ANALYSE NUMERISCHER VERFAHREN

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1 ANALYSE NUMERISCHER VERFAHREN von Eugene Isaacson Professor für Mathematik Leiter des Rechenzentrums Courant Institute of Mathematical Sciences New York University und Herbert Bishop Keller Professor für Angewandte Mathematik Stellvertretender Direktor der A. E. C. Zentralstelle für Rechentechnik. und Angewandte Mathematik Courant Institute of Mathematical Sciences New York University Verlag Harri Deutsch Zürich und Frankfurt am Main Fachbereich Mathematik Technische Hochschule Darmstadi Bibliothek Inv-Nr.^ 43» 040 H

2 INHALT 1. NORMEN, ARITHMETISCHE OPERATIONEN UND KORREKT KONZIPIERTE RECHENVERFAHREN Einführung Normen von Vektoren und Matrizen Konvergente Matrizen Gleitkommaarithmetik und Rundungsfehler ; Korrekt konzipierte Berechnungen NUMERISCHE LÖSUNG VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN UND MATRIZENINVERSION ' Einführung ' Der Gaußsche Algorithmus ; Abschätzung des benötigten Rechenaufwandes A priori-fehlerschätzungen; Anzahl der Bedingungen A posteriori-schätzungen für Fehler Varianten des Gaußschen Algorithmus Direkte Faktorisierungsverfahren Symmetrische Matrizen (das Cholesky-Verfahren) ; Die Jacobischen Tridiagonalmatrizen Tridiagonal-Block-Matrizen Iterationsverfahren Iteration in Gesamtschritten (Jacobi) Das Iterationsverfahren von Gauß-Seidel (Iteration in Einzelschritten) Das Restkorrekturverfahren Positiv definite Systeme Blockiterationen Die Beschleunigung von Iterationsverfahren Praktische Anwendungen von Beschleunigungsverfahren Verallgemeinerungen des Beschleunigungsverfahrens Matrizeninversion durch Iterationen höherer Ordnung ITERATIONSVERFAHREN ZUR LÖSUNG NICHTLINEARER GLEICHUNGEN Einführung : Das Verfahren der schrittweisen Näherung für eine Gleichung Fehlerfortpflanzung Iterationsverfahren zweiter und höherer Ordnung 98

3 INHALT 3.2. Einige spezielle Iterationsverfahren Die einfache Iteration oder das Sehnen-Verfahren (Verfahren erster Ordnung) Das Newtonsche Näherungsverfahren (Verfahren zweiter Ordnung) Die regula falsi (Verfahren von gebrochener Ordnung) Das (5 2 -Verfahren von Aitken (Verfahren beliebiger Ordnung) Iterationsverfahren für Gleichungssysteme Einige spezielle Iterationsschemata für Gleichungssysteme Die Konvergenz des Newtonschen Näherungsverfahrens Ein spezielles Beschleunigungsverfahren für nichtlineare Systeme... > Spezielle Verfahren für Polynome Berechnung der Polynome und ihrer Ableitung (Horner-Schema) Sturmsche Ketten Das Bernoullische Verfahren...' Das Verfahren von Bairstow 137 X 4. BERECHNUNG VON EIGENWERTEN UND EIGENVEKTOREN Einführung ' Korrekte Formulierung der Eigenwertprobleme. Fehlerabschätzungen Fehlerabschätzungen a posteriori Das Potenzverfahren Beschleunigung des Potenzverfahrens : Intermediäre Eigenwerte und Eigenvektoren (Orthogonalisierung, Ordnungserniedrigung, inverse Iteration) Verfahren, die auf der Transformation von Matrizen beruhen GRUNDLAGEN DER THEORIE DER POLYNOME, APPROXIMATION Einführung Der Weierstraßsche Approximationssatz und Bernsteinsche Polynome Die Interpolationspolynome Der punktweise Fehler in Interpolationspolynomen..: Die Hermitesche oder oskulierende Interpolation Approximation nach der Methode der kleinsten Quadrate Konstruktion orthonormierter Funktionensysteme Gewogene Approximationen nach der Methode der kleinsten Quadrate Einige Eigenschaften von Systemen orthogonaler Polynome Punktweise Konvergenz der nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmten Approximationspolynome Diskrete Approximationen nach der Methode der kleinsten Quadrate "Polynome der besten" Approximation Der Fehler bei den Polynomen der besten Näherung Tschebyschewsche Polynome Trigonometrische Approximation Trigonometrische Interpolation Trigonometrische Approximationen nach der Methode der kleinsten Quadrate. Fourierreihen r Beste" trigonometrische Approximation 252

