Errata zu Numerische Mathematik von Michael Knorrenschild Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 2003 (1. Aufl.), ISBN

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1 Errata zu Numerische Mathematik von Michael Knorrenschild Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 2003 (. Aufl.), ISBN Die Änderungen sind rot hervorgehoben. Dank an Dr. Thomas Schenk (Aachen), Prof. Dr. Wieland Richter (Soest), Prof. Dr. Georg Engelmann (Köln), Dr. Angela Lilienthal (Gelsenkirchen), Dr. Hans-Jochen Bartsch, Prof. Dr. Bernd Engelmann (Leipzig), Johannes Jaeschke, Prof. Dr. Helmut Paster (München), Theodor Lorch (München), Kristina Bretschneider, Thomas Kisel, Tim Guske, Eva Rieger (alle Stuttgart), Tobias Heilmannseder (München), Sebastian Kraatz (Wilhelmshaven), Peter Proske (Augsburg), Franz Niederl (Graz), Michael Schlosser (Koblenz), Alessandro Lenzen (Aachen), Prof. Dr. Uwe Schnell (Zittau), Marc Finkenzeller (Offenburg), Dr. Karl-Heinz Brakhage (Aachen), Prof. Dr. Stefan Glasauer (Augsburg), Dr. Nadine Conza (Windisch), Anton Feist (Bielefeld) und Christian Frei (Basel) für Beiträge zu dieser Liste. Alle hier aufgeführten Fehler beziehen sich nur auf die. Auflage (2003), die meisten davon sind in den späteren Auflagen bereits behoben. S. 9 Definition Eine n-stellige Gleitpunktzahl zur Basis B hat die Form n x = ±(0.z z 2... z n ) B B E und den Wert ± z i B E i (.) S. 5 + eps gilt. Man bezeichnet eps auch als Maschinengenauigkeit. Es gilt S. 5 Beispiel.4 Es soll f(x, h) := f(x + h) f(x) für f(x) = sin x, x = und S. 6 Lösung: Man erhält h f(, h) abs. Fehler rel. Fehler

2 2 S Was können Sie über den relativen Fehler von f( x) sagen, wenn Sie S. 28 n x n x n x n S. 3 x n x αn α x x 0 = 0.75n = n! 0 4 n Die a-posteriori-abschätzung für n = 9 lautet S. 33 Siehe Bild 2.2. Das geht natürlich nur, wenn f (x 0 ) 0 ist, d. h. wenn die Tangente nicht parallel zur x-achse liegt. Die Stelle x sollte dann eine bessere S. 34 x n+ = x n x n x n f(x n ) f(x n ) f(x n), n =, 2,... S. 38 a a 2 a n x b a 2 a 22 a 2n... x 2. = b 2. a n a n2 a nn x n b n S A 2 x = x = 24 bzw. =

3 3 S A 4 x = x = 4 bzw. = S. 45 Beispiel 3.5 Lösung: z 3:=z z z3:=z3 z Beispiel 3.6 Das System A x = b mit 0 4 A =, b = 2 [...] 0 Lösung: Ohne Pivotisierung erhält man bei 4-stelliger Rechnung 0 4 z ( A b) = 2:=z z [...] ( 0 4 ) 2 0 z z z 2:=z z S. 46 Die exakte Lösung ist x = ( , ) T, d. h. das mit [...] λ = [...] letzte Zeile: 0 0 L 4 := L 3 L 2 L = 4 0, 0.5 S. 47 Lösung: Wir haben in Beispiel 3.7 R schon ausgerechnet. Aus L 4 A = R erhalten wir sofort A = L 4 R, wobei L 4 = L L 2 L 3. Dabei lassen sich die Matrizen L i, i =, 2, 3 ganz einfach durch Wechseln der Vorzeichen der Unterdiagonalelemente von L i berechnen. Insbesondere ist auch L 4 wieder eine links-untere Dreiecksmatrix. Mit L := L 4 erhalten wir insgesamt:

4 4 S. 5 Definition Eine Abbildung. : IR n IR heißt Norm, wenn die folgenden... S. 53 Die -Norm von A ist also die maximale zeilenweise Summe der Absolutbeträge der Elemente ( Zeilensummennorm ) und die -Norm von A ist S. 54 A = 2 4, b = A = 2., A = = A 4 2 = = In der -Norm haben wir also cond( A) = = Mit (3.4) und (3.5) und b =.5 erhalten wir dann: x x 60.5 b b 6.05 x x x cond( A) b b b = Die Lösung x des gestörten Systems A x = b wird also von der Lösung x des exakten Systems A x = b in jeder Komponente um maximal 6.05 abweichen (absoluter Fehler), und der relative Fehler in der -Norm wird maximal 48.8 betragen. Man beachte, dass der relative Fehler nicht auf die Komponenten umgerechnet werden kann, da wir hier mit Vektoren hantieren. Der Fehlerverstärkungsfaktor für den absoluten Fehler in der -Norm ist maximal 60.5, der für den relativen Fehler maximal Testen wir das an einem konkreten Fall: Die gestörte rechte Seite sei 0.9 b =, also b b.6 = 0., b b b = 0..5 = S. 55 Wir sehen also, dass in dieser Situation der absolute Fehler um den Faktor 60.5 (der maximal mögliche) verstärkt wurde und der relative Fehler um den Faktor [...]

