Informationsblatt für den Einstieg ins 3. Mathematikjahr AHS Kursleiter: Diplomierter Erwachsenenbildner DI Hadi Bakhtiarnia

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1 Informationsblatt für den Einstieg ins. Mathematikjahr AHS Kursleiter: Diplomierter Erwachsenenbildner DI Hadi Bakhtiarnia Stoff für die Einstufungsprüfung ins. Mathematikjahr AHS: ) Vektorrechnung im R² und R³ Richtungsvektor, Normalvektor, Einheitsvektor Addition, Subtraktion, Multiplikation von Vektoren Skalares Produkt Strecken abtragen Winkel berechnen Geradengleichung in Parameterform und Normalvektorform Punkte an einer Geraden spiegeln Dreiecksberechnung: Winkel, Umfang, Höhenschnittpunkt, Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt, Eulersche Gerade Ebenengleichung in Parameterform und Normalvektorform Lage von Ebenen zueinander Punkte an Ebene spiegeln Pyramide ) Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel: Gleichung von Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel Tangente Berührbedingung Schnittwinkel zwischen zwei Kreisen ) Logarithmus/Wachstum/Zerfall: Logarithmische Gleichungen Wachstums/Zerfallsfunktion ) Folgen, Reihen: Monotonie von Folgen Grenzwert Schranken Arithmetische und geometrische Folgen Arithmetische und geometrische Reihen 5) Komplexe Zahlen: Binomialform Polardarstellung Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenz, Wurzel 6) Differential/Kurvendiskussion: Produkt-, Quotienten-, Kettenregel Ableitung von sin-, cos- und e-funktion Kurvendiskussion Vorbereitung: Mathematik positiv! 6. Klasse und 7. Klasse AHS (Thorwartl, Wagner, Wagner) Mathematik Lehrbuch 6 und 7 (Götz, Reichel, Müller, Hanisch) Die TeilnehmerInnen müssen die o. a. Stoff beherrschen. Die Einstufungsprüfung ist schriftlich und dauert Unterrichtseinheiten. Bitte mitbringen: Taschenrechner, Schreibzeug, Geodreieck, Papier. AHS-Matura für ExternistInnen VHS Juli 0 Einstufung Mathematik. Jahr Seite /7

2 AHS-Matura für ExternistInnen VHS Juli 0 Einstufung Mathematik. Jahr Seite /7 Probe-Einstufungstest Mathematik. Jahr Vektorrechnung im R² ) Von einem Rechteck sind die Punkte A und B gegeben: A (-/) B (8/-) Berechnen Sie die Eckpunkte C und D, wenn b =. 9 ist. ) Von einem Dreieck sind die Eckpunkte R, S und T gegeben. R (-/-), S (5/), T (/6) Berechnen Sie alle Winkel, den Flächeninhalt und den Umfang des Dreiecks. ) Von einem Dreieck sind die Eckpunkte E, F und G gegeben. E (5/5), F (6/-), G (-/) Berechnen Sie: a) Die Koordinaten des Umkreismittelpunktes und den Radius des Umkreises. b) Die Koordinaten des Schwerpunktes. c) Die Koordinaten des Höhenschnittpunktes. d) Die Eulersche Gerade, auf der die Punkte U,H und S liegen, in Parameter- darstellung und in Normalvektorform. ) Eine Gerade ist gegeben durch g: X = (/) t(/) Spiegeln Sie den Punkt P (/) an dieser Geraden und bestimmen Sie den gespiegelten Punkt P. Vektorrechnung im R³ ) Die Ebene ε ist gegeben durch: R (-/8/6), = =, b a r r a) Stellen Sie die Ebene in Parameterform und in Normalvektorform dar. b) Überprüfen Sie, ob der Punkt P (/7/) auf der Ebene liegt. c) Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes T (//-5) von der Ebene. ) Untersuchen Sie die Lage der beiden Geraden und berechnen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel, bzw. den Abstand von g und h: a) g: X = s h: X = 5 5 t b) g: X = s h: X = t c) g: X = 7 0 s h: X = 0 t

