Finite-Elemente-Methode

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1 Finite-Elemente-Methode Rechnergestützte Einführung von Peter Steinke 1. Auflage Finite-Elemente-Methode Steinke schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Springer 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: ISBN

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Vorgehensweise bei der FEM Verschiedene Elementtypen Beispiele zur Finite-Elemente-Methode Beispiel zu nichtlinearen Problemen Beispiele zur Optimierung Mathematische Grundlagen 2.1 Schreibweisen Vektoren Definition eines n dimensionalen Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt Ableitung von Vektoren Der Nabla-Vektor Der Gradientenvektor Divergenz und Laplace-Operator Matrizen Definition einer Matrix Rechenregeln Transponierte Matrix Orthogonale Matrix Die Dyade (Tensor zweiter Stufe) Differentialoperator Tensor höherer Stufe Felder Skalarfelder Das Vektorfeld als Gradient des Skalarfeldes Das dyadische Feld Lineare Transformation Transformation eines Vektors Transformation einer Dyade (Tensor zweiter Stufe) Beispiele zur Transformation Funktionale Diskretisierung des Funktionals Dreieckskoordinaten Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) Integration in Dreieckskoordinaten Numerische Integration (Quadratur) Numerische Integration für eindimensionale Probleme... 45

3 X Inhaltsverzeichnis Numerische Integration in Dreieckskoordinaten Lineare Gleichungssysteme bei der FEM Definition der Bandbreite Rechenzeiten zur Lösung linearer Gleichungssysteme Positiv definite Matrix Das Verfahren von Cholesky Kondition linearer Gleichungssysteme Zwangsbedingungen bei linearen Gleichungssystemen Näherungsfehler bei der FEM Das Tonti-Diagramm Beschreibung elastostatischer Probleme 3.1 Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie Verknüpfung der Verschiebungen mit den Dehnungen Das Stoffgesetz Gleichgewichtsbedingungen Randbedingungen Das Tonti-Diagramm des elastostatischen Problems Verknüpfung der Grundgleichungen der Elastostatik Das Prinzip virtueller Verrückungen Das Prinzip vom Gesamtpotential Das Verfahren von Ritz 4.1 Aufprägen der wesentlichen Randbedingungen Beispiel zu den wesentlichen Randbedingungen Eindimensionale Stabprobleme Diskretisierung der Formänderungsarbeit Diskretisierung des Potentials der äußeren Lasten Beispiel zum eindimensionalen Stab Eindimensionale Balkenprobleme Diskretisierung der Formänderungsarbeit Diskretisierung des Potentials der äußeren Lasten Variation des Gesamtpotentials Scheibenproblem Verschiebungsansätze Wesentliche Randbedingungen Dehnungen und Spannungen der Scheibe Diskretisierung der Formänderungsarbeit Diskretisierung des Potentials der äußeren Lasten Variation des Gesamtpotentials Kragbalken als Scheibenproblem... 89

4 Inhaltsverzeichnis XI 5 Stabelemente 5.1 Das eindimensionale Stabelement Problemdefinition Das Tonti-Diagramm des Stabes Das Funktional des Stabproblemes Diskretisierung des Funktionals des Stabes Variation des Funktionals Beispiel zum eindimensionalen Stab Direkte Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix (allgemein) Übungsbeispiele zum eindimensionalen Stab Variable Querschnittsfläche des Stabelementes Eindimensionales Stabelement mit n Knoten Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten Das zwei- und dreidimensionale Stabelement Das zweidimensionale Stabelement Beispiel zum zweidimensionalen Stabproblem Optimierung eines Stabtragwerkes Übungsbeispiele zum zweidimensionalen Stab Das dreidimensionale Stabelement Balkenelemente 6.1 Das eindimensionale Balkenelement Problemdefinition Dehnungen und Spannungen im Balken Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens Funktional des Balkenproblems Formfunktionen des eindimensionalen Balkens Diskretisierung des Funktionals Variation des diskretisierten Funktionals Bilden der Steifigkeitsmatrix Diskretisierung der Streckenlast Schnittgrößen des Balkenelementes Beispiel zum eindimensionalen Balken Zweiseitig gelagerter Balken mit Streckenlast Konvergenztest beim zweiknotigen Balkenelement Realisierung des Gelenkes über eine Zwangsbedingung Übungsbeispiele zum Bernoulli-Balken Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten Das eindimensionale Balkenelement mit drei Knoten

5 XII Inhaltsverzeichnis 6.5 Das eindimensionale Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten Balken mit unstetiger Krümmungsverteilung Der Timoshenko-Balken Schnittgrößen beim Timoshenko-Balken Locking-Effect Übungsbeispiele zum Timoshenko-Balken Der elastisch gelagerte Balken Beispiel zum elastisch gelagerten Balken Zweidimensionales Balkenelement Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkens Überlagerung der Dehnungen von Stab und Balken Steifigkeitsmatrix Transformation der Steifigkeitsmatrix Beispiel und Übungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken Winkelproblem Übungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken Scheibenproblem 7.1 Problemdefinition Die Grundgleichungen des Scheibenproblems Die Feldgleichungen der Scheibe Das Funktional des Scheibenproblems Diskretisierung des Funktionals mit drei Knoten Formfunktionen des Dreieckselementes mit drei Knoten Variation des diskretisierten Funktionals Diskretisierung der Volumenkräfte Diskretisierung der Streckenlasten Spannungen in der Scheibe Beispiele zum Scheibenproblem Übungsbeispiele zur Scheibe Platten- und Schalenelemente 8.1 Problemdefinition Grundbeziehungen der Platte Voraussetzungen bei der Kirchhoff-Platte Kinematische Größen der Platte Krümmungs-Momenten-Beziehung (Stoffgleichung) Gleichgewichtsbeziehungen der Platte Randbedingungen der Platte Das Funktional der Platte

