Practical Numerical Training UKNum
|
|
- Robert Böhm
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Practical Numerical Training UKNum 3: Nullstellenbestimmung C. Mordasini Max Planck Institute for Astronomy, Heidelberg Program: 1) Introduction 2) Bisektion 3) Newton-Raphson 4) Sekanten 5) Regula falsi
2 1 Einführung
3 Aufgabe Eine der wichtigsten Aufgaben der Numerik: Lösung von Gleichungen. Schreibe um als f(x) =0 Deshalb Nullstellenbestimmung genannt. (Engl.: Root Finding) 1 Unabhängige Variable, 1 Gleichung: 1 dimensionales Problem. N unabhängige Variable, N Gleichungen: Mehrdimensionales Problem f(x) =0 Deutlich schwieriger. In dieser Vorlesung: Nur 1D Fall.
4 Grundprinzip Grundprinzip der iterativen Lösung: Ausgehend von einer vorgegebenen, geschätzten Lösung wird x schrittweise mit einem Algorithmus verbessert bis f(x) kleiner als ein geforderter Wert (Konvergenzkriterium) ist (hoffentlich). Dazu existieren verschiedene Algorithmen: Bisektion Regula Falsi Sekanten Newton-Raphson verschieden kombinierte Verfahren (z.b. Brent s Methode) Je verschieden Vor- und Nachteile.
5 Vorsicht Im Allgemeinen abwägen zwischen sicheren Methoden (finden der Nullstelle) und Geschwindigkeit (nötige Anzahl Iterationen). Machmal versagen bestimmte Algorithmen! Beispiele weiter unten. Deshalb wenn immer möglich: Gute Anfangsschätzung für x (resp. Intervall) Analyse des Verhalten von f(x): z.b. Funktion zeichnen
6 Grundtheorem Nullstellensatz von Bolzano: Eine reelle, stetige Funktion f(x) hat mindestens eine Nullstelle zwischen xl und xu wenn gilt f(xl) f(xu) <0 (Vorzeichenwechsel im Intervall).
7 Bracketing the root Man sagt dann xl und xu umgeben die Nullstelle (bracketing the root). Ein erster Schritt der Nullstellenbestimmung besteht oft darin, xl und xu zu bestimmen. Dies ist selber schon nicht unbedingt trivial.
8 Bracketing the root: Probleme I...mindestens... : Mehrfache Nullstellen. Schwierig zu sagen auf welche Nullstelle der Algorithmus konvergiert. Abhängig z.b. von Anfangsschätzung.
9 Bracketing the root: Probleme II Doppelte Nullstelle: Kein Vorzeichenwechsel.
10 Bracketing the root: Probleme III Nullstelle nur an einem Punkt c x 1 d Oder in einem sehr kleinen Intervall. f(x) =3x π 4 ln [ (π x) 2] f(x)<0 nur in π± (!) Bracketing values können nicht bestimmt werden.
11 Bracketing the root: Probleme IV Unstetigkeitsstellen: Vorzeichenwechsel, aber keine Nullstelle a f(x) = 1 b x c Bisektion z.b. konvergiert auf c als Nullstelle.
12 Bracketing the root: Probleme V Andere pathologische Funktionen f (x) = sin(1/x)
13 2 Bisektion
14 Algorithmus Bisektion= Zweiteilung deshalb auch Intervallhalbierungsverfahren genannt. Algorithmus (Graphisch) Einfachste Methode (langsam, aber sehr stabil).
15 Schritt 1: Bracketing Wähle (Bestimme) xl und xu so dass f(xl) f(xu) <0. (Bracketing) Es gelte xl < xu.
16 Schritt 2: Mittpunkt Schätze die Nullstelle von f(x) ab als Mittpunkt xm zwischen xl und xu.
17 Schritt 3: Halbiere Intervall Prüfe a) Falls, liegt die Nullstelle zwischen x l und x m ; Setze x l = x l ; x u = x m. b) Falls, liegt die Nullstelle zwischen x m and x u ; Setze x l = x m ; x u = x u. c) Falls ; dann ist x m die Nullstelle. Beende den Algorithmus. Fall b
18 Schritt 4: Schätze Fehler Neue Schätzung für die Nullstelle Berechne den Absolutwert des geschätzten relativen Fehlers (Unsicherheit)
19 Schritt 5: Konvergenz? Vergleiche Absolutwert des geschätzten relativen Fehlers mit einer vorgegebenem Toleranzgrenze (Abbruchkriterium)? Ja Ne Zurück zu Schritt 2 mit neuem Intervall Stop Algorithmus: Nullstelle mit geforderter Präzision gefunden Prüfe zusätzlich ob die Anzahl Iterationen grösser ist als ein bestimmtes Limit ist (z. B. 40 =>2-40 = ca ): Algorithmus konnte die Nullstelle nicht mit der geforderten Genauigkeit bestimmten. Fehlermeldung.
20 Anderes Kriterium Oft wird als Konvergenzmass auch xu-xl verwendet. Die verlange Präzision ist entweder absolut gegeben xu-xl <xacc,abs oder relativ (xu-xl)/xl <xacc,rel. Es sei n= xu-xl bei der n-ten Iteration. Offenbar gilt für Bisektion: ɛ n+1 = ɛ n /2 Wenn 0 das Anfangsintervall ist, bedeutet dies dass wir n = log 2 ɛ 0 ɛ Iterationen brachen um die gewünschte Genauigkeit zu erreichen.
