Eindimensionale Finite Elemente

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1 Eindimensionale Finite Elemente Ein Einstieg in die Methode von Markus Merkel, Andreas Oechsner 1st Edition. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 Verlag C.H. Beck im Internet: ISBN schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Die Finite-Elemente-Methode im Überblick Grundlagen zur Modellbildung Motivation zur Finite-Elemente-Methode Aus der ingenieurmäßigen Anschauung motivierte Verfahren DieMatrix-Steifigkeitsmethode ÜbergangzumKontinuum Integralprinzipien DieMethodedergewichtetenResiduen Verfahren auf Basis des inneren Produktes Verfahren auf Basis der schwachen Formulierung Verfahren auf Basis der inversen Formulierung Beispielprobleme Literaturverzeichnis Stabelement Grundlegende Beschreibung zum Zugstab DasFiniteElementZugstab HerleitungüberPotenzial HerleitungüberSatzvonCastigliano Herleitung über das Prinzip der gewichteten Residuen BeispielproblemeundweiterführendeAufgaben Beispielprobleme WeiterführendeAufgaben Literaturverzeichnis Torsionsstab Grundlegende Beschreibungen zum Torsionsstab DasFiniteElementTorsionsstab Literaturverzeichnis xiii

3 xiv Inhaltsverzeichnis 5 Biegeelement EinführendeBemerkungen Grundlegende Beschreibung zum Balken Kinematik Gleichgewicht Stoffgesetz DifferenzialgleichungderBiegelinie AnalytischeLösungen DasFiniteElementebenerBiegebalken HerleitungüberPotenzial PrinzipdergewichtetenResiduen Anmerkungen zur Ableitung der Formfunktionen Das Finite Element Biegebalken mit zwei Verformungsebenen TransformationinderEbene TransformationimRaum ErmittlungäquivalenterKnotenlasten BeispielproblemeundweiterführendeAufgaben Beispielprobleme WeiterführendeAufgaben Literaturverzeichnis Allgemeines 1D-Element Überlagerungzumallgemeinen1D-Element Beispiel1:StabunterZugundTorsion Beispiel 2: Balken in der Ebene mit Zuganteil Koordinatentransformation EbeneTragwerke AllgemeinedreidimensionaleTragwerke Numerische Integration eines Finiten Elementes Interpolationsfunktion Einheitsbereich WeiterführendeAufgaben Literaturverzeichnis Ebene und räumliche Rahmenstrukturen AufbauderGesamtsteifigkeitsbeziehung LösenderSystemgleichung Lösungsauswertung BeispieleinderEbene EbenesTragwerkmitzweiStäben EbenesTragwerk:BalkenundStab BeispieleimDreidimensionalen WeiterführendeAufgaben Literaturverzeichnis

4 Inhaltsverzeichnis xv 8 Balken mit Schubanteil EinführendeBemerkungen Grundlegende Beschreibung zum Balken mit Schubeinfluss Kinematik Gleichgewicht Stoffgesetz DifferenzialgleichungenderBiegelinie AnalytischeLösungen Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil HerleitungüberPotenzial Herleitung über Satz von Castigliano Herleitung über das Prinzip der gewichteten Residuen Lineare Ansatzfunktionen für das Durchbiegungsund Verschiebungsfeld Höhere Ansatzfunktionen für den Balken mit Schubanteil BeispielproblemeundweiterführendeAufgaben Beispielprobleme WeiterführendeAufgaben Literaturverzeichnis Balken aus Verbundmaterial Verbundwerkstoffe AnisotropesStoffverhalten SpezielleSymmetrien Ingenieur-Konstanten Transformationsverhalten EbeneSpannungszustände Einführung in die Mikromechanik der Faserverbundwerkstoffe Mehrschichtiger Verbund Eine Schicht im Verbund Der vielschichtige Verbund EineFinite-Elemente-Formulierung Der Verbundstab Der Verbundbalken BeispielproblemeundweiterführendeAufgaben Literaturverzeichnis Nichtlineare Elastizität EinführendeBemerkungen Elementsteifigkeitsmatrix für dehnungsabhängige Elastizität LösungdesnichtlinearenGleichungssystems DirekteIteration Vollständiges Newton-Raphsonsches Verfahren Modifiziertes Newton-Raphsonsches Verfahren

5 xvi Inhaltsverzeichnis Konvergenzkriterien BeispielproblemeundweiterführendeAufgaben Beispielprobleme WeiterführendeAufgaben Literaturverzeichnis Plastizität Kontinuumsmechanische Grundlagen Fließbedingung Fließregel Verfestigungsgesetz Elasto-plastischerStoffmodul IntegrationderMaterialgleichungen Ableitung des vollständigen impliziten Backward-Euler- Algorithmus MathematischeAbleitung Interpretation als konvexes Optimierungsproblem Ableitung des semi-impliziten Backward-Euler-Algorithmus BeispielproblemeundweiterführendeAufgaben Beispielprobleme WeiterführendeAufgaben Literaturverzeichnis Stabilität (Knickung) StabilitätimStab/Balken GroßeVerformungen Steifigkeitsmatrizen bei großen Verformungen StabmitgroßenVerformungen BalkenmitgroßenVerformungen Beispiele zum Knicken: Die vier Eulerschen Knickfälle Analytische Lösung zu den Eulerschen Knickfällen Finite-Elemente-Lösung WeiterführendeAufgaben Literaturverzeichnis Dynamik Grundlagen zur linearen Dynamik DieMassenmatrizen ModaleAnalyse Erzwungene Schwingungen, Periodische Belastungen Direkte Integrationsverfahren, Transiente Analysen IntegrationnachNewmark ZentralesDifferenzenverfahren Beispiele Bereitstellung von Massen- und Steifigkeitsmatrizen.. 358

6 Inhaltsverzeichnis xvii DehnschwingungenimZugstab WeiterführendeAufgaben Literaturverzeichnis A Anhang A.1 Mathematik A.1.1 DasgriechischeAlphabet A.1.2 HäufigbenutzteKonstanten A.1.3 SpezielleProdukte A.1.4 TrigonometrischeFunktionen A.1.5 Grundlagen zur linearen Algebra A.1.6 Ableitungen A.1.7 Integration A.1.8 Entwicklung einer Funktion in eine Taylor-Reihe A.2 EinheitenundUmrechnung A.2.1 KonsistenteEinheiten A.2.2 Umrechnung wichtiger angelsächsischer Einheiten Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben Sachverzeichnis