4 XI " INHALT 6. DIFFERENZEN, INTERPOLATIONSPOLYNOME UND NÄHERUNGSDIFFE- RENTIATION Einführung Das Newtonsche Interpolationspolynom und Differenzenquotienten Iterative lineare Interpolation Vorwärts genommene Differenzen und äquidistante Interpolationspunkte Interpolationspolynome und Restglieder für äquidistante Punkte Zentrale Interpolationsformeln Bemerkungen zur Interpolationspraxis Divergenz von Interpolationspolynomfolgen Der Kalkül der Differenzenoperatoren Numerische Differentiation Differentiation unter Benutzung allgemeiner Stützstellen Differentiation unter Benutzung äquidistanter Stützstellen Interpolation bei mehreren Variablen NUMERISCHE INTEGRATION Einführung ; Interpolatorische Quadraturen Die Newton-Cotesschen Quadraturformeln Bestimmung der Koeffizienten Rundungsfehler und Formeln mit gleichen Koeffizienten Quadraturformeln mit gleichen Koeffizienten Die Quadraturformeln von Gauß; der maximale Genauigkeitsgrad... % Quadraturformeln mit Gewichtsfunktion Gauß-Tschebyschewsche Quadraturformeln Zusammengesetzte Quadraturformeln Periodische Funktionen und die Trapezregel Konvergenz für stetige Funktionen Singuläre Integrale; unstetige Integranden Sprungstellen mit endlicher Sprunghöhe als Unstetigkeitsstellen Integranden mit Unendlichkeitsstellen Unendliche Integrationsgrenzen Mehrfache Integrale, Anwendung von Interpolationspolynomen Unbestimmte Koeffizienten (und Knoten) Trennung der Variablen Zusammengesetzte Formeln für mehrfache Integrale 375. NUMERISCHE LÖSUNG VON GEWÖHNLICHEN DIFFERENTIAL- GLEICHUNGEN : Einführung 378 r 8.1. Methoden, die auf der Approximation der Ableitung beruhen: das Euler-Cauchysche Polygonzugverfahren Verbesserung der Genauigkeit der numerischen Lösung 386

5 INHALT ' XII Rundungsfehler Zentrale Differenzenverfahren Ein divergentes Verfahren mit einem Abbruchfehler höherer Ordnung Mehrschrittverfahren, die auf Quadraturformeln beruhen Fehlerabschätzungen für die Vorgabe-Korrektur-Verfahren Änderung der Maschenweite Ein-Schritt-Verfahren Finite Taylorentwicklungen Ein-Schritt-Verfahren, die auf Quadraturformeln beruhen Lineare Differenzengleichungen Verträglichkeit, Konvergenz und Stabilität von Differenzenverfahren Differentialgleichungen höherer Ordnung und Differentialgleichungssysteme Randwert- und Eigenwertprobleme Anfangswertverfahren Finite Differenzenverfahren, Eigenwertprobleme DIFFERENZENVERFAHREN FÜR PARTIELLE DIFFERENTIAL- GLEICHUNGEN Einführung Vereinbarungen zur Bezeichnungsweise Die Laplacesche Differentialgleichung in einem Rechteck Anwendung der Matrizenschreibweise Ein Eigenwertproblem für den Laplaceschen Operator Lösung Laplacescher Differenzengleichungen Linien- oder Blockiterationen Iterationsverfahren mit Richtungsänderung Die Wellengleichung und ein äquivalentes System Differenzenapproximationen und Abhängigkeitsbereiche Konvergenz von Differenzenlösungen Differenzenverfahren für ein hyperbolisches System erster Ordnung Die Wärmeleitungsgleichung Implizite Verfahren Allgemeine Theorie: Konsistenz, Konvergenz und Stabilität Weitere Konsequenzen der Stabilität Der Stabilitätstest von J. von Neumann 542 LITERATUR 550 SACHREGISTER 553