21 Konvergenzeigenschaften Schreibe ɛ n+1 = constant (ɛ n ) m Bisektion: constant=0.5, m=1 Konvergenzverhalten mit einer Konstante <1 und m=1 wird linear genannt. Konvergenzverhalten mit m>1 heisst superlinear.
22 Beispiel I Treibender Ball im Wasser g Wie tief taucht der Ball bei gegebenem Radius und Dichte ein? Gleichgewicht von Gravitationskraft und Auftrieb.
23 Beispiel II Führt zur Gleichung Nimm an R=5.5 cm, Dichte des Balles 600 kg/m 3, g=9.81 m/s 2, Dichte des Wasser 1000 kg/m 3 Aufgabe Führe drei Iterationen mit Bisektion aus um x annäherungsweise zu bestimmen. Bestimme jeweils den Absolutwert des geschätzten relativen Fehlers.
24 Beispiel III Bestimmung der Bisektionsgrenzen. (Bracketing) In diesem Fall hilft die Physik. Da die Dichte des Balles kleiner als die des Wasser ist, muss gelten:
25 Beispiel IV Graphische Darstellung von f(x)
26 Beispiel V Test an den Bisektionsgrenzen. Ändern sich die Vorzeichen? Somit gibt es im Intervall mindestens eine Nullstelle.
27 Beispiel VI Erste Iteration: Neue Schätzung der Nullstelle Auswerten, Bracketing prüfen Somit befindet sich die Nullstelle zwischen xm und xu. Also sind die neuen
28 Beispiel VII Zweite Iteration: Neue Schätzung der Nullstelle Auswerten, Bracketing prüfen Somit befindet sich die Nullstelle zwischen xl und xm. Also sind die neuen
29 Beispiel VIII Zweite Iteration: Fehlerabschätzung
30 Beispiel IX Dritte Iteration: Neue Schätzung der Nullstelle Auswerten, Bracketing prüfen Somit befindet sich die Nullstelle zwischen xl und xm. Also sind die neuen
31 Beispiel X Dritte Iteration: Fehlerabschätzung
32 Beispiel XI Fortsetzung der Iteration
33 Vor- und Nachteile Konvergenz garantiert. Deshalb besonders geeignet bei bösartigen Funktionen. Mit jedem Schritt wird das Bracketing Intervall genau halbiert. Vergleichsweise langsame, lineare Konvergenz.
34 3 Newton Raphson
35 Prinzip Sehr bekannt. Elegant. Unterscheidet sich von allen anderen Methoden indem dass hier nicht nur f(x), sondern auch die Ableitung f (x) benötigt wird. Geometrische Interpretation: Verlängere die Tangente beim momentanen xi bis sie die Nullline quert. Der dortige x-wert ist die neue Schätzung für die Nullstelle xi+1. f(x) x
36 Prinzip II Algebraische Interpretation: Betrachte die Taylor Entwicklung f(x + δ) f(x)+f (x)δ + f (x) 2 δ Für δ klein genug ist der lineare Term dominant. ( + )=0 Wir wollen f(x + δ) =0, und lösen auf: δ = f(x) f (x). Somit ist die gesuchte nächste Iteration xi+1 gegeben als (vgl auch Geradengleichung)
37 Algorithmus für N-R 0.Wähle einen Startpunkt xi (erste Schätzung) für die Nullstelle (nur ein Wert benötigt). 1. Berechne bei xi die Funktion f(xi) und die Ableitung f (xi). 2. Die Schätzung xi+1 für die neue Nullstelle ist 3. Berechne den Absolutbetrag des geschätzten relativen Fehlers 4. Abbruchkriterium wie bei Bisektion, sonst weiter iterieren ab Punkt 1.
38 Beispiel I Funktion und Ableitung. Bestimme sinnvollen Startwert. Wir haben gesehen (Physik) dass die Nullstelle zwischen 0 und 0.11 m liegen muss. Wir wählen x0=0.05 m. Frage: Wieso wäre 0 und 0.11 m keine gute Wahl?
39 Beispiel II Iteration 1
40 Beispiel III Iteration 2
41 (Natürlich nur im Rahmen von vier signifikanten Ziffern wie hier verwendet.) Beispiel III Iteration 3
42 Vorteile von N-R Nur ein Anfangswert nötig. Schnelle Konvergenz. Man kann zeigen dass gilt ɛ i+1 = ɛ 2 i f (x) 2f (x) d.h. die quadratische Konvergenz. Die Anzahl signifikanter Stellen wird in der Nähe der Nullstelle bei jeder Iteration ungefähr verdoppelt. Deshalb ist N-R die Methode der Wahl bei Funktionen mit stetiger, nichtverschwindender Ableitung in der Nähe der Nullstelle. Für den Praxiseinsatz sollte N-R mit zusätzlichen Sicherheitsmassnahmen ausgestattet werden. Dazu wird typischerweise ein Hybridalgorithmus aus Bisektion ( failsafe ) und N-R (schnelle Konvergenz) verwendet. Solche Algorithmen finden sich z.b. in Numerical Recipes.
