Inhaltsverzeichnis. Vorwort zur 10. Auflage Informationen zur Programmbibliothek Bezeichnungen VII IX

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1 Inhaltsverzeichnis Vorwort zur 10. Auflage Informationen zur Programmbibliothek Bezeichnungen VII IX XI I I 1 Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse Definition von Fehlergrößen Zahlensysteme Darstellung ganzer Zahlen Darstellung reeller Zahlen Rechnung mit endlicher Stellenzahl Fehlerquellen Eingabefehler Verfahrensfehler Fehlerfortpflanzung und die Kondition eines Problems Rechnungsfehler und numerische Stabilität Lösung nichtlinearer Gleichungen Aufgabenstellung und Motivation Definitionen und Sätze über Nullstellen Allgemeines Iterationsverfahren Konstruktionsmethode und Definition Existenz einer Lösung und Eindeutigkeit der Lösung Konvergenz eines Iterationsverfahrens Heuristische Betrachtungen Analytische Betrachtung Fehlerabschätzungen und Rechnungsfehler Praktische Durchführung Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens Newtonsche Verfahren Das Newtonsche Verfahren für einfache Nullstellen Gedämpftes Newton-Verfahren Das Newtonsche Verfahren für mehrfache Nullstellen. Das modifizierte Newtonsche Verfahren Das Sekantenverfahren

2 XVI Inhaltsverzeichnis Das Sekantenverfahren für einfache Nullstellen Das modifizierte Sekantenverfahren für mehrfache Nullstellen Einschlussverfahren Das Prinzip der Einschlussverfahren Das Bisektionsverfahren Die Regula falsi Das Pegasus-Verfahren Das Verfahren von Anderson-Björck Die Verfahren von King und Anderson-Björck-King. Das Illinois- Verfahren Ein kombiniertes Einschlussverfahren Das Zeroin-Verfahren Anwendungsbeispiele Effizienz der Verfahren und Entscheidungshilfen Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen Vorbemerkungen Das Horner-Schema Das einfache Horner-Schema für reelle Argumentwerte Das einfache Horner-Schema für komplexe Argumentwerte Das vollständige Horner-Schema für reelle Argumentwerte Anwendungen Bestimmung von Lösungen algebraischer Gleichungen Vorbemerkungen und Überblick Das Verfahren von Muller Das Verfahren von Bauhuber Das Verfahren von Jenkins und Traub Anwendungsbeispiel Entscheidungshilfen Lösung linearer Gleichungssysteme Aufgabenstellung und Motivation Definitionen und Sätze Lösbarkeitsbedingungen für ein lineares Gleichungssystem Prinzip der direkten Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme Der Gauß-Algorithmus Gauß-Algorithmus mit Spaltenpivotsuche als Rechenschema Spaltenpivotsuche Gauß-Algorithmus als Dreieckszerlegung Gauß-Algorithmus für Systeme mit mehreren rechten Seiten Matrizeninversion mit dem Gauß-Algorithmus Verfahren für Systeme mit symmetrischen Matrizen Systeme mit symmetrischer, streng regulärer Matrix Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix. Cholesky- Verfahren

3 Inhaltsverzeichnis XVII Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix. Verfahren der konjugierten Gradienten (CG-Verfahren) Das Gauß-Jordan-Verfahren Gleichungssysteme mit tridiagonaler Matrix Systeme mit tridiagonaler Matrix Systeme mit symmetrischer, tridiagonaler, positiv definiter Matrix Gleichungssysteme mit zyklisch tridiagonaler Matrix Systeme mit zyklisch tridiagonaler Matrix Systeme mit symmetrischer, zyklisch tridiagonaler Matrix Gleichungssysteme mit fünfdiagonaler Matrix Systeme mit fünfdiagonaler Matrix Systeme mit symmetrischer, fünfdiagonaler, positiv definiter Matrix Gleichungssysteme mit Bandmatrix Householdertransformation Fehler, Kondition und Nachiteration Fehler und Kondition Konditionsschätzung Möglichkeiten zur Konditionsverbesserung Nachiteration Gleichungssysteme mit Blockmatrix Vorbemerkungen Gauß-Algorithmus für Blocksysteme Gauß-Algorithmus für tridiagonale Blocksysteme Weitere Block-Verfahren Algorithmus von Cuthill-McKee Entscheidungshilfen Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme Vorbemerkungen Vektor- und Matrizennormen Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten Das Gauß-Seidelsche Iterationsverfahren Relaxation beim Gesamtschrittverfahren Relaxation beim Einzelschrittverfahren. SOR-Verfahren Schätzung des Relaxationskoeffizienten. Adaptives SOR-Verfahren Systeme nichtlinearer Gleichungen Aufgabenstellung und Motivation Allgemeines Iterationsverfahren für Systeme Spezielle Iterationsverfahren Newtonsche Verfahren für nichtlineare Systeme Das quadratisch konvergente Newton-Verfahren Gedämpftes Newton-Verfahren für Systeme Sekantenverfahren für nichtlineare Systeme