3 ) Gegeben ist die Ebene ε : x 6y z = Spiegeln Sie den Punkt P (5/-5/) an der Ebene. ) Gegeben sind die Punkte A(0//5), B(//) und C(/7/). a) Stelle eine Gleichung der Ebene auf, in der diese drei Punkte liegen. b) Vom Punkt P(-//-0) wird auf die Ebene das Lot gefällt. Berechne die Länge des Lots und den Lotfußpunkt. Kegelschnitte ) Bestimmen Sie die Lage der Geraden g bezüglich des Kreises k: (x )² (y )² = 50 und bestimme Sie die Tangenten in möglichen Schnittpunkten: a) g: x y = 5 b) g: x y = 7 ) Legen Sie an den Kreis k: x² y² 0x 6y = Tangenten, die parallel zu der Geraden g: x y = 0 sind. ) Von einem Kreis ist gegeben: M (/- ), r = 5 a) Ermitteln Sie die Gleichungen der Tangenten t und t, die man vom Punkt P (9/) an den Kreis legen kann. b) Ermitteln Sie den Schnittwinkel der beiden Tangenten. ) Ermitteln Sie den Schnittwinkel der beiden Kreise k : M ( /), r = 5 und k : M (- / - 5), r = 5. 5) Bestimmen Sie die Gleichung, die Hauptscheitel, die Nebenscheitel und die Brennpunkte einer Ellipse in erster Hauptlage, von der gegeben ist: a) a = 5 b = 9 b) a = 0 e = 8 6) Bestimmen Sie von der gegebenen Hyperbel die Hauptscheitel, die Nebenscheitel und die Brennpunkte: a) x² - y² = 6 b) a = e = Logarithmus,Wachstum/Zerfall ) Lösen Sie die folgenden Gleichungen in R und führen Sie die Probe aus: a) 9 x. x = x b) (x ) /. 5 x = 8 (x ) / ) Lösen Sie die folgenden Gleichungen in R und führen Sie die Probe aus: a) lg x lg x lg x = lg,5 b) lg (x ) lg (x ) = lg c) x lg x = 0, AHS-Matura für ExternistInnen VHS Juli 0 Einstufung Mathematik. Jahr Seite /7

4 ) Aspirin, ein bekanntes schmerzstillendes Mittel, enthält als Wirkstoff Acetylsalicylsäure, die vom Körper mit einer Halbwertszeit von Stunden exponentiell abnehmend ausgeschieden wird. Einem Patienten wird um 6 Uhr eine Tablette mit 500 mg Wirkstoff verabreicht. Berechnen Sie: a) die Zerfallskonstante b) wie viel mg des Wirkstoffs nach 7 Stunden im Körper noch vorhanden sind c) die prozentuelle Abnahme des Wirkstoffes pro Stunde d) wann nur mehr 50 mg des Wirkstoffes im Körper sind. Folgen und Reihen ) Bestimmen Sie die Monotonie folgender Folgen und eine obere bzw. untere Schranke (jeweils mit Beweis): n² n a) b) n n² ) Bestimmen Sie den Grenzwert folgender Folge (mit Beweis): 6n ε = 0,0 n ) Von einer arithmetischen Folge sind gegeben: a = und a 7 =. Berechnen Sie: d, a und a 5. ) In einem Rechteck bilden die Längen der Seiten und der Diagonale eine arithmetische Folge. Berechnen Sie Umfang und Fläche des Rechtecks, wenn die längere Seite 76mm lang ist. 5) Ein Dach wird mit Schindeln gedeckt. In der ersten Reihe liegen 0 Schindeln, in jeder weiteren Reihe Schindeln mehr. Wie viele Schindeln liegen auf dem ganzen Dach, wenn 5 Reihen aufgelegt werden? 6) Von einer geometrischen Folge sind gegeben: b = 5 und b 8 = 0.95 Berechnen Sie: q, b und b 5 7) Durch fortlaufendes, endloses Aneinanderfügen von Quadraten entsteht eine Treppe. Die Seite des ersten Quadrats ist 6 cm lang, die Seite des zweiten Quadrats ist nur mehr halb so lang. Berechnen Sie: a) die Summe der ersten Quadratflächen b) die Summe aller Quadratflächen. Komplexe Zahlen ) Gegeben ist: z = i z = 5i. Berechnen Sie: a) z z b) z z c) z. z d) z / z AHS-Matura für ExternistInnen VHS Juli 0 Einstufung Mathematik. Jahr Seite /7