6 Inhaltsverzeichnis XIII 8.4 Anforderungen an das Plattenelement Kompatibilität (konforme Elemente) Starrkörperbewegung Konstanter Dehnungszustand (Verzerrungszustand) Einige Dreiecksplattenelemente Diskretisierung des Funktionals Ansatzfunktion für die Durchbiegung Interpolationsbedingungen Formfunktionen Krümmungs-Verschiebungs-Beziehung Steifigkeitsmatrix Flächenlast Streckenlast entlang einer Elementkante Konvergenztest des Plattenelementes Vergleich der Platten nach DKT und Specht Schalenelement Konvergenztest für verschiedene Schalenelementtypen Räumlicher Spannungszustand 9.1 Problemdefinition Die Grundgleichungen des räumlichen Problems Die Feldgleichungen des räumlichen Problems Das Funktional des räumlichen Problems Das vierknotige Tetraederelement Volumenkoordinaten Das vierknotige Tetraederelement in globalen Koordinaten Diskretisierung des Funktionals Formfunktionen des vierknotigen Tetraederelementes Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung Spannungs-Verschiebungs-Beziehung Variation des diskretisierten Funktionals Steifigkeitsmatrix des vierknotigen Tetraederelementes Spannungen im vierknotigen Tetraederelement Flächenlast beim vierknotigen Tetraederelement Volumenkräfte beim vierknotigen Tetraederelement Konvergenztest in den Verformungen Konvergenztest in den Spannungen Beispiel zu einem räumlichen Spannungsproblem Feldprobleme 10.1 Wärmeübertragung Die Poisson sche Gleichung

7 XIV Inhaltsverzeichnis Randbedingungen Das Funktional der Wärmeübertragung Eindimensionale Wärmeübertragung Problemdefinition Funktional des eindimensionalen Wärmeübertragungsproblems Diskretisierung des Funktionals Variation des Funktionals Beispiel zur eindimensionalen Wärmeübertragung Übungsbeispiele: Eindimensionale Wärmeübertragung Zweidimensionale Wärmeübertragung Problemdefinition Randbedingungen bei der zweidimensionalen Wärmeübertragung Diskretisierung des Funktionals Variation des Funktionals Beispiel zur zweidimensionalen Wärmeübertragung Übungsbeispiele: Zweidimensionale Wärmeübertragung Torsion von prismatischen Körpern Funktional des Torsionsproblems Analogie: Wärmeübertragung zu Schichtenströmung Problembeschreibung Grundgleichungen Analogie der Randbedingungen Analoges Funktional des Strömungsproblems Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von Stäben und Balken 11.1 Der eindimensionale Stab Massenmatrix des eindimensionalen Stabes Eigenfrequenzen und Schwingungsformen Beispiele zum eindimensionalen Stab Einmassenschwinger Zweimassenschwinger Übungsbeispiel zur Stabschwingung Der eindimensionale Balken Massenmatrix des eindimensionalen Balkens Beispiele zum eindimensionalen Balken Beidseitig gelenkig gelagerte Balken Kragbalken Übungsbeispiel zur Balkenschwingung

8 Inhaltsverzeichnis XV 12 Nichtlineare Probleme 12.1 Große Verformungen Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung Dehnungen für Stab und Balken Stab mit großen Verformungen Balken mit großen Verformungen Knicken von Stäben und Balken Beispiel zum Stabknicken Knickbeispiel I (Stab) Beispiel zum Knicken von Balken Die vier Eulerfälle Knickbeispiel II (Balken) Knickbeispiel III (Dreiknotiges Balkenelement) CALL for FEM 13.1 Übersicht über CALL for FEM Installation von CALL for FEM auf dem Rechner Updates zu CALL for FEM Lösungen zu den Übungsbeispielen Hinweise auf die Lernsoftware durch Icons Video-Tutorials als Lernmittel Numerische Programme Symbolische Programme Symbolische Programme in Maple und Python Symbolische Programme in Maple Ausführliche Programmbeschreibungen Das Programm InterFEM Das Verfahren von Ritz für den eindimensionalen Stab (Ritz Stab) Das Verfahren von Ritz für den Balken (Ritz Balken) Das Verfahren von Ritz für die Scheibe (Ritz Scheibe) Eindimensionales Stabelement (Stab 1D) Eindimensionales Balkenelement (Balken 1D) Timoshenko-Balken (Timoshenko 1D) Dreiecksscheibenelement (Scheibe Dreieck) Plattenelement (Platte) Knicken eines eindimensionalen Balkens (Knicken Balken) Eigenfrequenzen und Schwingungsform des Balkens (Dynamik Balken) Eindimensionale Feldprobleme (Feldprobleme 1D) Zweidimensionale Feldprobleme (Feldprobleme 2D)

9 XVI Inhaltsverzeichnis 14 Beispiele zu den Programmen 14.1 Elastisch gelagerter Balken Scheibe gestützt durch eine Feder Wärmeübertragung (Torsion) eines gleichseitigen Dreiecks (Quadrates) Verwendete Formelzeichen und Symbole Literatur Sachverzeichnis Programme