Übungen zur Mathematik Blatt 1

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1 Blatt 1 Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der im Bild skizzierten periodischen Funktion, die im Periodenintervall [ π, π] durch die Gleichung f(x) = x beschrieben wird. Zeichnen Sie die ersten drei Näherungsfunktionen der Fourier- Reihe. π f(x) 2π π π 2π x Aufgabe 2: Wie lautet die Fourier-Entwicklung der im Bild dargestellen Sägezahnfunktion? 5π 3π π π π π 3π f(x) 5π x Aufgabe 3: Gegeben sei die im Bild dargestellte Funktion, die im Periodenintervall [ π, π] durch die Gleichung f(x) = x 2 beschrieben wird. π 2 f(x) 5π 3π π Entwickeln Sie f in eine Fourier-Reihe. π 3π 5π x

2 Blatt 2 Aufgabe 1: Wie lauten die Fixpunkte der folgenden Funktionen? a) f: [, 1] R, f(x) = 1 x 2 b) f: R R, f(x) = x + sin(x) Aufgabe 2: Betrachten Sie die Funktion f: R R, f(x) = x + sin(x). Diese Funktion hat auf dem Intervall [, 2π] drei Fixpunkte. a) Wo liegen diese Fixpunkte? Zeichnen Sie die Funktion f, die Winkelhalbierende und die Fixpunkte. Führen Sie grafisch die Fixpunktiteration x n+1 = f(x n ) für n =, 1, 2 mit dem Startwert x = 1 durch. b) Führen Sie rechnerisch fünf Fixpunktiterationen mit dem Startwert x = 1 mit möglichst vielen Nachkommastellen durch. Verifizieren Sie, dass die Iterierten gegen π = 3, konvergieren. c) Führen Sie wie unter c) Fixpunktiterationen mit dem Startwert x = 5 durch. Was passiert, wenn Sie mit dem Startwert x = beginnen? d) Führen Sie die Fixpunktiterationen jeweils mit den Startwerten x = 7 und x = 1 durch. Gegen welche Zahlen konvergieren die Iterationen? Begründen Sie Ihre Antwort. e) Was passiert, wenn die Iteration mit einem Startwert x aus einem Intervall [kπ, (k + 2)π], k =, ±2, ±4,..., durchgeführt wird?

3 Blatt 3 Aufgabe 1: Berechnen Sie mit Hilfe der Fixpunktiteration x n+1 Fixpunkte der Funktionen = f(x n ) die f(x) = 1 2 e 2x, x (, 1), und f(x) = 2 sin(x), x (, 2), wobei für die erste Funktion der Startwert x =.2 und für die zweite Funktion der Startwert x = 1 gewählt werde. Führen Sie zehn Iterationen durch. Wieviele Nachkommastellen sind exakt? Aufgabe 2: Betrachten Sie die Funktionen f α : [, 1] [, 1], f α (x) = αx(1 x). Der Parameter α erfülle die Bedingung 1 < α 4. a) f α hat auf dem Intervall (, 1] genau einen Fixpunkt x α. Bestimmen Sie x α. b) Für welche α ist der Fixpunkt anziehend und für welche abstoßend? c) Wählen Sie als Startwert x = 1/4 und führen Sie die Parabeliteration x n+1 := f α (x n ), n =, 1, 2,..., mit Hilfe des Applets felten/applets/iterationparabel.html durch und diskutieren Sie die Fälle 1 < α 2 und 2 < α < 3. Inwieweit unterscheidet sich die Konvergenz? d) Wählt man α nur wenig größer als 3, so ergibt sich ein überraschender Effekt. Beschreiben Sie diesen und wählen Sie α (3, 3.4). e) Jenseits eines bestimmten Steuerparameters α tritt Chaos ein. Die Iterierten springen wirr hin und her. Bestimmen Sie α ungefähr.

4 Blatt 4 Aufgabe 1: Bestimmen Sie iterativ einen Fixpunkt des Polynoms p(x) = 1 5 x x2 1, x ( 5, 2), wobei als Startwerte folgende Zahlen gewählt werden: x = sowie die Näherungswerte x =.7 und x = 1.55 für zwei der Fixpunkte x 1 = und x 2 = von p. Führen Sie die Iteration mit Hilfe des Applets durch. felten/applets/iterationfunktion.html Aufgabe 2: a) Berechnen Sie 11 = iterativ mit Hilfe der Fixpunktgleichung 1 11 x2 + x + 1 = x. Führen Sie beginnend mit dem Startwert x = 2 die Iterationen durch. Verwenden Sie dabei das in Aufgabe 1 erwähnte Applet. Wieviele Iterationsschritte sind erforderlich, um 16 exakte Nachkommastellen zu erhalten? b) Berechnen Sie 7 und 23 mit Hilfe geeigneter Fixpunktgleichungen.

5 Blatt 5 Aufgabe 1: Wie lauten die Fixpunkte der folgenden Funktionen? a) f 1 (x) = x x5, b) f 2 (x) = x x5, c) f 3 (x) = x 1 3 x5. Welche Fixpunkte sind anziehend und welche abstoßend? Aufgabe 2: Berechnen Sie 5 37 = iterativ jeweils mit Hilfe der Fixpunktgleichungen f 1 (x) = x, f 2 (x) = x und f 3 (x) = x (unter Verwendung der Funktionen aus Aufgabe 1). Führen Sie beginnend mit dem Startwert x = 2 jeweils die Iterationen durch. 1 a) Welche Fixpunktiterationen konvergieren, welche divergieren? Begründen Sie Ihre Antwort. b) Vergleichen Sie die Konvergenzgeschwindigkeit. c) Bestimmen Sie positive Konstanten L 1 und L 2, so dass für x [2, 2.1] gilt. d) Leiten Sie aus der Ungleichung eine Fehlerabschätzung her. f 1(x) L 1 und f 2(x) L 2 x n 5 37 Ln 1 L x 1 x 1 Verwenden Sie das Applet felten/applets/iterationfunktion.html