43 Nachteile von N-R Konvergenz ist nicht garantiert! Man kann verschiedene Fälle finden, wo der Algorithmus versagt. Generell gilt, dass weit weg von der Nullstelle (wo die höheren Terme der Taylorentwicklung wichtig wären) sinnlose xi+1 auftreten können. Dort ist Bisektion besser.
44 Nachteile von N-R I Divergenz bei lokalen Extrema und (quasi) Sattelstellen, also überall dort wo f (x) =0 oder sehr klein wird. f(x) Nirvana x Wird die Ableitung genau gleich 0, stürzt der Algorithmus ab (Division durch 0). Im Ball Beispiel wäre dies bei 0 und 0.11 der Fall da dort =0.
45 Nachteile von N-R II Gelegentlich kann sich der Algorithmus noch retten (wenn f (x) klein, aber nicht genau 0 wird), doch es braucht viele Iterationen. Beispiel Iteration Number x i Bei der 5ten Iteration kommen wir nahe zum Sattelpunkt bei 1=> Sprung zu weit entferntem xi+1. Schlussendlich wird zwar doch noch die korrekte Nullstelle gefunden, aber erst nach vielen Schritten.
46 Nachteile von N-R III Oscillationen um lokale Minima und Maxima. Der Algorithmus konvergiert auf ein lokales Maximum oder Minimum. Am Schluss auch Divergenz möglich. Beispiel (keine reellen Nullstellen). Iteration Number
47 Nachteile von N-R IV Nichtkonvergente, endlose Zyklen. f(x) 1 x 2 Tritt oft auf wenn f und f durch Interpolation in Tabellen berechnet wird. Ein besser Anfangsschätzung der Nullstelle hätte den Algorithmus gerettet.
48 Nachteile von N-R V Nullstellen-Springen: Bei oszillierenden Funktion springt der Algorithmus auf eine Nullstelle die weiter weg ist als eine andere Nullstelle nahe bei der Anfangsschätzung. Beispiel Konvergenz auf 0, statt auf
49 4 Sekanten
50 Prinzip Newton-Raphson: Oft ist aber die Ableitung unbekannt. Verwende Approximation: Einsetzen ergibt die Rekursion der Sekanten Methode
51 Geometrische Interpretation I Gestern: Lineare Interpolation. Interpoliere (und extrapoliere!) auf die Nullstelle der linearen Interpolierenden. =0 Lösen dieser Gleichung nach x (entsprechend x2) führt auf die gleiche Rekursion. Deshalb auch Interpolationsmethode genannt.
52 Geometrische Interpretation II f(x) 2 3 x 4 1 Interpolation und Extrapolation auf 0 durch die zwei zuletzt berechneten Punkte, egal ob sie die Nullstelle umgeben oder nicht. Zahlen geben die Reihenfolge an mit der die Punkte verwendet werden.
53 Algorithmus 1. Beginne mit zwei Schätzungen x-1 und x0 möglichst nahe bei der Nullstelle. 2. Berechne die nächste Schätzung als 3. Berechne den geschätzten Fehler 4. Prüfe ob das geforderte Abbruchkriterium erfüllt ist. Wenn nein, iteriere weiter ab Punkt 2 (wobei das momentane xi zum xi-1 wird, und das momentane xi+1 zum xi). Prüfe auch ob die maximal zulässige Anzahl Iterationen nicht überschritten wird.
54 Beispiel I Funktion Anfängliche Schätzungen Diese umgeben die Nullstelle nicht. Im Allgemeinen ist es aber besser, auch bei den Sekanten bracketing Startwerte zu verwenden.
55 Beispiel II 1. Iteration
56 Beispiel III 2. Iteration
57 Beispiel IV 3. Iteration
58 Konvergenzeigenschaften Die Sekantenmethode konvergiert superlinear: lim ɛ k+1 const ɛ k k Der Exponent entspricht dem goldenen Schnitt.
59 Vor- und Nachteile Schnelle Konvergenz nahe bei der Nullstelle (falls). Konvergenz nicht garantiert. Ähnliche Nachteile wie N-R: Lokale Eigenschaften können den Algorithmus divergieren lassen. Die Nullstelle wird während des Algorithmus nicht unbedingt umgeben, selbst wenn sie es anfänglich mit den Startwerten wurde.
60 Nachteil: Illustration Division durch 0 (wie bei N-R) Nullstellen-Springen (wie bei N-R)
61 5 Regula Falsi
62 Prinzip Eng mit der Sekanten Methode verwandt (gleiche Iterationsformel). Unterschied zu Sekanten: Anstatt für die nächste Iteration immer streng die letzten zwei Punkte zu verwenden, werden hier die letzten zwei Punkte verwendet die die Zusatzbedingung erfüllen, dass sie die Nullstelle umgeben. Die Startpunkte müssen die Nullstelle umgeben. Die Nullstelle bleibt auch während des Verlaufs des Algorithmus umgeben.
63 Graphische Darstellung f(x) x 1 Die Regula Falsi benutzt die zwei letzten Punkte, die die Nullstelle umgeben. Punkt 1 bleibt deshalb für mehrere Iterationen aktiv. Die Konvergenz ist langsamer als bei Sekanten, doch ist sie zugesichert.
