Numerische Mathematik

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1 Numerische Mathematik Eine beispielorientierte Einführung von Michael Knorrenschild 1. Auflage Numerische Mathematik Knorrenschild schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Hanser München 2003 Verlag C.H. Beck im Internet: ISBN Inhaltsverzeichnis: Numerische Mathematik Knorrenschild

2 CARL HANSER VERLAG Michael Knorrenschild Numerische Mathematik Eine beispielorientierte Einführung

3 18 1 Rechnerarithmetik und Gleitpunktzahlen Bei der Addition und Subtraktion addieren sich die absoluten Fehler der Summanden in erster Näherung. Der absolute Fehler eines Produktes liegt in der Größenordnung des Produktes des größeren der beiden Faktoren mit dem größeren der beiden absoluten Fehler. Beim Multiplizieren addieren sich die relativen Fehler der Faktoren in erster Näherung Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertungen Wertet man nun eine Funktion f an einer Stelle x anstatt einer Stelle x aus, so wird man natürlich auch einen fehlerbehafteten Funktionswert erhalten. Je nachdem wie die Funktion aussieht, kann dieser Fehler im Funktionswert größer oder kleiner als der Fehler im Eingangswert sein. Man spricht dabei von Fehlerfortpflanzung. Verarbeitet man diese Funktionswerte wiederum in anderen Funktionen, so pflanzt sich der Fehler erneut fort und es ist u. U. nach einer Reihe von Funktionsanwendungen gar nicht mehr klar, ob man dem Ergebnis überhaupt noch trauen kann, da ja unklar ist, wie sich der Fehler der Eingangsdaten im Laufe der Rechnung fortpflanzt. Der Mittelwertsatz liefert aber ein geeignetes Hilfsmittel um zu untersuchen, wie sich ein Fehler in x auf den Fehler im Funktionswert f(x) auswirkt. Es gilt = f (x 0 ) für eine unbekannte Zwischenstelle x 0 zwischen x und x. Der absolute Fehler vergrößert sich also beim Auswerten der Funktion f, falls f (x 0 ) > 1 ist; falls f (x 0 ) < 1 ist, so verkleinert er sich. Entscheidend ist also die Größe der Ableitung diese bestimmt den Verstärkungsfaktor für den absoluten Fehler. Da man die Stelle x 0 nicht kennt, betrachtet man den schlimmsten Fall, d. h. man untersucht, wo f (x 0 ) am größten wird und erhält dann: Abschätzung des absoluten Fehlers bei Funktionsauswertung M mit M := max x 0 I f (x 0 ) (1.2) wobei I ein Intervall ist, das sowohl x als auch x enthält. Als Fehlerschätzung hat man f ( x).

4 1.3 Fehlerrechnung 19 Beispiel 1.5 Es soll die Fortpflanzung des absoluten Fehlers für f(x) = sin x untersucht werden. Lösung: Hier ist stets f (x 0 ) = cos x 0 1 =: M, d. h. beim Auswerten von sin wird der absolute Fehler in den Funktionswerten nicht größer sein als in den x-werten. Eher wird er kleiner werden (denn für die meisten x 0 gilt ja cos x 0 < 1). Beispiel 1.6 Es soll die Fortpflanzung des absoluten Fehlers für f(x) = 1000 x untersucht werden. Lösung: Da f (x 0 ) = 1000, wird der absolute Fehler in x durch die Funktionsauswertung um den Faktor 1000 vergrößert. Beispiel 1.7 Es soll die Fortpflanzung des absoluten Fehlers für f(x) = x untersucht werden. Lösung: Es ist f (x 0 ) = 0.5/ x 0, was nahe bei 0 beliebig groß wird. Wertet man also diese Funktion nahe bei 0 mit fehlerbehafteten x-werten aus, so muss man mit einer starken Vergrößerung des Fehlers rechnen. Betrachtet man z. B. x = 0.01, genähert durch x = 0.011, so erhält man einen absoluten Fehler in x von x x = Der Fehler in den Funktionswerten ergibt sich zu = = = Der absolute Fehler wird also um den Faktor 4.88 vergrößert. Der Mittelwertsatz würde hier die Abschätzung liefern M mit M := max x 0 [0.01,0.011] 2 = 5, x 0 also im Hinblick auf den wirklichen Faktor 4.88 eine recht realistische Abschätzung der Lage der Dinge. Wie sieht es nun mit der Fortpflanzung des relativen Fehler aus? Beispiel 1.8 Es soll die Fortpflanzung des relativen Fehlers für f(x) = x und x = 0.01, x = untersucht werden.

5 20 1 Rechnerarithmetik und Gleitpunktzahlen Lösung: = , = 0.1 d. h. der relative Fehler halbiert sich etwa. Für den allgemeinen Fall verwenden wir die obige Abschätzung für den absoluten Fehler und erhalten M Schätzt man den darin auftretenden Fehlerverstärkungsfaktor M nach oben ab, so erhält man Abschätzung des relativen Fehlers bei Funktionsauswertung M max x 0 x 0 I min f(x 0) x O I, wobei I ein Intervall ist, das sowohl x als auch x enthält. Als Fehlerschätzung hat man f ( x) x f( x). Der Faktor f ( x) x f( x) (1.3) wird Konditionszahl genannt. Bemerkungen: 1. Man spricht von einem gut konditionierten Problem, wenn die Konditionszahl klein ist (d. h. beim Auswerten der Funktion wird der relative Fehler nicht viel größer). Ein schlecht konditioniertes Problem liegt vor, wenn die Konditionszahl sehr groß ist, z. B. wenn f (x) und groß sind, und klein. 2. Man beachte bei den Schätzungen, dass diese realistisch sein können, aber nicht sein müssen wie es eben bei Schätzungen so ist.