6. Iterationsverfahren. Fixpunktiteration. 6.Iterationsverfahren: Fixpunktiteration Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 1 of 16
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1 6. Iterationsverfahren Fixpunktiteration Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 1 of 16
2 Beispiel: Ausbreitung eines Grippevirus in einem Kindergarten Zeitpunkt t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 Anteil kranker Kinder t i k i α diskrete Folge von Zeitpunkten Anteil an kranken Kindern zum Zeitpunkt t i Infektionsrate Annahmen Bei jedem Kontakt zweier Kinder Virusübertragung möglich k i+1 direkt proportional zu Begegnungen zwischen einem kranken (= k i ) und einem gesunden (= 1 k i ) Kind Kranke Kinder werden nach einem Zeitschritt wieder gesund Model : k i+1 = α k i (1 k i ) Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 2 of 16
3 Was ist ein Iterationsverfahren Iterationsverfahren Startpunkt x 0 IR n for k = 0, 1... do x k+1 = Φ(x k ) end for mit der Iterationsfunktion Φ : IR n IR n. Anwendungen Nullstellensuche, z.b. Newtonverfahren: Φ(x) = x f(x) f (x) Lösen von großen linearen Gleichungssystemen, z.b. Richardson-Verfahren: Φ(x) = x + (b Ax) Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 3 of 16
4 Was ist ein Iterationsverfahren Das Iterationsverfahren erzeugt eine Folge (x k ) k N : x 1 = Φ(x 0 ) x 2 = Φ(x 1 ) x 3 = Φ(x 2 ). Was wollen wir über das Iterationsverfahren wissen? Konvergiert das Verfahren überhaupt? Banachscher Fixpunktsatz Gegen welchen Wert konvergiert es? Fixpunkt Wie schnell konvergiert das Verfahren? Konvergenzordnung Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 4 of 16
5 Gegen was konvergiert das Iterationsverfahren? Fixpunktiteration Sei Φ stetig und konvergiere die Folge x k eines Iterationsverfahrens gegen einen Punkt x. Dann ist x ein Fixpunkt von Φ. Also: [ ] [ ] lim x k = x Φ(x) = x k Beweis: x = lim k x k+1 = lim k Φ(x k) = Φ( lim k x k) = Φ(x) Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 5 of 16
6 Gegen was konvergiert das Iterationsverfahren? Fixpunktiteration Sei Φ stetig und konvergiere die Folge x k eines Iterationsverfahrens gegen einen Punkt x. Dann ist x ein Fixpunkt von Φ. Also: [ ] [ ] lim x k = x Φ(x) = x k Beweis: x = lim k x k+1 = lim k Φ(x k) = Φ( lim k x k) = Φ(x) Wie finde ich Fixpunkte? rechnerisch Φ(x) mit x gleichsetzen, nach x auflösen Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 5 of 16
7 Gegen was konvergiert das Iterationsverfahren? Fixpunktiteration Sei Φ stetig und konvergiere die Folge x k eines Iterationsverfahrens gegen einen Punkt x. Dann ist x ein Fixpunkt von Φ. Also: [ ] [ ] lim x k = x Φ(x) = x k Beweis: x = lim k x k+1 = lim k Φ(x k) = Φ( lim k x k) = Φ(x) Wie finde ich Fixpunkte? rechnerisch Φ(x) mit x gleichsetzen, nach x auflösen graphisch Die Fixpunkte sind die Schnittpunkte von Φ(x) mit der Funktion f(x) x Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 5 of 16
8 Gegen was konvergiert das Iterationsverfahren? Fixpunkte rechnerisch bestimmen Kindergarten Model k i+1 = α k i (1 k i ) Φ(x) = αx(1 x) Fixpunkte Φ(x) = x αx(1 x) = x x 1 = 0 α(1 x) = 1 x 2 = α 1 α Beispiel mit α = 2 gilt x 2 = 0.5 Zeitpunkt t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 Anteil kranker Kinder Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 6 of 16
