8 Ungleichungen. Themen: Klassische Ungleichungen Konvexe und monotone Funktionen

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "8 Ungleichungen. Themen: Klassische Ungleichungen Konvexe und monotone Funktionen"

Matthias Rothbauer
vor 6 Jahren
Abrufe

1 8 Ungleichungen Themen: Klassische Ungleichungen Konvexe und monotone Funktionen

2 Die Youngsche Ungleichung Aus 0 (a±b) 2 erhalten wir die Youngsche Ungleichung für a, b Ê ab 1 2 a b2. Ersetzen wir hier a durch εa und b durch ε 1 b, so erhalten wir die Youngsche Ungleichung mit ε > 0 ab ε 2 a ε b2.

3 Aufgabe Man zeige für nichtnegative a, b 1 2 (a+b) (a+b) a b + b a.

4 Aufgabe Man zeige für nichtnegative a, b 1 2 (a+b) (a+b) a b + b a. Lösung: Auf jeden der Terme auf der rechten Seite lässt sich die Youngsche-Ungleichung mit ε = 1/2 und ε = 2 anwenden a b = a a b 1 4 a+ab, a b a b, b a = b b a 1 4 b + ab, b a b a. Nach Summieren über diese vier Ungleichungen und Teilen durch 2 steht das gewünschte Ergebnis da.

5 Verallgemeinerte Youngsche Ungleichung Seien p, q > 1 reelle Zahlen mit 1 p + 1 q = 1. Für a, b 0 gilt dann die verallgemeinerte Youngsche Ungleichung ab 1 p ap + 1 q bq. Man beweise dies, indem man alles auf die rechte Seite bringt, eine Variable festhält und für die andere eine Kurvendiskussion durchführt.

6 Verallgemeinerte Youngsche Ungleichung Seien p, q > 1 reelle Zahlen mit 1 p + 1 q = 1. Für a, b 0 gilt dann die verallgemeinerte Youngsche Ungleichung ab 1 p ap + 1 q bq. Man beweise dies, indem man alles auf die rechte Seite bringt, eine Variable festhält und für die andere eine Kurvendiskussion durchführt. Wie bei der normalen Youngschen Ungleichung gibt es auch eine Version mit ε ab εp p ap + 1 ε q q bq.

7 Lösung Für festes b > 0 ist zu zeigen f(a) = 1 p ap + 1 q bq ab 0.

8 Lösung Für festes b > 0 ist zu zeigen f(a) = 1 p ap + 1 q bq ab 0. Es gilt f(0) > 0 und f(a) für a wegen p > 1.

9 Lösung Für festes b > 0 ist zu zeigen f(a) = 1 p ap + 1 q bq ab 0. Es gilt f(0) > 0 und f(a) für a wegen p > 1. Wir brauchen also nur zu untersuchen, welche Funktionswerte die Nullstellen von f besitzen, weil sich nur dort die möglichen Minima von f befinden können. Es gilt f (a) = a p 1 b! = 0 a = b 1/(p 1).

10 Lösung Für festes b > 0 ist zu zeigen f(a) = 1 p ap + 1 q bq ab 0. Es gilt f(0) > 0 und f(a) für a wegen p > 1. Wir brauchen also nur zu untersuchen, welche Funktionswerte die Nullstellen von f besitzen, weil sich nur dort die möglichen Minima von f befinden können. Es gilt f (a) = a p 1 b! = 0 a = b 1/(p 1). Wir setzen diesen Wert in f ein und beachten dabei q = p/(p 1) = 1+1/(p 1) f(b 1/(p 1) ) = 1 p bp/(p 1) + 1 q bq b 1+1/(p 1) = ( 1 p + 1 q )bq b q = 0.

11 Aufgabe Mit Hilfe der verallgemeinerten Youngschen Ungleichung gebe man eine Schranke für die Nullstellen des Polynoms p(x) = x 4 x 3 4.

