Studienberechtigungsprüfung Mathematik VHS Floridsdorf

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1 Studienberechtigungsprüfung Mathematik VHS Floridsdorf von Dr. Manfred Gurtner Würl 0/ Teil für : ) Zahlenrechnen und Taschenrechner: a) Berechnen Sie: [( 6) ( ) (+)] [( 0)+(+)] (+5) + ( ) = 5 b) Berechnen Sie: ( : ) = 5 6 ) Termumformungen: a) Vereinfachen Sie: y 5x [y (7+y) x 9] = b) Vereinfachen Sie: (a b) (a+5b)(a 5b) = c) Kürzen Sie folgenden Bruchterm durch Herausheben und Zerlegen: ) Lineare Gleichungen: 5x² 5 5x² 0x 5 a) Lösen Sie die folgenden Gleichung in der Grundmenge IR: + b) Formen Sie auf s um: O = r²π + rπs ) Textaufgabe zu Lineare Gleichungen Addiert man zum fachen einer Zahl x, so erhält man um mehr als das 9 fache der Zahl x. Wie lautet die Zahl x? (Mit Aufstellen der Gleichung) 5) Lineare Funktionen: a) Bestimmen Sie die Nullstelle und zeichnen Sie die Funktion: f: y x b) Geben Sie den Funktionsterm einer linearen Funktion durch A( ) und B(5 6) an 6) Lineare Gleichungssysteme Lösen Sie das Gleichungssystem: I) x y = II) x +y = 6 7) Textaufgabe zu Gleichungssystemen Ein Barmixer mischt Liter Schnaps mit Liter Obstler und erhält eine Mischung, die 6 kostet. Dann mischt er Liter Schnaps mit Liter Obstler und erhält eine Mischung, die 78 kostet. Wie viel kostet ein Liter jeder Sorte? 8) quadratische Gleichungen und Gleichungen höheren Grades a) Lösen Sie in IR: x² + x = 77 b) Lösen Sie in IR: x³ x² x +0 = 0 5 9) Mengenlehre Gegeben sind die Mengen x Z x A und B={, 0,, 5, 7, 9} Geben Sie A B, A B und A \ B in Form in aufzählender Form an! Studienberechtigungsprüfung Mathematik 0/ Teil Seite

2 0) Ungleichungen Lösen Sie das Ungleichungssystem in IR: I) x > II) x+ 6x 5 und geben Sie an, ob x=0 mögliche Lösung des Systems ist! ) Vektorrechnung und Matrix a) Von einem Quadrat kennt man Punkte: A( ) und B(5 ). Ermitteln Sie die fehlenden Koordinaten der Punkte C und D grafisch und rechnerisch b) Berechnen Sie den Abstand zwischen A( 7) und C(6 0) (=Betrag des Vektors) c) Überprüfen Sie, ob zwischen den Vektoren ( ) und ( ) ein rechter Winkel ist! ) Potenzen und Wurzeln Vereinfachen Sie so weit wie möglich, so dass nur positive, ganzzahlige Exponenten vorkommen: ( x y ) ( x y 6 ) ) Funktionen Zeichnen Sie die Funktion f(x) = x² x mit Hilfe einer Wertetabelle im Intervall [ ;5]. Welcher Funktionstyp ist das? Geben Sie die Nullstellen an und geben Sie die Bereiche an, wo die Funktion positiv ist! ) Finanzmathematik und exponentielles Wachstum Eine Stadt hat vor 8 Jahren 000 Einwohner gehabt und hat jetzt 9 Einwohner. a. Stellen Sie das Wachstumsgesetz dafür auf wenn man exponentielles Wachstum annimmt! b. Wann wird diese Stadt 5000 Einwohner haben? c. Welches jährliche prozentuelle Wachstum hat diese Stadt? 5) Differenzialrechnung: a) Machen Sie eine Kurvendiskussion (Extremwerte, Wendepunkte, Graph) der folgenden Funktion: f(x) = x³ x+ im Intervall [-;] b) Eine Firma arbeitet mit der Kostenfunktion K(x) = 0,00 x² +x +500 (Für x Stück fallen K(x) Kosten in Euro an) a. Berechnen Sie für den Marktpreis p = 0 GE/ME den maximalen Gewinn. (Gewinn = Preis*Stückzahl Kosten) b. Bei welcher Stückzahl tritt er auf? c. Welche Gewinngrenzen (wo der Gewinn=0 ist) gibt es? 6) Umgekehrte Kurvendiskussion Der Graph einer Funktion. Grades hat den Tiefpunkt T( -6) und den Wendepunkt W(0 0). Bestimmen Sie den Funktionsterm! 7) Integration a) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen der Kurve und der x-achse (zuerst Nullstellen berechnen!): y = x² +x b) Das Innere einer Vase hat folgende Umrissfunktion (nach rechts gekippt): y = Berechnen Sie das Volumen bei Rotation dieser Funktion um die x Achse zwischen x= 0 und x=5. (Maßeinheiten in cm) Machen Sie eine Skizze der Funktion Studienberechtigungsprüfung Mathematik 0/ Teil Seite

