MODULPRÜFUNG MODUL MA 1302 Einführung in die Numerik

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Angelika Stieber
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1 Note Name Vorname 1 I II Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 Obige Angaben sind richtig: Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 3 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik MODULPRÜFUNG MODUL MA 1302 Einführung in die Numerik Oktober 2010, 09:00-10:00 Uhr Prüfer: Prof. Dr. O. Junge Hörsaal: Reihe: Platz: I Erstkorrektur Nur von der Aufsicht auszufüllen: II Zweitkorrektur Hörsaal verlassen von bis Vorzeitig abgegeben um Besondere Bemerkungen:

2 (18 min.) Aufgabe 1 (Verschiedene kurze Aufgaben) Es sind kurze und richtige Begründungen gefragt. (a) Geben Sie drei Gleitpunktzahlen x, y, z zur Basis 10 mit 2 signifikanten Ziffern (G 10,2 ) an mit x (y z) (x y) z. ( ) 10 = = fl(10.6) = (0.3 10) = 0.3 fl(10.3) = = 10. (b) Sei A R n n tridiagonal und diagonaldominant. Berechnet das Programm function x = prog(a) [L,R]=lu(A); x=prod(diag(r)); die Determinante von A? Ja. Die Hausaufgabe H9 sagt, dass es für tridiagonale diagonaldominante Matrizen eine LR-Zerlegung ohne Pivotisierung gibt. Dann haben wir det(a) = det(lr) = det(l) det(r) = n L kk k=1 =1 n k=1 R kk = n k=1 R kk. Bitte wenden! 1

3 Aufgabe 1 (Fortsetzung) (c) Das Polynom x 5 2x hat im Intervall (1, 2) eine eindeutige Nullstelle x. Um die zu berechnen, verwenden wir Fixpunktiteration mit den Iterationsfunktionen φ 1 (x) = x 5 x, φ 2 (x) = (2x) 1/5 und φ 3 (x) = log 10 (x 5 )/2. Für welche Iterationsfunktionen kann die Iteration nicht gegen x konvergieren? φ 1 (x ) = 5x 4 1 > 1 und φ 2 (x ) = 5 2 x 4/5 < 2 5 in (1, 2). Damit konvergiert die Iteration für φ 1 nicht, und für φ 2 schon. Die Funktion φ 3 hat den falschen Fixpunkt! (d) Sei A R n n nichtsingulär. Für A seien die Zerlegungen A = LU in eine unipotente untere Dreiecksmatrix L und eine nichtsinguläre obere Dreiecksmatrix U, sowie A = QR in eine orthogonale Matrix Q und nichtsinguläre obere Dreiecksmatrix R bekannt. Zeigen Sie, dass die letzte Zeile von L 1 ein Vielfaches der letzten Spalte von Q ist. Hinweis: die Menge der nichtsingulären oberen Dreiecksmatrizen bildet eine multiplikative Gruppe. Nach Umformung haben wir UR 1 = L 1 Q. Da UR 1 auch eine obere Dreiecksmatrix ist, liest sich die letzte Zeile der Gleichung als (verwende Matlab- Notation) (0,..., 0, ϱ) = (L 1 ) n, Q, für ein ϱ 0. Damit ist die letzte Zeile von L 1 orthogonal auf den ersten n 1 Spalten von Q, also parallel zur letzten Spalte. 2

4 (6 min.) Aufgabe 2 (LR-Zerlegungen) Sei A R n n nichtsingulär. Für A sei eine pivotisierte LR-Zerlegung PA = LR bekannt (dabei ist P eine Permutationsmatrix, L eine unipotente untere und R eine obere Dreiecksmatrix). Geben Sie LR-Zerlegungen PĀ = L R der folgenden Matrizen an: (a) (b) (c) Ā = AD, mit D nichtsinguläre Diagonalmatrix, Ā = TA, mit T Permutationsmatrix, Ā = AU, mit U nichtsinguläre obere Dreiecksmatrix. (a) PĀ = L RD, da RD eine obere Dreiecksmatrix ist, daher P = P und L = L. R (b) PT 1 Ā = LR, da PT 1 auch eine Permutationsmatrix ist, folglich L = L und P R = R. (c) PĀ = L RU R, da das Produkt zweier oberer Dreiecksmatrizen auch eine obere Dreiecksmatrix ist. P = P und L = L. 3