12 Aufgabe Mit Hilfe der verallgemeinerten Youngschen Ungleichung gebe man eine Schranke für die Nullstellen des Polynoms p(x) = x 4 x 3 4. Lösung: Für den Linearterm verwenden wir die verallgemeinerte Youngsche Ungleichung mit p = 4/3 und q = 4 x 4 x / x

13 Aufgabe Mit Hilfe der verallgemeinerten Youngschen Ungleichung gebe man eine Schranke für die Nullstellen des Polynoms p(x) = x 4 x 3 4. Lösung: Für den Linearterm verwenden wir die verallgemeinerte Youngsche Ungleichung mit p = 4/3 und q = 4 x 4 x / x Daher 3 4 x also x 4 2. x = 2,

14 Homogenität Eine Funktion f : Ê n Ê heißt positiv homogen vom Grad α Ê, wenn f(tx) = t α f(x) t Ê, x Ê n.

15 Homogenität Eine Funktion f : Ê n Ê heißt positiv homogen vom Grad α Ê, wenn f(tx) = t α f(x) t Ê, x Ê n. Ein wichtiges Beispiel ist die euklidische Norm eines Vektors x Ê n ( n ) 1/2 x = x i 2, i=1 nämlich ( n ) 1/2 ( n ) 1/2 tx = tx i 2 = t x i 2. i=1 i=1

16 Die Cauchy-Ungleichung Das Skalarprodukt für Vektoren x, y Ê n ist (x, y) = n x i y i. i=1 Es gilt die Cauchy-Ungleichung (x, y) x y. Diese Ungleichung ist trivialerweise erfüllt, wenn x = 0 oder y = 0. Wir brauchen sie daher nur für x, y 0 zu zeigen.

17 Die Cauchy-Ungleichung Auf beiden Seiten ist diese Ungleichung positiv homogen vom Grad 1 in x und y. Wir zeigen sie daher zunächst für x = ỹ = 1 mit der Youngschen Ungleichung n n ( x, ỹ) = x i ỹ i x i ỹ i 1 2 i=1 i=1 n x i i=1 n ỹ i 2 = 1 i=1

18 Die Cauchy-Ungleichung Für allgemeines x, y 0 setzen wir Es gilt dann x = ỹ = 1. x = x x, ỹ = y y.

19 Die Cauchy-Ungleichung Für allgemeines x, y 0 setzen wir x = x x, ỹ = y y. Es gilt dann x = ỹ = 1. Wir erhalten aus der bereits bewiesenen Cauchy-Ungleichung für x, ỹ, nämlich ( x, ỹ) 1 ( ) x x, y 1. y Wegen der Homogenität können wir die Nenner herausziehen und auf die andere Seite bringen.

20 Alternativer Beweis der Cauchy-Ungleichung Für beliebiges t Ê gilt 0 x ty 2 = (x ty, x ty) = x 2 2t(x, y)+t 2 y 2. Für t = (x, y)/ y 2 folgt hieraus 0 x 2 (x, y) 2 y 2 und nach Multiplikation mit y 2 steht die behauptete Ungleichung da.

21 Monoton steigende Funktionen Eine auf einem Intervall I Ê definierte reellwertige Funktion f heißt monoton steigend, wenn x y f(x) f(y) x, y I

22 Monoton steigende Funktionen Eine auf einem Intervall I Ê definierte reellwertige Funktion f heißt monoton steigend, wenn x y f(x) f(y) x, y I Wichtige Beispiele für monoton steigende Funktionen sind der Logarithmus ln : Ê + Ê und die Exponentialfunktion exp : Ê Ê +.

23 Konvexe und konkave Funktionen Eine auf einem Intervall I Ê definierte reellwertige Funktion f heißt konvex, wenn für alle x, y A und t [0, 1] gilt f(tx +(1 t)y) tf(x)+(1 t)f(y).