9 Gegen was konvergiert das Iterationsverfahren? Fixpunkte und Iteration graphisch bestimmen Die Fixpunkte sind die Schnittpunkte von Φ(x) mit der Funktion f(x) x Virusuebertragung, α=2 Fixpunkte x0 0.5 Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 7 of 16
10 Gegen was konvergiert das Iterationsverfahren? Fixpunkte und Iteration graphisch bestimmen Die Fixpunkte sind die Schnittpunkte von Φ(x) mit der Funktion f(x) x 0.7 Virusuebertragung, α= x0 x1 0.5 Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 7 of 16
11 Gegen was konvergiert das Iterationsverfahren? Fixpunkte und Iteration graphisch bestimmen Die Fixpunkte sind die Schnittpunkte von Φ(x) mit der Funktion f(x) x 0.7 Virusuebertragung, α= x0 x1 x2 0.5 Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 7 of 16
12 Gegen was konvergiert das Iterationsverfahren? Fixpunkte und Iteration graphisch bestimmen Die Fixpunkte sind die Schnittpunkte von Φ(x) mit der Funktion f(x) x 0.7 Virusuebertragung, α= x0 x1 x2 x3 0.5 Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 7 of 16
13 Gegen was konvergiert das Iterationsverfahren? Fixpunkte und Iteration graphisch bestimmen Die Fixpunkte sind die Schnittpunkte von Φ(x) mit der Funktion f(x) x 0.7 Virusuebertragung, α= x0 x1 x2 x3 0.5 Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 7 of 16
14 Gegen was konvergiert das Iterationsverfahren? Divergentes Verhalten Φ(x) = 2.5x 1 Fixpunkte Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 8 of 16
15 Konvergiert das Verfahren überhaupt? Banach scher Fixpunktsatz I sei ein abgeschlossenes Intervall Φ sei eine Kontraktion, d.h. Φ(I) I Lipschitz-Konstante L [0, 1) mit x, y I : Φ(x) Φ(y) L x y Dann konvergiert das Iterationsverfahren für ein x 0 I gegen den eindeutigen Fixpunkt x I. Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 9 of 16
16 Banach scher Fixpunktsatz: Beweis (1) Sei (x k ) k N die vom Iterationsverfahren erzeugte Folge. (x k ) k N ist eine Cauchy-Folge x, y I : x y x Φ(x) + Φ(x) Φ(y) + Φ(y) y x y x Φ(x) + L x y + Φ(y) y x Φ(x) + Φ(y) y 1 L (Dreiecksungleichung) (Kontraktion) Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 10 of 16
17 Banach scher Fixpunktsatz: Beweis (1) Sei (x k ) k N die vom Iterationsverfahren erzeugte Folge. (x k ) k N ist eine Cauchy-Folge x, y I : x y x Φ(x) + Φ(x) Φ(y) + Φ(y) y x y x Φ(x) + L x y + Φ(y) y x Φ(x) + Φ(y) y 1 L (Dreiecksungleichung) (Kontraktion) Damit ergibt sich für den Abstand zweier Iterierter x k und x m: x k x m x k x k+1 + x m+1 x m 1 L Lk x 0 x 1 + L m x 1 x 0 1 L = Lk + L m 1 L x 1 x 0 Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 10 of 16
18 Banach scher Fixpunktsatz: Beweis (2) x k x m Lk + L m 1 L x 1 x 0 Damit lässt sich der Abstand zwischen zwei Iterierten für genügend große Indizes beliebig verkleinern. (x k ) k N ist eine Cauchy-Folge Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 11 of 16
19 Banach scher Fixpunktsatz: Beweis (2) x k x m Lk + L m 1 L x 1 x 0 Damit lässt sich der Abstand zwischen zwei Iterierten für genügend große Indizes beliebig verkleinern. (x k ) k N ist eine Cauchy-Folge (x k ) k N konvergiert in I In IR konvergieren Cauchy-Folgen (x k ) k N konvergiert I ist abgeschlossen der Grenzwert x := lim k x k liegt auch in I. Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 11 of 16