5 (6 min.) Aufgabe 3 (Affininvarianz der Newton-Iteration) Das Newton-Verfahren für die Berechnung der Nullstelle der stetig differenzierbaren Funktion f R n R n liefere die Folge {x k } k 0. Die Funktion g R n R n sei durch g(x) = f (Mx) gegeben, dabei ist M R n n eine nichtsinguläre Matrix. Für die Funktion g liefere das Newton-Verfahren die Iterierten {y k } k 0. Zeigen Sie: falls y 0 = M 1 x 0, so gilt y k = M 1 x k für alle k 0. Beweis durch Induktion. Für k = 0 gilt die Aussage, und mit der Induktionsvoraussetzung ergibt sich y k+1 = y k Dg(y k ) 1 g(y k ) = y k M 1 D f (My k ) 1 f (My k ) = M 1 x k M 1 D f (x k ) 1 f (x k ) = M 1 x k+1. 4

6 (20 min.) Aufgabe 4 (Interpolation) Wir wollen eine Funktion f C ([0, 1]) auf [0, 1] interpolieren. Es sei ein Polynom p n P n durch p (k) n (0) = f (k) (0) k = 0,..., n 1, und p n (1) = f (1) gegeben. Man verwende die Darstellung p n (x) = n l=0 c lx l, und c = (c 0, c 1,..., c n ) T. (a) Das Interpolationsproblem für die Bestimmung von p n lässt sich als lineares Gleichungssystem Mc = b schreiben. Geben Sie die Matrix M und den Vektor b an. (b) Geben Sie einen Algorithmus (kein Matlab-Programm erforderlich!) an, welcher c R n+1 mit Mc = b für beliebige b R n+1 in O(n) Flops berechnet. Begründen Sie den Lösungsaufwand Ihres Algorithmus. (a). Aus p (k) n (0) = k!c k und p n (1) = n l=0 c l folgt 0! f (0) 1! f (1) (0) c =. (n 1)! f (n 1) (0) f (1) =M =b Bitte wenden! (b). Ein Algorithmus lautet Schritt 1: berechne c l = b l /l! für l = 0,..., n 1. Schritt 2: berechne c n = b n n 1 l=0 c l. Er braucht O(n) Flops für die Berechnung von l! für l = 0,..., n 1. Schritt 1 braucht n 1 Flops, und Schritt 2 braucht n Flops. 5

7 Aufgabe 4 (Fortsetzung) (c) Sei A R (n+1) (n+1) nichtsingulär, so dass A sich als A = ( A 0 a T 1 ) partitionieren lässt mit A R n n und a R n. Dann besitzt die Inverse von A eine analoge Partitionierung A 1 = ( R 0 r T ). Berechnen Sie R, r und ϱ. ϱ (d) Zeigen Sie: Die von y R n+1 unabhängige obere Schranke der relativen Kondition von y M 1 y bezüglich der -Norm R n R 0 ist mindestens (n 1)!. Hinweis: Erinnern Sie sich an eine Tutoraufgabe. (c). Aus AA 1 = I n+1 folgen die Gleichungen A R = I n, a T R + r T = 0, 1 ϱ = 1 Daraus ergibt sich R = A 1, r T = a T A 1 und ϱ = 1. (d). Die relative Kondition der Matrixmultiplikation ist für eine beliebige Eingabe (nach der Tutoraufgabe T8) mindestens M M 1. Die -Norm ist die Zeilensummennorm, damit haben wir für M mit Hilfe von (c), dass die Kondition mindestens (n 1)! ist. 6

8 (10 min.) Aufgabe 5 (Trigonometrisches Polynom) Es sei ein trigonometrisches Polynom P n [0, 1] C durch den Koeffizientenvektor c = (c 0,..., c n 1 ) T R n gegeben: P n (t) = n 1 c k e 2πikt. k=0 (a) Geben Sie den Koeffizientenvektor der Ableitung P n an. (b) Es seien die Stützstellen t j = j n, j = 0,..., n 1 und der zugehörige Auswertungsvektor p R n mit p j = P n (t j ) gegeben. Schreiben Sie ein kurzes Matlab- Programm function q = ableitung(p), welches mit Hilfe der schnellen (diskreten) Fourier-Transformation aus der Eingabe p den Vektor der Ableitungen q R n mit q j = P n(t j ) berechnet. Hinweis: Die Matlab-Funktion fft liefert für die Eingabe p den Koeffizientenvektor c, die Funktion ifft realisiert die inverse Operation. (a). Ableiten ergibt P n(t) = n 1 c k 2πik e 2πikt j=0 c k Der Vektor c ist der Koeffizientenvektor von P n. (b). Wenn wir im Frequenzbereich sind, ist Ableitung nur eine Skalierung laut (a). Also unser Programm kann so aussehen: function q = ableitung(p) n=length(p); c = fft(p); c_abl = 2*pi*1i*c.*(0:n-1)'; q = ifft(c_abl); 7

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