4 XVIII Inhaltsverzeichnis Das Verfahren des stärksten Abstiegs (Gradientenverfahren) für nichtlineare Systeme Das Verfahren von Brown für Systeme Entscheidungshilfen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Definitionen und Aufgabenstellungen Diagonalähnliche Matrizen Das Iterationsverfahren nach v. Mises Bestimmung des betragsgrößten Eigenwertes und des zugehörigen Eigenvektors Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes Bestimmung weiterer Eigenwerte und Eigenvektoren Konvergenzverbesserung Das Verfahren von Krylov Bestimmung der Eigenwerte Bestimmung der Eigenvektoren QD-Algorithmus Transformationen auf Hessenbergform Transformation einer Matrix auf obere Hessenbergform LR - Verfahren QR - Verfahren Verfahren von Martin, Parlett, Peters, Reinsch und Wilkinson Entscheidungshilfen Anwendungsbeispiel Lineare und nichtlineare Approximation Aufgabenstellung und Motivation Lineare Approximation Approximationsaufgabe und beste Approximation Kontinuierliche lineare Approximation im quadratischen Mittel Diskrete lineare Approximation im quadratischen Mittel Normalgleichungen für den diskreten linearen Ausgleich Diskreter Ausgleich durch algebraische Polynome unter Verwendung orthogonaler Polynome Lineare Regression. Ausgleich durch lineare algebraische Polynome Householder-Transformation zur Lösung des linearen Ausgleichsproblems Approximation von Polynomen durch Tschebyscheff-Polynome Beste gleichmäßige Approximation, Definition Approximation durch Tschebyscheff-Polynome Approximation periodischer Funktionen Kontinuierliche Approximation periodischer Funktionen im quadratischen Mittel

5 Inhaltsverzeichnis XIX Diskrete Approximation periodischer Funktionen im quadratischen Mittel Fourier-Transformation und FFT Fehlerabschätzungen für lineare Approximationen Gleichmäßige Approximation durch algebraische Polynome Gleichmäßige Approximation durch trigonometrische Polynome Diskrete nichtlineare Approximation Transformationsmethode beim nichtlinearen Ausgleich Nichtlinearer Ausgleich im quadratischen Mittel Entscheidungshilfen Polynomiale Interpolation sowie Shepard-Interpolation Aufgabenstellung Interpolationsformeln von Lagrange Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen Lagrangesche Formel für äquidistante Stützstellen Aitken-Interpolationsschema für beliebige Stützstellen Inverse Interpolation nach Aitken Interpolationsformeln von Newton Newtonsche Formel für beliebige Stützstellen Newtonsche Formel für äquidistante Stützstellen Abschätzung und Schätzung des Interpolationsfehlers Zweidimensionale Interpolation Zweidimensionale Interpolationsformel von Lagrange Shepard-Interpolation Entscheidungshilfen Interpolierende Polynom-Splines zur Konstruktion glatter Kurven Polynom-Splines dritten Grades Aufgabenstellung Woher kommen Splines? Mathematische Analyse Anwendungsbeispiele Definition verschiedener Arten nichtparametrischer kubischer Splinefunktionen Berechnung der nichtparametrischen kubischen Splines Berechnung der parametrischen kubischen Splines Kombinierte interpolierende Polynom-Splines Näherungsweise Ermittlung von Randableitungen durch Interpolation Konvergenz und Fehlerabschätzungen interpolierender kubischer Splines Hermite-Splines fünften Grades Definition der nichtparametrischen und parametrischen Hermite- Splines