24 Konvexe und konkave Funktionen Eine auf einem Intervall I Ê definierte reellwertige Funktion f heißt konvex, wenn für alle x, y A und t [0, 1] gilt f(tx +(1 t)y) tf(x)+(1 t)f(y). f heißt konkav, wenn f konvex ist. f f Abbildung : Eine konvexe und eine konkave Funktion

25 Konvexe und konkave Funktionen Sind x 1,...,x k I, I Ê ein Intervall, und t 1,...,t k Ê mit 0 t i 1 und i t i = 1, so heißt i t ix i Konvexkombination der x i.

26 Konvexe und konkave Funktionen Sind x 1,...,x k I, I Ê ein Intervall, und t 1,...,t k Ê mit 0 t i 1 und i t i = 1, so heißt i t ix i Konvexkombination der x i. Wie in Abschnitt 3 zeigt man: Satz Eine Funktion f : I Ê ist genau dann konvex, wenn ( k ) f t i x i i=1 k t i f(x i ). i=1 für jede Konvexkombination i t ix i, x i I.

27 Konvexe und konkave Funktionen Satz Eine Funktion f : I Ê ist genau dann konvex (konkav), wenn f (x) ( ) 0 in I.

28 Konvexe und konkave Funktionen Satz Eine Funktion f : I Ê ist genau dann konvex (konkav), wenn f (x) ( ) 0 in I. Es gilt (ln x) = 1 x, (ln x) = 1 x 2 0 in Ê +. Damit ist der Logarithmus konkav.

29 Noch einmal: Verallgemeinerte Youngsche Ungleichung Für 1 p + 1 q = 1 bedeutet die Tatsache, dass der Logarithmus konkav ist ln ( 1 p ap + 1 q bq) 1 p ln(ap )+ 1 q ln(bq ) = ln a+ln b

30 Noch einmal: Verallgemeinerte Youngsche Ungleichung Für 1 p + 1 q = 1 bedeutet die Tatsache, dass der Logarithmus konkav ist ln ( 1 p ap + 1 q bq) 1 p ln(ap )+ 1 q ln(bq ) = ln a+ln b Auf diese Ungleichung wenden wir auf beiden Seiten die monoton steigende Exponentialfunktion an, die die Umkehrfunktion des Logarithmus ist 1 p ap + 1 q bq exp(ln a+ln b) = exp(ln a) exp(ln b) = ab.

31 Arithmetisches und geometrisches Mittel Seien x 1, x 2,...,x n > 0. Dann definieren wir das arithmetische Mittel A(x 1,...,x n ) = 1 n (x x n )

32 Arithmetisches und geometrisches Mittel Seien x 1, x 2,...,x n > 0. Dann definieren wir das arithmetische Mittel A(x 1,...,x n ) = 1 n (x x n ) und das geometrische Mittel G(x 1,...,x n ) = n x 1 x 2 x n

33 Arithmetisches und geometrisches Mittel Satz Es gilt G(x) A(x) oder n x1 x 2 x n 1 n (x x n ).

34 Arithmetisches und geometrisches Mittel Satz Es gilt G(x) A(x) oder n x1 x 2 x n 1 n (x x n ). Beweis: Wir wenden auf beiden Seiten den monoton steigenden Logarithmus an: G(x) A(x) n( 1 ) ( 1 ) ln x1 +...ln x n ln n (x x n ). Die rechte Ungleichung ist richtig, weil der Logarithmus konkav ist.

35 Aufgabe Man verallgemeinere den letzten Satz so, dass der Beweis immer noch funktioniert.

36 Aufgabe Man verallgemeinere den letzten Satz so, dass der Beweis immer noch funktioniert. Seien λ i > 0 mit n i=1 λ i = 1. Dann gilt die folgende gewichtete Ungleichung des geometrischen und des arithmetischen Mittels n i=1 a λ i i n λ i a i, a i > 0, i=1

Ähnliche Dokumente

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Michael Schaeer 3.04.03 Abstract This seminar is about convex functions and several imortant ineualities. At the beginning the term