64 Algorithmus 1. Beginne mit zwei Schätzungen x-1 und x0 möglichst nahe bei der Nullstelle die die Nullstelle umgeben. 2. Berechne die nächste Schätzung als 3. Prüfe die Bracketing Bedingung: Wenn gilt f(xi) f(xi+1)<0: Iteriere weiter mit xi und xi+1. Sonst: Iteriere weiter mit xi+1 und dem letzten xj für das gilt f(xi+1) f(xj)<0. Dies trifft bei Konstruktion gerade für xi-1 zu. 4. Abbruchkriterien wie zuvor.
65 Konvergenzeigenschaften Das Konvergenzverhalten ist schwierig genau auszurechen, da manchmal neue Punkte verwendet werden, und manchmal nicht. Langsamer als Sekanten, aber trotzdem oft superlinear.
66 Vor- und Nachteile Konvergenz garantiert. Langsamer als Sekanten. Nullstelle muss anfangs umgeben sein. In der Praxis spielt sowohl die Sekanten wie auch die Regula Falsi keine Rolle mehr, sondern wurde durch Hybridalgorithmen ersetzt.
67 Ressourcen Dieses Script basiert auf: von Autar Kaw, Jai Paul Wärmstens empfohlen für alle Arten von Numerischen Algorithmen: Numerical Recipes (2nd/3rd Edition). Press et al., Cambridge University Press Enthält zahlreiche Nullstellenbestimmungsroutinen.
Numerisches Lösen von Gleichungen
Numerisches Gesucht ist eine Lösung der Gleichung f(x) = 0. Das sverfahren ist eine numerische Methode zur Bestimmung einer Nullstelle. Es basiert auf dem Zwischenwertsatz: Satz (1.1.1) Zwischenwertsatz:
MehrNichtlineare Gleichungen
Nichtlineare Gleichungen Ein wichtiges Problem in der Praxis ist die Bestimmung einer Lösung ξ der Gleichung f(x) =, () d.h. das Aufsuchen einer Nullstelle ξ einer (nicht notwendig linearen) Funktion f.
MehrInhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme
Inhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme I Nichtlineare Gleichungssysteme I. Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlichen I.2 I.3 Newton-Verfahren Kapitel I (UebersichtKapI) 3 Bisektionsverfahren
Mehr3 Nichtlineare Gleichungssysteme
3 Nichtlineare Gleichungsssteme 3.1 Eine Gleichung in einer Unbekannten Problemstellung: Gegeben sei die stetige Funktion f(). Gesucht ist die Lösung der Gleichung f() = 0. f() f() a) f ( ) 0 b) f ( )
MehrPractical Numerical Training UKNum
Practical Numerical Training UKNum 2: Interpolation, Extrapolation, Splines Dr. C. Mordasini Max Planck Institute for Astronomy, Heidelberg Program: 1) Einführung 2) Direkte Methode 3) Dividierte Differenzmethode
MehrKapitel 8: Suche nach Nullstellen und Extremwerten
Kapitel 8: Suche nach Nullstellen und Extremwerten Nullstellensuche (root finding) Einfachste Variante: Suche Nullstelle(n) einer 1D-Funktion: f(x) = 0 (1) Dies umfaßt bereits scheinbar andere Fälle, z.b.
MehrNichtlineare Gleichungssysteme
Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme 51 Einführung Wir betrachten in diesem Kapitel Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen Nichtlineares Gleichungssystem: Gesucht ist eine Lösung
MehrNullstellenberechnung von nichtlinearen Funktionen
Kapitel 3 Nullstellenberechnung von nichtlinearen Funktionen In dieser Vorlesung wird nur die Nullstellenberechnung reeller Funktionen einer reellen Variablen f : R R betrachtet. Man nennt die Nullstellen
MehrNumerische Ableitung
Numerische Ableitung Die Ableitung kann angenähert werden durch den Differentenquotient: f (x) f(x + h) f(x) h oder f(x + h) f(x h) 2h für h > 0, aber h 0. Beim numerischen Rechnen ist folgendes zu beachten:
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
MehrNumerische Methoden und Algorithmen in der Physik
Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie, Christian Autermann 11.12.2008 Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 1/ 18 Einführung Einführung Verfahren für
Mehr6 Iterationsverfahren für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme
6 Iterationsverfahren für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme 6.1 Nullstellen reeller Funktionen Bemerkung 6.1 (Problemstellung) geg.: f C[a, b] ges.: x [a, b] mit f(x ) = 0 Lösungstheorie f linear
MehrIterative Lösung von nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssystemen
Kapitel 5 Iterative Lösung von nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssstemen 5.1 Iterationsverfahren zur Lösung einer reellen nichtlinearen Gleichung Es sei g() eine im Intervall I definierte reellwertige
MehrNewton-Verfahren für ein Skalarfunktion
Newton-Verfahren für ein Skalarfunktion Für eine Näherungsberechnung von Nullstellen einer reellen Funktion f(x) : R R benutzt man das Newton-Verfahren: x (n+1) = x (n) f(x (n) )/f (x (n) ). Das Newton-Verfahren
MehrKapitel 16 : Differentialrechnung
Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen
MehrOptimierung für Nichtmathematiker