5 5 Beispiel 3.2 Lösung: A = 2., cond( A) = , b =.5, b 0. also cond( A) A A x x = <, [...] ( ) Ã = , b = S. 56 x = ( ), x = = x x = , x x x = Wir sehen also, dass der relative Fehler des Lösungsvektors ca. 62 % beträgt; [...] x = ( I A) x + b = x = x S. 58 i x (i) S. 59 x (n+) 2 = 0.4 x (n) 0.2 x (n) (3.9)

6 6 S. 59, unten: x (n+) = 0 0 x (n) S. 6 das sog. Zeilensummenkriterium. Matrizen, die diese Bedingung erfüllen, nennt man auch diagonaldominant. Für die -Norm erhalten wir analog: B = D ( L + R) = max j=,...,n n i j a ij a ii Hinreichend für die Konvergenz des Gesamtschrittverfahrens ist auch das Spaltensummenkriterium: n a ij < a jj, für alle j =,..., n. i j Einen Nachweis findet man z. B. in [2]. S. 62 Der wirkliche Fehler von x (5) ist: x (5) x = max { , , } = , und ist damit etwa 0mal kleiner als unsere Abschätzung suggeriert. S. 65 Wir suchen nun eine Nullstelle x der rechten Seite, d. h. f( x (n) ) + Df( x (n) ) ( x x (n) ) = o Die Idee ist wiederum, dass dieser Vektor x eine genauere Näherung für die S. 67 Bemerkungen:. Durch eine Schrittweitendämpfung kann eine Verbesserung der Konvergenz erzielt werden; man spricht dann vom gedämpften Newton- S. 69 neu Df( x (0) ) δ () = Df(4, 2) δ () = f( x () ) = f( 2.909,.455) 2 4 δ () 0.00 = δ () =

7 7 [...] Bemerkung: Auch Fixpunktiterationen, wie wir sie in Abschnitt 2.3 kennen gelernt haben, sind für die Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme einsetzbar. Die Begriffe aus der eindimensionalen Situation übertragen sich entsprechend auf die mehrdimensionale. Anstelle von F (x) tritt wieder die Jacobi-Matrix DF ( x). Ein Fixpunkt x von F ist anziehend, wenn DF ( x) < S. 70 möchte man in einer Weise weiterarbeiten, die mit den Wertepaaren selbst eine Funktions/ f, deren Graph genau durch die vorgegebenen Wertepaare S. 7 Satz: Existenz und Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms Gegeben sind n + Wertepaare (x i, f i ), i = 0,..., n. Dann gibt es genau S. 72 es gibt kein a 4 im Beispiel vorgestellten Methoden) zu: a 0 = 2, a = 9, a 2 = 9, a 3 = 7. Das S. 74, vorletzte Zeile die in der oberen Schrägzeile des Differenzenschemas stehen. S. 76 Algorithmus: Das Neville-Aitken-Schema für k =,..., n: für i = 0,..., n k:

8 8 S. 77 x i f i = p i0 (.5) p i (.5) p i2 (.5) p i3 (.5) = p 0(.5) 4.5 = p (.5) 2.25 = p 02(.5) 5.5 = p 2(.5) 8.25 = p 03(.5) 2.5 = p 2(.5) 2-4 S. 80 Beispiel 5.8 Lösung: Wir erhalten p(x) = 0.0 x x x S. 8 ist bis auf Ausnahmen nicht sinnvoll. Eine davon wird in 7..3 behandelt S. 84 auch der Spline diese Ableitungen besitzt: s (x 0 ) = y 0, s (x n ) = y n.... Satz: Berechnung der Momente... für den periodischen Spline: M 0 = M n und... wobei x n+ := x n + x x 0, f n+ = f,... S. 89, 2. Zeile... und D = 0.25, D 2 =, D 3 = 0.25.

