Theorie und Praxis geometrischer Algorithmen

Transkript

1 0/36 Theorie und Praxis geometrischer Algorithmen Isolierende Intervalle: Sturmsche Ketten Rico Philipp

2 Motivation 1/36 Was ist eine Sturmsche Kette? Wie berechnet man diese? Durch welche Eigenschaften wird sie charakterisiert? Wozu braucht man eine Sturmsche Kette?

3 Geschichte 2/36 Die Hauptarbeit von Sturm war das Lösen von numerischen Gleichungen. Sturm wandelte Fourier s Folgen in seine eigene Folge um sseq(x) = {p(x), p (1) (x), r 1 (x),..., r k (x)}... und nannte das ganze Sturmsche Kette oder Sturmsche Folge

4 Berechnung - Teil 1 3/36 Polynom p(x) (deg(p(x)) = n) und ohne mehrfache Nullstellen. Erste Element der Sturmschen Kette ist das Polynom p(x). Zweite Element ist die erste Ableitung p (1) (x) von p(x).

5 Berechnung - Teil 2 4/36 Berechnung aller weiteren Elemente mit dem Euklidischen Algorithmus. p(x) = p (1) (x)q 1 (x) r 1 (x) p (1) (x) = r 1 (x)q 2 (x) r 2 (x). r k 2 (x) = r k 1 (x)q k (x) r k (x) r i = Negative der Restpolynome weiteren Elemente der Sturmsche Kette r k (x) = konstant, wenn p(x) ohne mehrfache Nullstellen.

6 Beispiel 5/36 p(x) := x 4 2x 3 2x 2 + 4x p (1) (x) = 4x 3 6x 2 4x + 4 r 1 (x) = 7 4 x2 5 2 x 1 2 r 2 (x) = x r 3 (x) = K := sseq(x) = {p(x), p (1), r 1 (x), r 2 (x), r 3 (x)}

7 Eigenschaften - Teil 1 6/36 (i) In einem genügend kleinen Bereich um ein Nullstelle α von p(x), haben die Polynome p(x) und p (1) (x) entgegengesetze Vorzeichen, wenn x < α und dieselben Vorzeichen wenn x > α. (ii) Zwei aufeinanderfolgende Elemente von einer Sturmschen Kette sseq(x) können nicht beide null sein.

8 Eigenschaften - Teil 2 7/36 (iii) Wenn ein Polynom p i (x) in sseq(x) für ein x 0 zu Null auswertet, so haben die benachbarten Folgeglieder p i 1 (x) und p i+1 (x) für den Wert x 0 unterschiedliche Vorzeichen. (iv) Das letze Polynom der Folge r k (x) verschwindet nicht und behält deshalb immer ein konstantes Vorzeichen, sofern p(x) keine mehrfachen Nullstellen hat.

9 Verwendung 8/36 Eingrenzung von Intervallen in denen Nullstellen der Gleichung liegen

10 Nullstellen eines Polynoms 9/36 Satz: Sei p(x) = 0 eine polynomiale Gleichung mit rationalen Koeffizienten und einfachen Nullstellen. Dann ist die Anzahl der Nullstellen in einem Intervall (r, s) gegeben durch die Differenz V (r) V (s). Dabei beschreibt V (ξ) die folgende Funktion: alle Polynome einer Sturmschen Kette werden für ξ evaluiert dann werden die Vorzeichenwechsel gezählt

11 Beispiel 10/36 K = { } p(x), p (1), r 1 (x), r 2 (x), r 3 (x) Sei ein Intervall I = ( 3, 3) { V ( 3) = 15( 3 2)( 3 + 2), 146, 91 4, 96 7, 49 } 50 = {+,, +,, +} 4 Vorzeichenwechsel { V (3) = 3(3 2)(3 + 2), 46, 31 4, , 49 } 50 = {+, +, +, +, +} 0 Vorzeichenwechsel V ( 3) V (3) = 4 4 Nullstellen

12 Beweis - Teil 1 11/36 Beweis basiert auf den Eigenschaften der Sturmschen Kette (i)-(iv) (i) 2 Fälle: 1. Fall: p(x) monoton fallend, dann ist p (x) < 0: Da p(x) monoton fallend, ist p(x) > 0 und p (x) < 0 für x < α unterschiedliche Vorzeichen für x > α ist p(x) < 0 und p (x) < 0 gleiche Vorzeichen 2. Fall: p(x) ist monoton steigend. Argumentation analog