6 XX Inhaltsverzeichnis Berechnung der nichtparametrischen Hermite-Splines Berechnung der parametrischen Hermite-Splines Polynomiale kubische Ausgleichssplines Aufgabenstellung und Motivation Konstruktion der nichtparametrischen Ausgleichssplines Parametrische kubische Ausgleichssplines Entscheidungshilfen für die Auswahl einer geeigneten Splinemethode Akima- und Renner-Subsplines Akima-Subsplines Renner-Subsplines Abrundung von Ecken bei Akima- und Renner-Kurven Berechnung der Länge einer Kurve Flächeninhalt einer geschlossenen ebenen Kurve Entscheidungshilfen Spezielle Splines Interpolierende zweidimensionale Polynom-Splines Zweidimensionale interpolierende Oberflächensplines Bézier-Splines Bézier-Spline-Kurven Bézier-Spline-Flächen Modifizierte (interpolierende) kubische Bézier-Splines B-Splines B-Spline-Kurven B-Spline-Flächen Anwendungsbeispiel Entscheidungshilfen Numerische Differentiation Aufgabenstellung und Motivation Differentiation mit Hilfe eines Interpolationspolynoms Differentiation mit Hilfe interpolierender kubischer Polynom-Splines Differentiation mit dem Romberg-Verfahren Entscheidungshilfen Numerische Quadratur Vorbemerkungen Konstruktion von Interpolationsquadraturformeln Newton-Cotes-Formeln Die Sehnentrapezformel Die Simpsonsche Formel Die 3/8-Formel Weitere Newton-Cotes-Formeln Zusammenfassung zur Fehlerordnung von Newton-Cotes-Formeln. 587

7 Inhaltsverzeichnis XXI 14.4 Quadraturformeln von Maclaurin Die Tangententrapezformel Weitere Maclaurin-Formeln Die Euler-Maclaurin-Formeln Tschebyscheffsche Quadraturformeln Quadraturformeln von Gauß Verallgemeinerte Gauß-Quadraturformeln Quadraturformeln von Clenshaw-Curtis Das Verfahren von Romberg Fehlerschätzung und Rechnungsfehler Adaptive Quadraturverfahren Konvergenz der Quadraturformeln Anwendungsbeispiel Entscheidungshilfen Numerische Kubatur Problemstellung Konstruktion von Interpolationskubaturformeln Newton-Cotes-Kubaturformeln für Rechteckbereiche Das Romberg-Kubaturverfahren Gauß-Kubaturformeln für Rechteckbereiche Riemannsche Flächenintegrale Vergleich der Verfahren anhand von Beispielen Kubaturformeln für Dreieckbereiche Kubaturformeln für Dreieckbereiche mit achsenparallelen Katheten Newton-Cotes-Kubaturformeln für Dreieckbereiche Gauß-Kubaturformeln für Dreieckbereiche Kubaturformeln für Dreieckbereiche allgemeiner Lage Newton-Cotes-Kubaturformeln für Dreieckbereiche allgemeiner Lage Gauß-Kubaturformeln für Dreieckbereiche allgemeiner Lage Entscheidungshilfen Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Problemstellung Prinzip der numerischen Verfahren Einschrittverfahren Das Polygonzugverfahren von Euler-Cauchy Das verbesserte Euler-Cauchy-Verfahren Praediktor-Korrektor-Verfahren von Heun Explizite Runge-Kutta-Verfahren Konstruktion von Runge-Kutta-Verfahren Klassisches Runge-Kutta-Verfahren Zusammenstellung expliziter Runge-Kutta-Formeln

8 XXII Inhaltsverzeichnis Einbettungsformeln Implizite Runge-Kutta-Verfahren vom Gauß-Typ Gemeinsame Darstellung aller Einschrittverfahren. Verfahrensfunktion eines Einschrittverfahrens. Konsistenz Fehlerschätzung und automatische Schrittweitensteuerung Fehlerschätzung Methoden zur automatischen Schrittweitensteuerung. Adaptive Anfangswertproblemlöser Mehrschrittverfahren Prinzip der Mehrschrittverfahren Das explizite Verfahren von Adams-Bashforth Das Praediktor-Korrektor-Verfahren von Adams-Moulton Verfahren von Adams-Störmer Fehlerschätzungsformeln für Mehrschrittverfahren Extrapolationsverfahren von Bulirsch-Stoer-Gragg Stabilität Vorbemerkungen Stabilität der Differentialgleichung Stabilität des numerischen Verfahrens Steife Differentialgleichungssysteme Problemstellung Kriterien für Steifheit eines Systems Das Verfahren von Gear zur Integration steifer Systeme Entscheidungshilfen Literaturverzeichnis 733 Sachwortverzeichnis 745

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