6 Blatt 6 Aufgabe 1: Berechnen Sie 5 37 = näherungsweise. a) Wenden Sie das Newton-Verfahren auf die Funktion f(x) = x 5 37 an. Führen Sie mit einem Taschenrechner zwei Iterationen durch. Wählen Sie als Startwert x = 2. b) Wieviele weitere Iterationsschritte sind etwa erforderlich, um 16 exakte Nachkommastellen zu berechnen? c) Vergleichen Sie die Iteration mit der von Aufgabe 2 auf Blatt 4. Aufgabe 2: Betrachten Sie die Funktion f: R R, f(x) = e x + x 2. Diese Funktion hat im Intervall [, 1] eine Nullstelle. Berechnen Sie diese näherungsweise mit dem Newton-Verfahren unter Benutzung eines Taschenrechners. Verwenden Sie möglichst viele Nachkommastellen, und wählen Sie als Startwert x = 1. Wieviele Iterationen sind notwendig, um 16 Nachkommastellen exakt zu berechnen? Aufgabe 3: Gegeben sei die Funktion f: R R, f(x) = x (3 ex ). Bestimmen Sie mit dem Newton-Verfahren näherungsweise die beiden Nullstellen, die etwa bei 1.5 und 1. liegen. Verwenden Sie dazu einen Taschenrechner und berechnen Sie die Nullstellen auf 9 Nachkommastellen genau.

7 Blatt 7 Aufgabe 1: Berechnen Sie 5 37 = näherungsweise mit dem Sekanten-Verfahren. a) Wenden Sie das Sekanten-Verfahren auf die Funktion f(x) = x 5 37 an. Berechnen Sie mit einem Taschenrechner die iterierten Werte x 2 bis x 6. Wählen Sie als Startwerte x = 2 und x 1 = 3. b) Wieviele weitere Iterationsschritte sind etwa erforderlich, um 16 exakte Nachkommastellen zu berechnen? c) Vergleichen Sie die berechneten Näherungen mit denen des Newton-Verfahrens. Aufgabe 2: Betrachten Sie die Funktion f: R R, f(x) = e x + x 2. Diese Funktion hat im Intervall [, 1] eine Nullstelle. Berechnen Sie diese näherungsweise mit dem Sekanten-Verfahren unter Benutzung eines Taschenrechners. a) Verwenden Sie möglichst viele Nachkommastellen, und wählen Sie als Startwerte x = und x 1 = 1. Wieviele Iterationen sind notwendig, um etwa 16 Nachkommastellen exakt zu berechnen? b) Vergleichen Sie die berechneten Näherungen mit denen des Newton-Verfahrens. Aufgabe 3: Gegeben sei die Funktion f: R R, f(x) = x (3 ex ). Bestimmen Sie mit dem Sekanten-Verfahren näherungsweise die beiden Nullstellen, die etwa bei 1.5 und 1. liegen. a) Verwenden Sie dazu einen Taschenrechner und berechnen Sie die Nullstellen auf 9 Nachkommastellen genau. b) Vergleichen Sie die berechneten Näherungen mit denen des Newton-Verfahrens.

8 Blatt 8 Aufgabe 1: Lösen Sie die beiden linearen Gleichungssysteme mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens. 2x + y 3z = 6 3x 2y 4z = 3 2x + y + 3z = 1 2x 3y + z = 2 3x 4y + 5z = 4 x + y 3z = 2 Aufgabe 2: Lösen Sie das lineare Gleichungssystem x x x 3 = x 4 4. Aufgabe 3: Zeigen Sie: a) Das lineare Gleichungssystem x 1 + x 3 = 1 2x 1 + x 2 2x 3 + x 4 = 5 3x 2 + x 3 2x 4 = 1 5x 1 x 2 4x 3 + 4x 4 = 8 ist unlösbar. b) Das lineare Gleichungssystem x 1 x 2 2x 3 + 3x 4 = 3 x 2 + x 3 2x 4 = 2 x 1 x 3 + x 4 = 1 x 1 + x 2 + x 4 = 1 hat unendlich viele Lösungen.

9 Blatt 9 Aufgabe 1: Führen Sie die folgenden Matrix-Vektor-Multiplikationen aus , 1 1, Aufgabe 2: Berechnen Sie die Matrizenprodukte A A, A B, B A, B B (soweit diese überhaupt existieren) für a) A = b) A = ( , B = ), B = Zeigen Sie anhand dieser Beispiele, dass im Allgemeinen A B B A ist. Aufgabe 3: Welche Matrizen sind regulär und welche singulär? Wie lautet der Rang der Matrizen? A = 2 3 2, B = , C = Aufgabe 4: Invertieren Sie die Matrix 1 1 A = mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens. Überprüfen Sie das Ergebnis durch Multiplikation von A mit A 1.

10 Blatt 1. Die Iterationsvor Aufgabe 1: Gegeben seien A = schrift des Gesamtschrittverfahrens lautet, b = x (m+1) := D 1 (L + R)x (m) + D 1 b, m =, 1,... ( ) a) Geben Sie die Matrizen D, L und R an. b) Berechnen Sie D 1, D 1 (L + R) und D 1 b. c) Überprüfen Sie die Konvergenz von ( ), indem Sie das Zeilensummenkriterium anwenden. d) Ist das Spaltensummenkriterium erfüllt? e) Führen Sie vier Iterationsschritte mit dem Startvektor x () = Verwendung rationaler Zahlen (exakte Rechnung) durch. unter