvergenzkriterien Monotone Konvergenz Sekantenverfahren Verfahrensvorschrift Konvergenz Konvergenzordnung der Verfahren. Ergänzungen Vorbereitungen Konvergenzordnung des Newtonschen Verfahrens Konvergenzordnung des Sekantenverfahrens Verbesserung der Konvergenzordnung Berechnung mehrfacher Nullstellen Rundungsfehlereinfiüsse Tabellarische Zusammenstellung der Verfahren Beispiele Aufgaben 65 Berechnung der Funktionswerte und Nullstellen von Polynomen Das Homer-Schema Eigenschaften von Polynomen Entwicklung des Homer-Schemas Das Rechenschema Anwendung auf komplexe Polynome Berechnung der reellen Wurzeln Lage der Nullstellen Anwendung des Newtonschen Verfahrens Schranken für die Nullstellen Das Newton-Maehly-Verfahren Berechnung von Polynomnullstellen beim Vorliegen komplexer Nullstellen 81

4 xi Die Methode von Hirano Aufgaben 84 II Lösung linearer Gleichungssysteme 4 Der Gaußsche Algorithmus Inhomogene Gleichungssysteme Das Prinzip des Gaußschen Algorithmus Der Gaußsche Algorithmus ohne Pivotisierung Mathematische Formulierung bei Spaltenpivotisierung Allgemeine inhomogene Systeme Auswirkung von Rundungsfehlern Homogene Gleichungssysteme Berechnung der inversen Matrix Ein einfaches Verfahren Das Gauß-Jordan-Verfahren Konditionsanalyse und Rundungsfehlereinfluß Eine allgemeine Fehlerabschätzung Die Konditionszahl einer Matrix Brauchbarkeit einer Näherungslösung bei fehlerhaften Ausgangsdaten Skalierungseinfluß beim Gaußschen Algorithmus Nachiteration Nachiteration bei der Lösung von Gleichungssystemen Fehleranalyse Der Iterationsalgorithmus Aufgaben Weitere direkte Verfahren Gleichungssysteme mit symmetrischer Matrix Vereinfachungen bei der Rechnung Die Rechenvorschrift Das Cholesky-Verfahren Gleichungssysteme mit Tridiagonalmatrix Der Algorithmus Diagonaldominante Tridiagonalmatrizen Gleichungssysteme mit Block-Tridiagonalmatrix Eigenschaften von Block-Tridiagonalmatrizen Der Algorithmus Ergänzungen 137

5 XÜ Inhaltsverzeichnis Die Bunch-Parlett-Zerlegung Gaußscher Algorithmus bei sehr großen Bandsystemen. Die FRONT-Lösungsmethode von Irons Lineare Ausgleichsrechnung und die QR-Zerlegung nach Householder Sehr große Systeme und ihr Auftreten Rechenaufwand und Zusammenstellung wichtiger Verfahren Die Zahl der Rechenoperationen Zusammenstellung wichtiger Verfahren Beispiel Aufgaben Iterative Verfahren Konstruktion von Iterationsverfahren. Konvergenz Die Fixpunktform Konstruktion von Iterationsverfahren Konvergenz der linearen stationären Einschrittverfahren Die Jordansche Normalform einer Matrix Spektralradius und Konvergenz OR-Verfahren in Gesamtschritten Das Jacobi-OR-Verfahren Die Konvergenz des Jacobi-OR-Verfahrens Konvergenz bei symmetrischer und positiv definiter Matrix SOR-Verfahren Die Iterationsvorschrift Konvergenz bei diagonaldominanter Matrix Konvergenz bei symmetrischer und positiv definiter Matrix Spektralradius und Konvergenzgeschwindigkeit Bestimmung des Relaxationsparameters für das SOR-Verfahren Matrizen mit der Property A" Die Berechnung des optimalen Relaxationsparameters Komplexe Gleichungssysteme Das Auftreten komplexer Gleichungssysteme Anwendung der Relaxationsverfahren Konvergenz bei hermitescher Matrix Zur Konvergenzgeschwindigkeit der Verfahren Die mittlere und asymptotische Konvergenzgeschwindigkeit Der Einfluß des Relaxationsparameters Fehlerabschätzungen Block-Relaxationsverfahren Gleichungssysteme mit Block-Matrizen 190

6 xiii Block-Relaxationsverfahren Das Verfahren der konjugierten Gradienten (cg-verfahren) Tabellarische Zusammenstellung der Jacobi- und SOR-Verfahren Beispiel 206 III Lösung nicht linearer Gleichungssysteme 7 Allgemeine Iterationsverfahren Vorbereitungen. Konvergenz Bezeichnungen Die Bedeutung der Funktionalmatrix für die Konvergenz Lokale Konvergenz Der Ausdruck O Das Newtonsche Verfahren Die Rechenvorschrift Konvergenzkriterien Die Bestimmung der Umgebung B Weitere Verfahren vom Newton-Typ Modifizierte Newtonsche Verfahren Nichtlineare Ausgleichsrechnung Das Gauß-Newton-Verfahren Einbettungsverfahren Quasi-Newton-Verfahren Konvergenzordnung Quadratische Konvergenz des Newtonschen Verfahrens Konvergenzordnung des modifizierten Newtonschen Verfahrens Tabellarische Zusammenstellung einiger Verfahren Beispiel Aufgaben Iterationsverfahren für große nichtlineare Gleichungssysteme Nichtlineare SOR-Verfahren Nichtlineare Gauß-Seidel-Verfahren SOR- und SOR-Newton-Verfahren Lokale und globale Konvergenz der Verfahren Das cg-verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme Die Verfahrensvorschrift Präkonditionierung.., Das Verfahren von Schubert Beispiel 256

7 XIV Inhaltsverzeichnis 8.5 Aufgaben 258 IV Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 9 Grundlagen, Abschätzungen, Elementare Transformationen Eigenwerte und Eigenvektoren Das charakteristische Polynom Eigenwerte spezieller Matrizenklassen Beispiele für das Auftreten von Eigenwertproblemen Ein Schwingungsproblem Ein Sturm-Liouville-Eigenwertproblem und ein Differenzenverfahren Abschätzungen von Eigenwerten. Fehleraussagen Die Lage der Eigenwerte Eine a-posteriori-fehlerabschätzung bei hermiteschen Matrizen Ahnlickeitstransformation auf einfache Gestalt Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren Unterraummethoden Die Verfahren von v. Mises und Wielandt Die simultane Vektoriteration Das Lanczos-Verfahren Transformationsmethoden Das Jacobi-Verfahren Das QL-Verfahren Verfahren zur Bestimmung individueller Eigenwerte Allgemeine Eigenwertprobleme Die Singulärwertzerlegung (svd) Das Nullstellenverfahren von Jenkins und Traub 334 Literaturverzeichnis 340 Sachverzeichnis 343