13 Beweis - Teil 2 12/36 (ii) Nehmen wir an wir hätten zwei aufeinanderfolgende Glieder r i 1 und r i, die gleich 0 sind. Dann wäre die gesamte Sturmsche Kette 0, weil Widerspruch!! r i 2 (x) = 0 q i (x) 0 r i 2 = 0 r i 3 (x) = 0 q i 1 (x) 0 usw. (iii ) Sei r i 1 (x) für x 0 gleich 0, dann folgt: r i 2 (x) = r i 1 (x)q i (x) r i (x) r i 2 (x) = 0 q i (x) r i (x) r i 2 (x) = r i (x)

14 Beweis - Teil 3 Aufbauend darauf werden wir zeigen, dass die Sturmsche Kette ein Vorzeichenwechsel verliert, wenn x in einem Intervall (r, s) über eine Nullstelle von p(x) läuft, jedoch kein Vorzeichen verliert, wenn x über eine Nullstelle eines anderen Elementes der Sturmschen Kette läuft. Von der Eigenschaft (i) (S. 11), wissen wir, dass die Sturmsche Kette genau ein Vorzeichenwechsel verliert, wenn wir eine Nullstelle von p(x) überlaufen. Was passiert, wenn ein Element der Sturmschen Kette, dieselbe Nullstelle hat wie p(x)? Dann wird die Anzahl der Vorzeichenwechsel nicht verändert, weil... 13/36

15 Beweis - Teil 4 14/36 Sei α i eine Nullstelle von r i (x) und x durchläuft diese Nullstelle. Dann wissen wir, aus Eigenschaften (ii) (S. 12) und (iii) (S. 12), dass r i 1 (α i ) und r i+1 (α i ) ungleich 0 sind und verschiedene Vorzeichen haben. Nun kann man für eine Umgebung um α i (α i ɛ, α i + ɛ), ɛ > 0 folgende Tabelle aufstellen. x r i 1 r i r i+1 r i 1 r i r i+1 α i ɛ + ± ± + α i α i + ɛ + (±) (±) + Das Vorzeichenwechsel bei r i beeinflusst nicht die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der gesamten Sturmschen Kette.

16 15/36 FRAGEN??

17 Cauchyregel 16/36 Proposition: Sei a m, a m,... mit m > m >... strikt negative Koeffizienten eines Polynoms f mit reellen Koeffizenten f(x) = x n + a 1 x n a n und sei k die Anzahl dieser negative Koeffizenten. Dann erfüllt jede Nullstelle von f die folgende Ungleichung { } x max (k a m ) m, 1 (k a m ) 1 m,...

18 Beispiel 17/36 p(x) = x 4 2x 3 2x 2 + 4x a m = 2 (m = 2) a m = 2 (m = 3) k = 2 { } x max (2 2 ) 2 1, (2 2 ) 1 3 { max } 3 2, 4 x 2

19 Isolierung reeller Nullstellen - allgemein Berechnung der Sturmsche Kette für eine Polynom p(x). Bestimmung der obereren Grenze b der Nullstellen, d.h. x R : x > b gilt: p(x) 0. Berechnung aller isolierenden Intervalle der Nullstellen im Intervall [ b, b]. Speicherung aller isolierenden Intervalle in der Menge S. (Menge der Intervalle die eine Nullstellen isolieren) 18/36

20 Isolierung reellen Nullstellen - Voraussetzungen 19/36 Eine polymiale Gleichung p(x) = 0 ohne mehrfachen Nullstellen.

21 Isolierung reellen Nullstellen - Initialisierung Setze S = (Menge mit allen isolierenden Intervallen für Nullstellen) Setze I := (Liste mit noch zu prüfenden Intervallen) p w (x) := p(x) Notation: [x, x] ein Nullstelle bei x. Berechnung der Sturmsche Kette sseq(x) mit p w (x). 20/36

22 Isolierung reeller Nullstellen - Berechnung der obere Grenze Verwendung von Cauchyregel (Seite 16) zu Bestimmung der obere Grenze für die Nullstellen Sei b die obere Grenze, dann liegen die Nullstellen, im Intervall [ b, b] Teste, ob p w ( b) = 0, wenn ja dann S = S {[ b, b]}. Füge das Intervall ( b, b] in die Liste I ein. 21/36

23 Isolierung reeller Nullstellen - Intervall setzen 22/36 Sei (l 1, r 1 ] das erste Intervall aus der Liste I, dann setze l := l 1 r := r 1

24 Isolierung reeller Nullstellen - Hauptschleife 23/36 Berechnung der Anzahl der Nullstellen im Intervall (l, r] 3 Möglichkeiten: (i) keine Nullstelle mache weiter nichts (ii) eine Nullstelle (l, r] ein isolierendes Intervall S = S {(l, r]} (iii) zwei oder mehr Nullstellen zwei neue Unterintervalle n 1 = (l, (l + r)/2] und n 2 = ((l + r)/2, r] I = n Löschung des Intervall (l, r] aus I

25 Isolierung reeller Nullstellen - Abbruchbedingung 24/36 Wenn I = beende Berechnung der isolierenden Intervalle für Nullstellen, ansonsten prüfe verbliebene Intervalle in I.