5 ) Gegeben ist: z = i z = 5i. Wandeln Sie die beiden komplexen Zahlen in Polardarstellung um und berechnen Sie: a) z. z b) z /z c) z ³ d) z Differentialrechnung/ Kurvendiskussion ) Bilden Sie die Ableitungsfunktion: a) y = (x² - x) (x² x ) b) y = (x² - x)² c) y = ( - x) (x )² (x )² d) y = x e) y = x. cos x f) y = x. sin² x g) y = sin 5x² h) y = x ² 8x i) y = e x² j) y = e x. sin²x ) Der Graph einer Funktion. Grades hat in (/0) einen Extremwert und in (/) einen Wendepunkt. Bestimmen Sie von dieser Funktion: a) Nullstellen b) Extremwerte c) Wendepunkt d) Wendetangente e) Monotonie f) Krümmung g) Skizze AHS-Matura für ExternistInnen VHS Juli 0 Einstufung Mathematik. Jahr Seite 5/7

6 LÖSUNGEN: Vektorrechnung im R²: ) C(/7) D(/) ) α =, 70 β = 77, 7 γ = 67, 8 A=7 u=5, ) a) U(/) r=5 8 b) S( / ) c) H(/) d) x- y=0 ) P (5/) Vektorrechnung im R³: ) a) ε: X= (,8,6) s.(,,) t.(,.) x-y-5z= -6 b) P ε c) d=6,9 ) a) identisch b) S(/0/) α =, 9 c) windschief d= ) P (-/7/0) ) a) ε: 8x y7z = 5 b) d =,6 ; P (6/6/-) Kegelschnitte: ) a) t : - xy = 9 t : 7x y = 75 b) T(9/8) t: xy = 7 ) t : y = x 8 t : y = x ) a) t : x - y = t : x - y = b) α = 6, 87 ) α = 60, 6 5) a) 9x² 5y² = 05 A(-5/0) B(5/0) C(0/9) D(0/-9) F (-/0) F (/0) b) 9x² 5y² = 900 A(-0/0) B(0/0) C(0/6) D(0/-6) F (-8/0) F (8/0) 6) a) A(-/0) B(/0) C(0/) D(0/-) F (- 0 /0) F ( 0 /0) b) A(-/0) B(/0) C(0/) D(0/-) F (- /0) F ( /0) Logarithmus, Wachstum/Zerfall: ) a) x = 0,75 b) x =,86 ) a) x = b) x = 5 c) x = 0 ) a) -0,0 b) 99,5g c) 0,6% d) ca. 0h Folgen und Reihen: ) a) streng monoton steigend untere Schranke 0,5 b) streng monoton fallend obere Schranke ) a = 6 ) d = a = 5 a 5 = 7 ) a = 76 b = 57 d = 95 5) 8 6) q = b = 5 b 5 = 05 7) a) 6 b) Komplexe Zahlen: 7 7 ) a) -8i b) i c) --i d) i 6 6 ) a),09.(cos,5 i.sin,5) b),78.(cos 7,97 i. sin 7,97) c) 6,87.(cos 0,07 i. sin 0,07) AHS-Matura für ExternistInnen VHS Juli 0 Einstufung Mathematik. Jahr Seite 6/7

7 d),86.(cos 0,89 i. sin 0,89),86.(cos,89 i. sin,89),86.(cos,89 i. sin,89) Differential: ) a) 8x³-5x²-x9 b) x³-80x²x c) -7x²-x 8x² x 8 d) (x )² e).cosx x.sinx f).sin² x x.sinx.cosx g) 0x.cos5x² 6x 8 h). (x² 8x)² i) e x². 6x x x j) e. sin ² x e.sin x.cos x ) a) N(/0) N(-/0) b) E(0/6) E(/0) c) W(/) 9 5 d) y = x e) ],0[ streng monoton steigend ] 0,[ streng monoton fallend ], [ 0 streng monoton steigend f) ],[ negativ gekrümmt ], [ positiv gekrümmt AHS-Matura für ExternistInnen VHS Juli 0 Einstufung Mathematik. Jahr Seite 7/7