Inhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme

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1 Inhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme I Nichtlineare Gleichungssysteme I. Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlichen I.2 I.3 Newton-Verfahren Kapitel I (UebersichtKapI) 3 Bisektionsverfahren am Beispiel f = x 2 Bisektion Bisektion x 2 Startwert:, Fehlerschranke Lineare Konvergenz In jedem Schritt Halbierung der Intervalllänge Pro Schritt eine Funktionsauswertung Kapitel I (nonlin) 2

2 2 Regula falsi am Beispiel f = x 2 Regula falsi Regula falsi 2 x 2 Startwert:, Fehler Lineare Konvergenz Reduktion der Intervalllänge variabel Pro Schritt eine Funktionsauswertung Kapitel I (nonlin6) 3 2 Sekantenverfahren Sekantenverfahren Sekantenverfahren 2 x 2 Startwert:, Fehler Konvergenzordnung i.d.r. p = (+ )/2 Pro Schritt eine Funktionsauswertung Reduktion der Intervalllänge variabel Kapitel I (nonlin7) 4

3 x = x (Start x = 7) Wurzelfunktion Fehler Fixpunkt: Φ(x) = x = x, Nullstelle: g(x) = x x Pro Schritt eine Funktionsauswertung, lin. Konvergenz Φ () = 2 Kapitel I (nonlin2) : Kritischer Einfluss der Wahl von Φ am Beispiel 2 x 2 e x = (Start x =.4) Konvergenz: Φ(x) = log(2 x 2 ).7... Fehler.. log(2 x 2 ) Keine Konvergenz: Φ(x) = 2 e x Iterierte 4..2 Fehler Kapitel I (nonlin3) 6

4 : Kritischer Einfluss des Startwerts am Beispiel x 2 = x,φ(x) = x 2 Divergenz x 2 : Divergenz Startwert: Iterierte quad. Konvergenz gegen x =, (x = instabil) x 2 : Konvergenz Startwert:.99 Iterierte Kapitel I (nonlin4) 7 : Konvergenzgeschwindigkeit in Abhängigkeit von Φ bzw. Φ Verschiedene en mit Fixpunkt x = : φ (x) = x /4, φ (x ) = 4, φ 2 (x) = x /2, φ 2 (x ) = 2, φ 3 (x) = x 3/4, φ 3 (x ) = 3 4, Fehlerabnahme φ φ 2 φ 3 Startwert x = Für < φ j (x ) = q j < lokal lineare Konvergenz mit φ j (x k ) x q j x k x. Kapitel I (nonlin24) 8

5 Wurzelberechnung mit dem Newton-Verfahren Beispiel Gesucht sei x = n a, a >, 2 n N. Umformung ergibt x n a =. Setze f(x) := x n a. Anwendung des Newton-Verfahrens ergibt die Folge (x k ) mit x k+ = ( (n )xk +ax n ) k. n Beispiel: Für die Berechnung von 3 8 ergibt sich mit x = 2.9 k x k e k e k /e 2 k e e e e e e < eps Kapitel I (nonlin8) 9 Wurzelberechnung mit dem Newton-Verfahren Konvergenzbetrachtung Das Newton-Verfahren ist lokal quadratisch konvergent, d.h. ε > : x k+ x ω 2 x k x 2, x k [x ε,x +ε]. Beispiel 2 e k e k e k /e 2 k k konstant quadratische Konvergenz Kapitel I (nonlin9)

6 Wurzelberechnung 3 8 mit dem Newton-Verfahren Iterationsverlauf abhängig vom Startwert x = x = Kapitel I (nonlin) Lokale Konvergenz beim Newtonverfahren.... Startwert: Startwert:.3 Startwert: Startwert: Sei s die kritische Schranke gegeben durch: 2s (+s 2 )arctan(s) =. Oben: Konvergenz für x ( s,s) Unten: Divergenz für x ( s,s). Startwert: Startwert: abs. Fehler Kapitel I (nonlin4) 2