Optimierung für Nichtmathematiker Prof. Dr. R. Herzog WS/ / Inhaltsübersicht 3Einführung in die freie Optimierung 4Orakel und Modellfunktionen 5Optimalitätsbedingungen der freien Optimierung 6Das Newton-Verfahren
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=
Mehr8.3 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren
09.2.202 8.3 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren Beispiel: + 2 e Diese Gleichung kann nicht nach aufgelöst werden, da die beiden nicht zusammengefasst werden können. e - - 2 0 Die gesuchten
MehrFolgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit
Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen
MehrDa der Nenner immer positiv ist, folgt. g (x) > 0 2x(2 x) > 0 0 < x < 2 g (x) < 0 2x(2 x) < 0 x < 0 oder x > 2
Da der Nenner immer positiv ist, folgt g (x) > 0 x( x) > 0 0 < x < g (x) < 0 x( x) < 0 x < 0 oder x > Also ist g auf (0,) streng monoton wachsend sowie auf (,0) und auf (, ) strengmonotonfallend.außerdemistg
MehrNichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen
Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt
MehrTheorie und Praxis geometrischer Algorithmen
0/36 Theorie und Praxis geometrischer Algorithmen Isolierende Intervalle: Sturmsche Ketten Rico Philipp Motivation 1/36 Was ist eine Sturmsche Kette? Wie berechnet man diese? Durch welche Eigenschaften
MehrV.1 Konvergenz, Grenzwert und Häufungspunkte
V.1 Konvergenz, Grenzwert und Häufungspunkte S. 108 110 A. Bereits bekannt: Folge Extrem wichtig: Grenzwert bzw. Konvergenz: a n a oder lim n a n = a : ε R, ε > 0 n 0 N : a n a < ε n n 0 Begriffe: Fast
MehrRegula Falsi Die folgende Abbildung beschreibt das Näherungsverfahren regula falsi zur Berechnung von Nullstellen:
BspNr: J0010 Themenbereich Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung (Regula falsi) Ziele Probleme, die bei der näherungsweisen Nullstellenberechnung auftreten können, erkennen. Analoge Aufgabenstellungen
MehrOptimierung. Optimierung. Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn
Optimierung Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren 1 Minimierung ohne Nebenbedingung Ein Optimierungsproblem besteht aus einer zulässigen Menge und einer Zielfunktion Minimum
MehrTangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:
Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung
MehrAnwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.1 Maxima und Minima einer Funktion......................... 80 5.2 Mittelwertsatz.................................... 82 5.3 Kurvendiskussion..................................
MehrKapitel 5. Lösung nichtlinearer Gleichungen
Kapitel 5. Lösung nichtlinearer Gleichungen 5.1 Nullstellen reeller Funktionen, Newton-Verfahren 5.2 Das Konvergenzverhalten iterativer Verfahren 5.3 Methode der sukzessiven Approximation 5.4 Das Newton-Verfahren
MehrHöhere Mathematik für Physiker II
Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei
MehrKapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen
Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SS 2012 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Dipl.-Inf. Christoph Riesinger Dipl.-Math. Alexander Breuer Dipl.-Math. Dipl.-Inf. Jürgen Bräckle Dr.-Ing. Markus
MehrMathematik I Prüfung Frühlingssemester 2014
Mathematik I Prüfung Frühlingssemester 2014 Prof. Dr. Enrico De Giorgi 23. Juni 2014 Mathematik II: Prüfung Frühlingssemester 2014 1 Teil I: Offene Fragen (50 Punkte) Allgemeine Anweisungen für offene
MehrInexakte Newton Verfahren
Kapitel 3 Inexakte Newton Verfahren 3.1 Idee inexakter Newton Verfahren Wir betrachten weiterhin das nichtlineare Gleichungssystem F (x) = mit einer zumindest stetig differenzierbaren Funktion F : R n
MehrDer Bisektionsalgorithmus
13 Der Bisektionsalgorithmus Wir wenden uns nun der Entwicklung einer allgemeinen Methode zu, um mathematische Modelle zu lösen Es stellt sich heraus, dass der Bisektionsalgorithmus, den wir benutzt haben,
MehrGleichungen und Ungleichungen
Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme. Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen linke Seite = rechte Seite Grundmenge: Menge aller Zahlen, die wir als Lösung der Gleichung
MehrNichtlineare Gleichungssysteme
Kapitel 2 Nichtlineare Gleichungssysteme Problem: Für vorgegebene Abbildung f : D R n R n finde R n mit oder ausführlicher f() = 0 (21) f 1 ( 1,, n ) = 0, f n ( 1,, n ) = 0 Einerseits führt die mathematische
Mehr2. Geben Sie für das Jacobi-Verfahren eine scharfe a-priori Abschätzung für den Fehler. x (10) x p
Wiederholungsaufgaben Algorithmische Mathematik Sommersemester Prof. Dr. Beuchler Markus Burkow Übungsaufgaben Aufgabe. (Jacobi-Verfahren) Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax b = für A =, b = 3.
MehrMathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4
MehrKAPITEL 6. Nichtlineare Ausgleichsrechnung
KAPITEL 6 Nichtlineare Ausgleichsrechnung Beispiel 61 Gedämpfte Schwingung: u + b m u + D m u = 0, Lösungen haben die Form: u(t) = u 0 e δt sin(ω d t + ϕ 0 ) Modell einer gedämpften Schwingung y(t; x 1,
Mehrf f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0.
Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung 9 Optimierung Definition Seien U R n oen, f : U R, x U x heiÿt lokales Maximum, falls eine Umgebung V U von x existiert mit y V : fx fy x heiÿt lokales
Mehr27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen
136 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen Lernziele: Konzepte: klein o - und groß O -Bedingungen Resultate: Taylor-Formel Kompetenzen: Bestimmung von Taylor-Reihen
Mehr9 Optimierung mehrdimensionaler reeller Funktionen f : R n R
9 Optimierung mehrdimensionaler reeller Funktionen f : R n R 91 Optimierung ohne Nebenbedingungen Ein Optimum zu suchen heißt, den größten oder den kleinsten Wert zu suchen Wir suchen also ein x R n, sodass
MehrTaylor-Entwicklung der Exponentialfunktion.
Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion. Betrachte die Exponentialfunktion f(x) = exp(x). Zunächst gilt: f (x) = d dx exp(x) = exp(x). Mit dem Satz von Taylor gilt um den Entwicklungspunkt x 0 = 0 die
MehrC. Eicher Analysis Study Center ETH Zürich HS Extremwerte
C. Eicher Analysis Study Center ETH Zürich HS 05 Extremwerte Gelöste Aufgabenbeispiele:. Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion f(x) = x x + x auf dem Intervall [ 4, ]. a. Bestimmung der
Mehr3 Optimierung mehrdimensionaler Funktionen f : R n R
3 Optimierung mehrdimensionaler Funktionen f : R n R 31 Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung heißt eigentlich: Wir suchen ein x R n so, dass f(x ) f(x) für alle x R n (dann heißt x globales Minimum)
MehrNumerische Methoden und Algorithmen in der Physik
Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie, Christian Autermann 20.11.2008 Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Christian Autermann 1/ 42 Achtung: Nächste Woche am 27.11.2008
MehrModulabschlussklausur Analysis II
Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen
MehrMathematik n 1
Prof. Dr. Matthias Gerdts Dr. Sven-Joachim Kimmerle Wintertrimester 0 Mathematik + Übung 6 Besprechung der Aufgaben ) - ) des Übungsblatts am jeweils ersten Übungstermin zwischen Montag, 7..0 und Donnerstag,
Mehr18.4 Das Newton-Verfahren
18.4 Das Newton-Verfahren Ziel: Wir suchen die Nullstellen einer Funktion f : D R n, D R n : f(x) = 0 Wir kennen bereits die Fixpunktiteration x k+1 := Φ(x k ) mit Startwert x 0 und Iterationsvorschrift
MehrOptimieren unter Nebenbedingungen
Optimieren unter Nebenbedingungen Hier sucht man die lokalen Extrema einer Funktion f(x 1,, x n ) unter der Nebenbedingung dass g(x 1,, x n ) = 0 gilt Die Funktion f heißt Zielfunktion Beispiel: Gesucht
MehrDie Taylorreihe einer Funktion
Kapitel 6 Die Taylorreihe einer Funktion Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit Taylorreihen, Taylorpolynomen und der Restgliedabschätzung für Taylorpolynome. Die Taylorreihe einer reellen Funktion ist
MehrFolgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014
Inhalt Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis Vorlesung im Wintersemester 2014 Kurt Frischmuth Institut für Mathematik, Universität Rostock Rostock, Oktober 2014... Folgen und Reihen Reelle Funktionen
MehrDifferenzialrechnung. Mathematik-Repetitorium
Differenzialrechnung 5.1 Die Ableitung 5.2 Differentiation elementarer Funktionen 5.3 Differentiationsregeln 5.4 Höhere Ableitungen 5.5 Partielle Differentiation 5.6 Anwendungen Differenzialrechnung 1
Mehr10.6. Implizite ebene Kurven und Tangenten
0.6. Implizite ebene Kurven und Tangenten Im Gegensatz zu expliziten Darstellungen sind weder implizite noch Parameterdarstellungen einer Kurve eindeutig. Der Übergang von impliziten zu expliziten Darstellungen
MehrAus meiner Skriptenreihe: "Keine Angst vor "
Dipl.-Kaufm. Wolfgang Schmitt Aus meiner Skriptenreihe: "Keine Angst vor " Verfahren der Nullstellenberechnung der Funktionen n n 1 n 2 n i 1 f x ax a x a x... ax... a x 0 1 2 3 i n für n > 1 http://www.nf-lernen.de
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.
MehrNichtlineare Gleichungen in einer Unbekannten
Nichtlineare Gleichungen in einer Unbekannten 1. Vorlesung 170 004 Numerische Methoden I Clemens Brand und Erika Hausenblas Montanuniversität Leoben 20. Februar 2014 Clemens Brand und Erika Hausenblas
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale.
MehrAnalysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 4. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine bijektive Abbildung f: M N. () Ein
Mehr6. ANWENDUNGEN DER ABLEITUNG
48 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken aus Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I von Hans Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie das Buch auch
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 2011 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total Vollständigkeit
MehrNewton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung. 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme
Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung Armin Farmani Anosheh (afarmani@mail.uni-mannheim.de) 3.Mai 2016 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme Einleitung In diesem Vortrag geht es
MehrAnalysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007
Analysis-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 7 Im Folgenden finden Sie die Aufgabenstellungen der bisherigen Klausuren Analysis im Bachelorstudium der ET-Studiengänge sowie knapp gehaltene Ergebnisangaben.
MehrDifferenzial- und Integralrechnung II
Differenzial- und Integralrechnung II Rainer Hauser Dezember 011 1 Einleitung 1.1 Ableitung Die Ableitung einer Funktion f: R R, x f(x) ist definiert als f (x) = df(x) dx = d f(x + h) f(x) f(x) = lim dx
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+
MehrMusterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Klausur Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) I... II...
................ Note I II Name Vorname 1 Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
MehrGruppenleiter: Humboldt-Universität zu Berlin Mitglied im DFG-Forschungszentrum Matheon Mathematik für Schlüsseltechnologien
Newton-Fraktale Teilnehmer: Ugo Finnendahl Janik Gätjen Daniel Krupa Cong Minh Nguyen Gergana Peeva Fabian Ulbricht Herder-Oberschule, Berlin Immanuel-Kant-Gymnasium, Berlin Herder-Oberschule, Berlin Andreas-Gymnasium,
MehrExtrema (Funktionen mit zwei Variablen)
Extrema (Funktionen mit zwei Variablen) Vorzeigeaufgaben: WS04/05 Aufgabe 4 HS11 Aufgabe 4 a) + b) Empfohlene Bearbeitungsreihenfolge: WS05/06 Aufgabe 5 b) WS06/07 Aufgabe 4 HS10 Aufgabe 1 b) + c) HS1
MehrLösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II
Christian Fenske Lösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II Blatt 6 1. Seien 0 < b < a und (a) M = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 4 + z 4 = 1}. (b) M = {(x, y, z) R 3 x 3 + y 3 + z 3 = 3}. (c) M = {((a+b sin
Mehr55 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen
55 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen Sei f : O R mit O R n differenzierbar. Notwendige Bescheinigung für ein lokales Extremum in p 0 ist dann die Bedingung f = 0 (siehe 52.4 und 49.14). Ist nun F :
MehrMathematik II für Inf und WInf
Gruppenübung Mathematik II für Inf und WInf 8. Übung Lösungsvorschlag G 28 (Partiell aber nicht total differenzierbar) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(x, ) := x. Zeige: f ist stetig und partiell
MehrOutline. 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen. 2 Grenzwert und Stetigkeit. 3 Partielle Ableitungen. 4 Die verallgemeinerte Kettenregel
Outline 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen 2 Grenzwert und Stetigkeit 3 Partielle Ableitungen 4 Die verallgemeinerte Kettenregel 5 Das totale Differential 6 Extremstellen Roman Wienands (Universität
MehrNumerische Methoden und Algorithmen in der Physik
Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie, Christian Autermann 15.01.2009 Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Christian Autermann 1/ 47 Methode der kleinsten Quadrate
MehrLAF Mathematik. Näherungsweises Berechnen von Nullstellen von Funktionen
LAF Mathematik Näherungsweises Berechnen von Nullstellen von Funktionen von Holger Langlotz Jahrgangsstufe 12, 2002/2003 Halbjahr 12.1 Fachlehrer: Endres Inhalt 1. Vorkenntnisse 1.1 Nicht abbrechende Dezimalzahlen;
MehrExtremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler
Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Bei der Bestimmung der Extrema von (differenzierbaren) Funktionen f : R n R ist es sinnvoll, zuerst jene Stellen zu bestimmen, an denen überhaupt ein
MehrNichtlineare Gleichungen, mehrere Unbekannte
Dritte Vorlesung, 6. März 2008, Inhalt Aufarbeiten von Themen der letzten Vorlesung, und Nichtlineare Gleichungen, mehrere Unbekannte Systeme nichtlinearer Gleichungen Vektor- und Matrixnormen Fixpunkt-Iteration,
MehrREIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert
Reihenentwicklungen Herbert Paukert 1 REIHENENTWICKLUNGEN Eine kurze Einführung Herbert Paukert [1] Reihen mit konstanten Gliedern [2] Potenzreihen [3] Reihenentwicklung von Funktionen Reihenentwicklungen
MehrNewtonverfahren Die folgende Abbildung beschreibt das Newtonverfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen:
BspNr: J0011 Themenbereich Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung (Newtonverfahren) Ziele Probleme, die bei der näherungsweisen Nullstellenberechnung auftreten können, erkennen. Analoge Aufgabenstellungen
MehrLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 13. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Andreas Herz, Dr. Stefan Häusler email: haeusler@biologie.uni-muenchen.de Department Biologie II Telefon: 89-8-748 Großhadernerstr. Fax:
MehrSelbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung
Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Abgaben: 46 / 587 Maximal erreichte Punktzahl: 8 Minimal erreichte Punktzahl: Durchschnitt: 7 Frage (Diese Frage haben ca. 0% nicht beantwortet.) Welcher Vektor
Mehr6.2 Die Regeln von de l Hospital. Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert. Beispiel: Sei f(x) = x 2 und g(x) = x. Dann gilt. lim.
