Finite Elemente in der Baustatik

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1 Horst Werkle Finite Elemente in der Baustatik Statik und Dynamik der Stab- und Flachentragwerke 3., aktualisierte und erweiterte Auflage mit 305 Abbildungen und 43 Tabellen vieweg

2 IX Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung Matrizen und Vektoren Matrizenalgebra Addition und Subtraktion Multiplikation Matrizeninversion Gleichungssysteme Inhomogene und homogene Gleichungssysteme Existenz von Losungen Losungsverfahren Normen und Konditionszahl Eigenwertprobleme Allgemeines Eigenwertproblem Numerische Losungsverfahren fiir Eigenwertprobleme Nichtlineare Gleichungssysteme Einfuhrung Sekantenverfahren Newton-Raphson-Verfahren Quasi-Newton-Verfahren Kurvenverfolgungsverfahren Konvergenzkriterien Steuerungsstrategien 62 2 Grundgleichungen der Elastizitatstheorie Tragwerkstypen und Grundgleichungen Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe Grundgleichungen von Biegebalken und Platte Raumliche Tragwerke 83 3 Finite-Element-Methode fiir Stabwerke Uberblick Die Finite-Element-Methode als statisches Berechnungsverfahren Knotenpunkte, Freiheitsgrade und Finite Elemente Berechnungsverfahren 89

3 X Inhaltsverzeichnis 3.2 Einfuhrungsbeispiel: Ebene Fachwerke Statisches System Elementsteifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs Koordinatentransformation Systemsteifigkeitsmatrix Auflagerbedingungen Losung des Gleichungssystems Auflagerkrafte und Elementspannungen Federn Biegebalken Elementsteifigkeitsmatrix und Spannungsmatrix Elementlasten Erweiterung der Steifigkeitsmatrix fur Normalkrafte und zur Beriicksichtigung der Schubsteifigkeit Koordinatentransformation Gelenke Zusammengesetzte Stabwerke Raumliche Stabwerke Allgemeines Biegebalken Biegebalken mit Wolbkrafttorsion Modellbildung bei Stabwerken Auflager Federn Biegebalken Symmetrische Systeme Qualitatssicherung und Dokumentation von Stabwerksberechnungen Fehlermoglichkeiten bei Stabwerksberechnungen Kontrollen von Stabwerksberechnungen Finite-Element-Methode fiir Flachentragwerke Historische Entwicklung Oberblick Naherungscharakter der Finite Element Methode Eindimensionales Erlauterungsbeispiel Analytische Losung FEM-Naherungslosung mit linearem Verschiebungsansatz FEM-Naherungslosung mit quadratischem Verschiebungsansatz 180

4 Inhaltsverzeichnis XI Eigenschaften der FEM-Naherungslosung Rechteckelement fur Scheiben Ansatzfunktionen Verzerrungen und Spannungen Steifigkeitsmatrix Elementlasten Beispiele Finite Elemente fiir Scheiben Eigenschaften von Finiten Elementen Elemente mit stetigen Verschiebungsansatzen Nichtkonforme Elemente Hybride Elemente Rechteckelement fiir Platten Elementtyp Ansatzfunktionen VerzerrungsgrbBen und SchnittgroBen Steifigkeitsmatrix Elementlasten Finite Elemente fur Platten Schubweiche Plattenelemente mit Verschiebungsansatz Schubstarre Plattenelemente mit Verschiebungsansatz Hybride Plattenelemente Beispiel Finite Elemente fur Schalen Ebene Schalenelemente Gekriimmte Schalenelemente als modifizierte Volumenelemente Rotationssymmetrische Schalenelemente Volumenelemente Verbindung unterschiedlicher Elementarten Allgemeines EST-Element zur Verbindung von Staben und Stiitzen mit Scheiben EST-Element zur Verbindung von Stiitzen mit Plattentragwerken Weitere Elementiibergange Modellbildung von Bauteilen Tragwerksmodelle Singularitaten von ZustandsgroBen Elementwahl und Netzbildung Modellbildung bei Scheiben 293

5 XII Inhaltsverzeichnis Modellbildung bei Platten Modellbildung bei Faltwerken, Schalen und allgemeinen 3D-Systemen Ergebnisinterpretation Qualitatssicherang und Dokumentation von Finite-Element Berechnungen Fehlerabschatzung und adaptive Netzverdichtung Kontrollen bei Flachentragwerken Dokumentation der Finite-Element-Berechnung Dynamik der Stab- und Flachentragwerke Einleitung Grundbegriffe der Dynamik Kinematik Massenkrafte Dampfungskrafte Bewegungsgleichungen Freie Schwingungen Ungedampfte Schwingungen Gedampfte Schwingungen Schvvingungen infolge harmonischer Erregung Schwingungen infolge beliebiger Erregung Direkte numerische Integration Modalanalyse Fourier-Transformation Erdbebenberechnung Allgemeines Zeitverlaufsberechnungen Antwortspektrenverfahren Modellbildung Tragwerks- und Finite-Element-Modell Modellbildung von Gebauden und Boden-Bauwerk-Wechselwirkung Modellierung der Dampfung Modellierung der Massen Diskretisierung im Zeit- und Frequenzbereich Dynamisches Modell und physikalische Wirklichkeit Nichtlineare Finite-Element-iYlethode Einleitung Losungsverfahren nichtlinearer Probleme 470

6 Inhaltsverzeichnis XIII 6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente Einleitung Fachwerkstab nach Theorie III. Ordnung Fachwerkstab nach Theorie II. Ordnung Biegebalken nach Theorie II. Ordnung Plattenelement nach Theorie II. Ordnung Finite Elemente mit groben Verschiebungen Nichtlineare Materialgesetze Allgemeines Eindimensionale Materialgesetze fiir Stahl, Beton und Stahlbeton Mehrdimensionale Materialgesetze nach der Plastizitatstheorie Zweidimensionale Materialgesetze fur Stahl, Beton und Stahlbeton Elemente mit materieller Nichtlinearitat Modellbildung Stabtragwerke Flachentragwerke Nichtlineare Berechnungen in der Baustatik Softwaretechnische Aspekte von Finite-Element-Programmen Programmaufbau und Benutzeroberflachen Netzgenerierung Rechnerinterne Behandlung von Gleichungssystemen Integration in die computerunterstiitzte Tragwerksplanung 567 Literatur 569 Internet-Adressen 589 Finite-Element-Software 590 Sachwortverzeichnis 591