26 Beispiel - Initialisierung p(x) = x 4 2x 3 2x 2 + 4x S =, I = p w (x) = p(x) K ist die Sturmkette. Obere Grenze ist 2. Intervall ist [ 2, 2]. Ist p w ( 2) = 0? Nein. Füge das Intervall ( 2, 2] in die List I ein. 25/36

27 Beispiel - Intervall 1 26/36 l = 2, r = 2 sseq( 2) = {+,, +,, +}, sseq(2) = {0, +, +, +, +} V ( 2) V (2) = 4 zwei neue Teilintervalle ( 2, 0], (0, 2], füge zu I hinzu. Lösche Intervall aus I. I = {( 2, 0], (0, 2]}

28 Beispiel - Intervall 2 27/36 l = 2, r = 0 sseq( 2) = {+,, +,, +}, sseq(0) = {0, +,,, +} V ( 2) V (0) = 2 zwei neue Teilintervalle ( 2, 1], ( 1, 0], füge zu I hinzu. Lösche Intervall aus I. I = {( 2, 1], ( 1, 0], (0, 2]}

29 Beispiel - Intervall 3 28/36 l = 2, r = 1 sseq( 2) = {+,, +,, +}, sseq( 1) = {,, +,, +} V ( 2) V ( 1) = 1 eine Nullstelle S = S {( 2, 1]} Lösche Intervall aus I. I = {( 1, 0], (0, 2]}

30 Beispiel - Intervall 4 29/36 l = 1, r = 0 sseq( 1) = {,, +,, +}, sseq(0) = {0, +,,, +} V ( 1) V (0) = 1 eine Nullstelle S = S {( 1, 0]} Lösche Intervall aus I. I = {(0, 2]}

31 Beispiel - Intervall 5 30/36 l = 0, r = 2 sseq(0) = {0, +,,, +}, sseq(2) = {0, +, +, +, +} V (0) V (2) = 2 zwei neue Teilintervalle (0, 1], (1, 2], füge zu I hinzu. Lösche Intervall aus I. I = {(0, 1], (1, 2]}

32 Beispiel 31/36 usw. irgendwann ist I = Abbruch

33 Beispiel - Ergebnis 32/36 Isolierenden Intervalle der Nullstellen: ( 2, 1], (1, 0], (1, 1.5], (1.5, 2] Faktorisiert man das Polynom, mit dem man die Sturmsche Kette berechnet hat, so erhält man: p(x) = x(x 2)(x 2)(x + 2) Die Nullstellen wären also: 2, 0, 2, 2,

34 Visualisierung 33/36

35 Wichtige Informationen Warum Sturmsche Ketten und nicht Uspensky? Uspensky kann nicht mit mehrfachen Nullstellen umgehen, Sturmsche Ketten schon! Zudem können Sturmsche Ketten mit reellen Nullstellen umgehen. Jedoch! Nachteil der Sturmschen Ketten ist die größere Laufzeit Aufgrund der Polynomdivision. 34/36

36 Mehrfache Nullstellen 35/36 keine Einschränkung Denn wenn p(x) mehrfache Nullstellen hätte, gäbe es im faktorisierten Polynom den folgenden Term: (α x) l p(x) = 0, l 2. Dann ist r k (x) = (α x) l 1 β β ist ein Polynom (l 1, wegen der Ableitung von p(x))

37 Mehrfache Nullstellen 36/36 Nun kann man sich eine neue Sturmsche Kette wie folgt definieren: Q 1 (x) = p(x)/r k (x) Q 0 (x) = p (1) (x)/r k (x) Q 1 (x) = r 1 (x)/r k (x). Q n (x) = r k (x)/r k (x) = 1 sseq(x) = {Q 1 (x), Q 0 (x), Q 1 (x)..., Q k (x)} Diese Sturmsche Kette erfüllt wieder die Eigenschaften (i)-(iv).