3 I) Statistik (verpflichtend für M und M) Bei einer Befragung von 0 Personen, wie viel sie im vergangenen Jahr an karitative Organisationen gespendet hätten, ergab folgende Urliste:, 7, 5,, 0, 00,,, 6, 5, 60,, 5, 8,,, 5, 80, 7, a. Machen Sie aus der Urliste eine geordnete Liste und zeichnen Sie damit: Minimum. Quartil Median. Quartil Maximum in ein Boxplot b. Bestimmen Sie davon Mittelwert und Standardabweichung II) Wahrscheinlichkeit (verpflichtend für M und M) a) In einer Urne sind 6 schwarze, weiße und rote Kugeln Es wird dreimal ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,. eine rote und eine schwarze und eine weiße Kugel in dieser Reihenfolge. zwei rote Kugeln und eine weiße Kugel in beliebiger Reihenfolge. mindestens eine schwarze Kugel zu ziehen? b) Ein Spieler gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 5%.. Wie groß ist seine Chance bei 8 Spielen, genau Spiele zu gewinnen?. wie groß ist seine Chance zu gewinnen, wenn er 0 Spiele spielt und mindestens davon gewinnen will? c) Die Lebensdauer der Sparlampe QU0 ist annähernd normalverteilt mit μ=0000 Stunden und σ=000 Stunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Lampe eine Lebensdauer von. weniger als 5000 Stunden. mehr als 000 Stunden hat? III) Trigonometrie (verpflichtend für M und M) Von einem rechtwinkeligen Dreieck sind gegeben: b = 6 cm, γ = 90, c = 0 cm Gesucht: a, α,, A IV) Folgen und Reihen (verpflichtend für M und M) a) Berechnen Sie die unendliche Summe , +... n b) Gegeben ist die Folge < > n. Berechnen Sie die ersten 5 Folgenglieder. Stellen Sie eine Vermutung über die Monotonie auf und beweisen Sie diese!. Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge c) Eine arithmetische Folge hat das Folgenglied a = und a 9 =. Berechnen Sie a, a 8 und s 8 Studienberechtigungsprüfung Mathematik 0/ Teil Seite

4 V) für M: Ableitungsregeln Berechnen Sie die.ableitungen von: a) y = x b) y = x² x x c) y = x cos x VI) Integrationsregeln (nur für M) Berechnen Sie folgende Integrale: x x d) x dx e) x sin x dx f) dx x VII) Komplexe Zahlen (nur für M) a) Berechnen Sie: + i 00 = b) Geben Sie in Polarform und kartesischer Form die Lösung der Wurzel an! c) Lösen Sie die Gleichung in der Grundmenge der komplexen Zahlen: x² x + = 0 SUMME = Studienberechtigungsprüfung Mathematik 0/ Teil Seite

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