7 Newton-Verfahren: Berechnung von π/4 Setze f(x) := tanx. Anwendung des Newton-Verfahrens ergibt die Folge (x k ) mit Beispiel: Mit x =. x k+ = x k 2 sin2x k +cos 2 x k. k x k e k e k /e 2 k. 7.e e e e e e e e e < eps e k /e 2 k konstant quadratische Konvergenz Kapitel I (nonlin) 3 Newton-Verfahren: Berechnung von π/4 Konvergenzbetrachtung Fehler Visualisierung 2 e k e k k Kapitel I (nonlin2) 4

8 Vergleich Newton und Sekantenverfahren Nullstellenbestimmung von f(x) = 2 x 2 e x : Startwerte: x =, x = 2. Fehler e k = x k x k e k Sekant e k Newton e e e e e e e e e e-.732e-3 < eps e-4 7.2e e e-6 x muss numerisch bestimmt werden. e k Sekant e 2k Sekant e k Newton Aufwand: Newton 2 Sekant Konvergenz: 2 = p new > p sek.68 p new < (p sek ) Kapitel I (nonlin23) Verfahren im Vergleich (Startwert abhängig)... atan(x) x 3 6x (4sin x 2 +x 3 +.) exp(.2(x.) 2 ) 4 2 Regula falsi Sekanten Newton 3 2 x 3 6 x 2 Sekanten Bisektion Newton Regula falsi Sekanten Regula falsi Bisektion versus Fehlernorm (Mitte: typisch) Kapitel I (nonlin) 6

9 Gedämpfte Variante des Newton-Verfahrens (F(x i ) < F(x i )) Unterschiedliche Startwerte: Iterierte (oben), Fehler (unten links) Dämpfungsparameter Dämpfungsparameter (unten rechts) geht gegen, lokal quadratische Konvergenz Kapitel I (nonlin6) 7 Newton-Verfahren mit festem Dämpfungsparameter λ = Unterschiedliche Startwerte: Iterierte (oben) und Fehler (unten) Fester Dämpfungsparameter führt zu Verlust der lokal quadratischen Konvergenz! Kapitel I (nonlin7) 8

10 Newton-Verfahren: System Berechnet wird die Nullstelle (x,y ) = (,2) von Startwert (x,y ) := (3,3). f : R 2 R 2 ; f(x,y) = ( ) (y 2)(3x 2 +x+) (x )(y 2. y +4) k x k y k e k e k /e 2 k e e e e e e e e < eps Kapitel I (nonlin8) 9 : Wahl von φ Nullstellenbestimmung von 2 x 2 e x : φ (x) = ln(2 x 2 ), x =.99 Konvergenz... φ 2 (x) = 2 e x, x =.6 Divergenz Kapitel I (nonlin22) 2

11 Rang--Verfahren von Broyden Gegeben seien der Startwert x und die Startmatrix B (z.b. durch Differenzenbildung). Für k bis Konvergenz berechne d k := B k f(x k), x k+ := x k λ k d k, p k := x k+ x k, q k := f(x k+ ) f(x k ), B k+ := B k + p T k p (q k B k p k )p T k. k Das Verfahren konvergiert lokal superlinear, d.h. x k+ x lim k x k x =. Kapitel I (nonlin2) 2 Rang--Verfahren von Broyden, Beispiel Funktion f, Startwert (x,y ) wie oben, λ k :=. Vergleich Broyden vs. exakt Broyden exakt k e k e k /e k 2.24e+.69e+ 7.e- 2.e+.9e e- 8.22e e- 7.3e- 3.37e-.e e-2 6.7e e e e e- 9.8e-4.87e- 2.2e-6 4.2e e-8.69e e-.96e e-3 8.6e-4 4 < eps Kapitel I (nonlin2) 22

12 2 2 Newton-Verfahren: Funktionswert vs. Fehler f(x) = tan(x) 3/2 x = 3/2.2.4 k e k f k.7e.26e + 4.4e.93e e 2.6e e 9.6e e e 6.76e e 2.2 f(x) = atan(x) 3/2 x = k e k f k.9e + 2.8e e +.49e e 2.2e e 2 6.4e 4.e.78e 8 9.4e 2 4.7e 4 Residuum nicht immer gutes Abbruchkriterium (Kondition!) Kapitel I (nonlin3) 23