Numerische Mathematik

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1 Numerische Mathematik Von Prof. Dr. sc. math. Hans Rudolf Schwarz Universität Zürich Mit einem Beitrag von Prof. Dr. sc. math. Jörg Waldvogel Eidg. Technische Hochschule Zürich 4., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 119 Figuren, 158 Beispielen und 118 Aufgaben B. G. Teubner Stuttgart 1997

2 Inhalt 1 Lineare Gleichungssysteme, direkte Methoden 1.1 Gaußscher Algorithmus Der fundamentale Rechenprozeß Pivotstrategien Ergänzungen Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen Normen Fehlerabschätzungen, Kondition Systeme mit speziellen Eigenschaften Symmetrische, positiv definite Systeme Bandgleichungen Tridiagonale Gleichungssysteme Austausch-Schritt und Inversion von Matrizen Lineare Funktionen, Austausch Matrizeninversion Verfahren für Vektorrechner und Parallelrechner Vollbesetzte Systeme auf Vektorrechnern Tridiagonale Gleichungssysteme auf Vektorrechnern Tridiagonale Gleichungssysteme auf Parallelrechnern Aufgaben 70 2 Lineare Optimierung 2.1 Einführungsbeispiele, graphische Lösung Der Simplex-Algorithmus Ergänzungen zum Simplex-Algorithmus Degeneration Mehrdeutige Lösung Nichtbeschränkte Zielfunktion Allgemeine lineare Programme Behandlung von freien Variablen Methode der Koordinatenverschiebung Die Zweiphasenmethode Diskrete Tschebyscheff-Approximation Aufgaben Interpolation 3.1 Existenz und Eindeutigkeit der Polynominterpolation Lagrange-Interpolation 109

3 6 Inhalt Rechentechnik Anwendungen Fehlerabschätzung Newton-Interpolation Interpolation nach Aitken-Neville Die Algorithmen von Aitken und Neville Extrapolation und Romberg-Schema Inverse Interpolation Rationale Interpolation Problemstellung und Problematik Spezielle Interpolationsaufgabe, Thielescher Kettenbruch Spline-Interpolation Charakterisierung der Spline-Funktion Berechnung der kubischen Spline-Interpolierenden Allgemeine kubische Spline-Interpolation Periodische kubische Spline-Interpolation Glatte zweidimensionale Kurvendarstellung Bezier-Technik für Kurven und Flächen Bernstein-Polynome Bezier-Kurven Bezier-Flächen Aufgaben Funktionsapproximation 4.1 Fourierreihen Effiziente Berechnung der Fourierkoeffizienten Der Algorithmus von Runge Die schnelle Fouriertransformation Orthogonale Polynome Die Tschebyscheff-Polynome Tschebyscheffsche Interpolation Die Legendre-Polynome Aufgaben Nichtlineare Gleichungen 5.1 Banachscher Fixpunktsatz Konvergenzverhalten und Konvergenzordnung Gleichungen in einer Unbekannten Intervallschachtelung, Regula falsi, Sekantenmethode Verfahren von Newton Interpolationsmethoden Gleichungen in mehreren Unbekannten Fixpunktiteration und Konvergenz Verfahren von Newton 256

4 Inhalt Nullstellen von Polynomen Aufgaben Eigenwertprobleme 6.1 Das charakteristische Polynom, Problematik Jacobi-Verfahren Elementare Rotationsmatrizen Das klassische Jacobi-Verfahren Zyklisches Jacobi-Verfahren Transformationsmethoden Transformation auf Hessenbergform Transformation auf tridiagonale Form Schnelle Givens-Transformation Methode von Hyman QR-Algorithmus Grundlagen zur QR-Transformation Praktische Durchführung, reelle Eigenwerte QR-Doppelschritt, komplexe Eigenwerte QR-Algorithmus für tridiagonale Matrizen Zur Berechnung der Eigenvektoren Paralleler Algorithmus für tridiagonale Matrizen Aufgaben Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate 7.1 Lineare Ausgleichsprobleme, Normalgleichungen Methoden der Orthogonaltransformation Givens-Transformation Spezielle Rechentechniken Householder-Transformation Singulärwertzerlegung Nichtlineare Ausgleichsprobleme Gauß-Newton-Methode Minimierungsverfahren Aufgaben Integralberechnung 8.1 Die Trapezmethode Problemstellung und Begriffe Definition der Trapezmethode und Verfeinerung Die Euler-Maclaurinsche Summenformel Das Romberg-Verfahren Adaptive Quadraturverfahren Transformationsmethoden Periodische Integranden 387

5 8 Inhalt Integrale über R Transformationsmethoden Interpolatorische Quadraturformeln Newton-Cotes Quadraturformeln Gaußsche Quadraturformeln Aufgaben Gewöhnliche Differentialgleichungen 9.1 Einschrittmethoden Die Methode von Euler und der Taylorreihe Diskretisationsfehler, Fehlerordnung Verbesserte Polygonzugmethode, Trapezmethode, Verfahren von Heun Runge-Kutta-Verfahren Implizite Runge-Kutta-Verfahren Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme Mehrschrittverfahren Die Methoden von Adams-Bashforth Die Methoden von Adams-Moulton Allgemeine Mehrschrittverfahren Stabilität Inhärente Instabilität Absolute Stabilität Steife Differentialgleichungen Randwertaufgaben Beispiele, Existenz von Lösungen Analytische Methoden für lineare Randwertaufgaben Schießverfahren Differenzenmethode Aufgaben Partielle Differentialgleichungen 10.1 Elliptische Randwertaufgaben, Differenzenmethode Problemstellung Diskretisation der Aufgabe Randnahe Gitterpunkte, allgemeine Randbedingungen Diskretisationsfehler Ergänzungen Parabolische Anfangsrandwertaufgaben Eindimensionale Probleme, explizite Methode Eindimensionale Probleme, implizite Methode Diffusionsgleichung mit variablen Koeffizienten Zweidimensionale Probleme 554

6 Inhalt Methode der finiten Elemente Grundlagen Prinzip der Methode der finiten Elemente Elementweise Bearbeitung Aufbau und Behandlung der linearen Gleichungen Beispiele Aufgaben Lineare Gleichungssysteme, iterative Verfahren 11.1 Gesamtschritt- und Einzelschrittverfahren Konstruktion der Iterationsverfahren Einige Konvergenzsätze Optimaler Relaxationsfaktor der Überrelaxation Methode der konjugierten Gradienten Herleitung des Algorithmus Eigenschaften der Methode der konjugierten Gradienten Konvergenzabschätzung Vorkonditionierung Methode der verallgemeinerten minimierten Residuen Grundlagen des Verfahrens Algorithmische Beschreibung und Eigenschaften Speicherung schwach besetzter Matrizen Aufgaben 633 Literatur 637 Sachverzeichnis 649