20 Banach scher Fixpunktsatz: Beweis (3) Der Grenzwert x := (x k ) k N ist ein eindeutiger Fixpunkt eine Kontraktion ist stetig x ist ein Fixpunkt von Φ (siehe Folie 5) Sei y x ein weiterer Fixpunkt in I. Dann gilt x y = Φ(x) Φ(y) L x y < x y. Das ist ein Widerspruch x ist eindeutig Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 12 of 16
21 Konvergiert das Verfahren überhaupt? Banach scher Fixpunktsatz, vereinfacht I sei ein abgeschlossenes Intervall Φ(I) I Sei Φ in I differenzierbar. Gelte x I : Φ (x) < 1 (L := max x I Φ (x) ) Dann konvergiert das Iterationsverfahren für ein x 0 I gegen den eindeutigen Fixpunkt x I. Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 13 of 16
22 Konvergiert das Verfahren überhaupt? Banach scher Fixpunktsatz, vereinfacht I sei ein abgeschlossenes Intervall Φ(I) I Sei Φ in I differenzierbar. Gelte x I : Φ (x) < 1 (L := max x I Φ (x) ) Dann konvergiert das Iterationsverfahren für ein x 0 I gegen den eindeutigen Fixpunkt x I. Beweis Mittelwertsatz: x, y I z [x, y] : Φ(x) = Φ(y) + Φ (z)(x y) Daraus folgt: Φ(x) Φ(y) max z I Φ (z) x y = L x y Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 13 of 16
23 Konvergiert das Verfahren überhaupt? Folgerung aus Banach schem Fixpunktsatz Sei x ein Fixpunkt von Φ. Φ (x) < 1 x anziehend (d.h. es gibt eine abgeschlossene Umgebung I um x, worin der Banach sche Fixpunktsatz anwendbar ist) Φ (x) > 1 x abstoßend Φ (x) = 1 keine Aussage Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 14 of 16
24 Konvergiert das Verfahren überhaupt? Folgerung aus Banach schem Fixpunktsatz Sei x ein Fixpunkt von Φ. Φ (x) < 1 x anziehend (d.h. es gibt eine abgeschlossene Umgebung I um x, worin der Banach sche Fixpunktsatz anwendbar ist) Φ (x) > 1 x abstoßend Φ (x) = 1 keine Aussage Beweis: Wähle h > 0 genügend klein, damit gilt: L := max z I Φ (z) < 1 mit I := [x h, x + h] Sei x I Φ(x) x = Φ(x) Φ(x) L x x < h Φ(x) I Φ(I) I Damit ist der Banach sche Fixpunktsatz anwendbar Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 14 of 16
25 Konvergiert das Verfahren überhaupt? Beispiel: anziehender Fixpunkt Beispiel Grippevirus: Φ(x) = αx(1 x) mit Fixpunkt x = α 1 α für die Ableitung gilt: Φ (x) = α 2αx = 2 α x ist anziehend für 1 < α < 3 1 Virusuebertragung, α= monotone Konvergenz für α = 1.9 : (da Φ (x) > 0) Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 15 of 16
26 Konvergiert das Verfahren überhaupt? Beispiel: anziehender Fixpunkt Beispiel Grippevirus: Φ(x) = αx(1 x) mit Fixpunkt x = α 1 α für die Ableitung gilt: Φ (x) = α 2αx = 2 α x ist anziehend für 1 < α < 3 1 Virusuebertragung, α= alternierende Konvergenz für α = 2.9 : (da Φ (x) < 0) Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 15 of 16
27 Konvergiert das Verfahren überhaupt? Beispiel: abstoßender Fixpunkt Beispiel Grippevirus: Φ(x) = αx(1 x) mit Fixpunkt x = α 1 α für die Ableitung gilt: Φ (x) = α 2αx = 2 α x ist abstoßend für α < 1 und α > 3 1 Virusuebertragung, α= Divergenz für α = 4 : Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 15 of 16
28 Wie schnell konvergiert das Verfahren? Konvergenzordnung Ein Verfahren konvergiert linear : x k+1 x L x k x mit L < 1 von Ordnung p > 1 : x k+1 x L x k x p Beispiel: Abstand der Lösung in jedem Schritt quadratisch (p=2) Mit dem Banach schen Fixpunktsatz konvergiert das Iterationsverfahren linear Mit den Voraussetzungen des Banach schen Fixpunktsatzes gilt: x k+1 x = Φ(x k ) Φ(x) L x k x und damit lineare Konvergenz. Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 16 of 16
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