9 s(x) = π 3 x π 2 x π x 27 x [ 2π 4 3, π] S. 92 0! = gehört nicht in die beiden folgenden Gleichungen: S. 94 a a n n x 2 i + b x i = n n x i + b = n f(x i ) x i (6.4) n f(x i ), (6.5) 0 = E(f)(λ, λ 2,..., λ m ) λ i, i =,..., m 0. Zeile von unten metrischen m m-koeffizientenmatrix A T A, der gegebenen rechten Seite S = 0 = E(a, b) a E(a, b) b = 2 = 2 5 (y i a e b xi ) e b xi 5 (y i a e b xi ) a e b xi x i. S. 00, drittletzte Zeile wobei Df( x (0) ) die Jacobi-Matrix in x (0) bezeichnet (siehe 4.). Das Minimie- S. 0 Definition: Gauß-Newton-Verfahren Berechne δ (n) als Lösung des linearen Ausgleichsproblems: minimiere f( x (n) ) + Df( x (n) ) δ (n) 2 2 Setze x (n+) := x (n) + δ (n).

10 0 Algorithmus: Gedämpftes Gauß-Newton-Verfahren Sei x (0) ein Startvektor in der Nähe des Minimums von E. Das gedämpfte Gauß-Newton-Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung des Minimums lautet: löse Df( x (n) ) T Df( x (n) ) δ (n) = Df( x (n) ) T f( x (n) ) S. 06, 3. und 4. Zeile von unten bei 0-stelliger Rechnung, eps = : Da für h < eps auf dem Rechner +h und identisch sind, wird D f(, h) = 0 und damit ist der Fehler S. 08 Zur Herleitung einer genaueren Differenzenformel lesen wir die Taylorformel (7.) mit x = x 0 ± h und n = 2 und erhalten: f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f (x 0 ) h + f (x 0 ) 2 h 2 + f (x 0 ) 6 h 3 + f (4) (z ) 24 h 4 S. 0, vorletzte Zeile zu erhöhen, ist für alle Formeln durchführbar, die eine Fehlerentwicklung nach Potenzen von h besitzen. S. D (h) = D c 2 2 h D (h) = D c 2 h k+ 2 (2 k ) c 3 h k (2 k )... S. 5 Zu beobachten sind die gleichen Phänomene wie in Beispiel 7.5: Abnehmender Fehler von oben nach unten und links nach rechts im Dreiecksschema.

11 S. 6 Satz p i0 (0) := D( h 2 i ), für i = 0,..., n p ik (0) = p i+,k (0) + x i+k x i+k x i (p i,k (0) p i+,k (0)) S. 33 aus T i,0 und den neu hinzu kommenden Funktionswerten. Mit n := 2 i T i0 = [...] = 2 T i,0 + h i 2 n k= f(a + 2 k 2 h i ). S. 49 Hierbei ist s die Stufenzahl, a ij, c j, b j sind Konstanten. Die Konsistenz- S. 5, 3. Zeile 8.4 der Differenzialgleichung berechnet wird, wenn die Bedingung s j= b j = S. 52, 7. Zeile rischen Lösung. Implizite Verfahren weisen jedoch Vorteile in der Stabilität S Das gibt 2 5 verschiedene Exponenten (da die Null doppelt gezählt wurde). Insgesamt gibt es also 2 20 (2 5 ) = Möglichkeiten. Da wir aber die Zahl 0 noch nicht erfasst haben, sind es insgesamt Maschinenzahlen. Die kleinste positive Maschinenzahl ist dabei 0. 2 = , die größte ist 0. 2 = ( 2 20 ) 2 5 = =

12 2 S eps := ; while. + eps. do eps := eps/2; eps := eps 2; write eps. S f(x) = ln x + x 2 = f (x) = + x2 2 x 2 ln x x ( + x 2 ) 2. Auf [ 3, 2] gilt dann f (x) + x2 + 2 x 2 ln x x ( + x 2 ) ln 3 3 ( + = 2.43 (5 + 8 ln 3) 9 )2 Mit M := 2.43 (5 + 8 ln 3) gilt also f(x) f( x) M x x. Damit f(x) f( x) 0.0 ist, reicht es aus, wenn M x x 0.0 gilt, also x x M 0.0. S R 5 = S x x 2 6 x + 5 x [0, ] s 2 (x) = 9 x x 2 30 x + 3 x [, 2] 5 x 3 48 x x 99 x [2, 4] S. 65/ Diskretisierungsfehler von D 2 f(x 0, h) 6 f (x 0 ) h 2 s. (7.4) Gleichsetzen ergibt: 0 n f(x 0 ) Umstellen nach h führt auf: h n f(x 0) f (x 0 ). 2 h 6 f (x 0 ) h 2. Angewandt auf Aufgabe 7. erhält man: h tan ,

13 3 S. 70 y N = y N + h 2 (f(t N ) + f(t N )) = y N 2 + h 2 (f(t N 2) + 2 f(t N ) + f(t N )) Stand: 8. Mai 204