6.2 Die Regeln von de l Hospital Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert falls g(x), beide Funktionen gegen Null konvergieren, d.h. = g(x) = 0 beide Funktionen gegen Unendlich konvergieren, d.h.
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,
MehrRückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung
Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D
MehrMATHEMATIK FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER MUSTERLÖSUNG 3. TEST
Privatdozent Dr. C. Diem diem@math.uni-leipzig.de http://www.math.uni-leipzig.de/ diem/wiwi MATHEMATIK FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER MUSTERLÖSUNG 3. TEST Es folgt eine Musterlösung zusammen mit Anleitungen
MehrKapitel 5 KONVERGENZ
Kapitel 5 KONVERGENZ Fassung vom 21. April 2002 Claude Portenier ANALYSIS 75 5.1 Metrische Räume 5.1 Metrische Räume DEFINITION 1 Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X X! R + heißt Metrik oder Distanz
MehrLösungsvorschlag - Zusatzaufgaben (2)
HOCHSCHULE KARLSRUHE Sommersemester 014 Elektrotechnik - Sensorik Übung Mathematik I B.Sc. Paul Schnäbele Lösungsvorschlag - Zusatzaufgaben ) a) x ) fx) = D = R \ { } x + Es liegt keine gängige Symmetrie
MehrIn der Praxis werden wir häufig mit relativ komplexen Funktionen konfrontiert. y
Approximationen In der Praxis werden wir häufig mit relativ komplexen Funktionen konfrontiert. y y = f (x) x Um das Arbeiten mit einer komplizierten Funktion zu vermeiden, können wir versuchen, diese Funktion
Mehrvon Intervallen, wie sie als Definitionsmengen von Funktionen auftreten können. 1 x Q f : R R ; x
18 Stetigkeit Den Begriff der Funktion oder Abbildung haben wir bereits im ersten Semester kennengelernt und er hat uns stets begleitet. In der Analysis untersucht man reelle Funktionen f : D R mit Definitionsbereich
MehrTeil II. Nichtlineare Optimierung
Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene
MehrDas Newton Verfahren.
Das Newton Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f :[a, b] R. Verwende die Newton Iteration: x n+1 := x n f x n) f x n ) für f x n ) 0 mit Startwert x 0. Das Verfahren
MehrMathematische Grundlagen der dynamischen Simulation
Mathematische Grundlagen der dynamischen Simulation Dynamische Systeme sind Systeme, die sich verändern. Es geht dabei um eine zeitliche Entwicklung und wie immer in der Informatik betrachten wir dabei
MehrNäherungsmethoden zum Lösen von Gleichungen
Mag. Gabriele Bleier Näherungsmethoden zum Lösen von Gleichungen Themenbereich Gleichungen, Differentialrechnung Inhalte Näherungsweises Lösen von Gleichungen Untersuchen von Funktionen, insbesondere Ermitteln
Mehr$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade.
$Id: folgen.tex,v. 202/05/3 2:40:06 hk Exp $ 6 Folgen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir Folgen in einer Menge X als Abbildungen a : N X definiert, die dann typischerweise in der Form (a n ) n N, also
Mehrf(x) f(x 0 ) lokales Maximum x U : gilt, so heißt x 0 isoliertes lokales Minimum lokales Minimum Ferner nennen wir x 0 Extremum.
Fabian Kohler Karolina Stoiber Ferienkurs Analsis für Phsiker SS 4 A Extrema In diesem Abschnitt sollen Extremwerte von Funktionen f : D R n R diskutiert werden. Auch hier gibt es viele Ähnlichkeiten mit
MehrKlausurlösung Einführung in Numerische Methoden und FEM Universität Siegen, Department Maschinenbau,
Universität Siegen, Department Maschinenbau, 7.7. Aufgabe y 3 l 3 3 F l l x Das dargestellte Fachwerk soll statisch mit Hilfe der FEM untersucht werden. Die Knoten und Elemente sind in der Abbildung nummeriert.
MehrEtwas Spezielles: Zielwertsuche und Solver. Zielwertsuche
Etwas Spezielles: Zielwertsuche und Solver Zielwertsuche EXCEL kann auch Beziehungen indirekt auflösen. Die einfache Variante ist die Zielwertsuche. Für eine bestimmte Zelle ("Zielzelle") wird ein anderer
MehrEinführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten
Einführung Zusammenhänge zwischen Größen wie Temperatur, Geschwindigkeit, Lautstärke, Fahrstrecke, Preis, Einkommen, Steuer etc. werden mit beschrieben. Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist,
MehrSatz von Taylor Taylorreihen
Satz von Taylor Taylorreihen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Tangente als Näherung Weil sich anschaulich die Tangente anschmiegt, ist die Tangentenfunktion
MehrNumerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen
Kapitel 2 Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen 21 Aufgabenstellung und Motivation Ist f eine in einem abgeschlossenen Intervall I = [a, b] stetige und reellwertige Funktion, so heißt
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 12
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 1 Hausaufgaben Aufgabe 1.1 Sei f : R R gegeben durch f(x 1, x ) = x 3
Mehr