MODULPRÜFUNG MODUL MA 1302 Einführung in die Numerik

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "MODULPRÜFUNG MODUL MA 1302 Einführung in die Numerik"

Joachim Baum
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Note Nae Vornae 1 I II Matrikelnuer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 Obige Angaben sind richtig: Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 3 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Matheatik MODULPRÜFUNG MODUL MA 1302 Einführung in die Nuerik August 2010, 09:00-10:00 Uhr Prüfer: Prof. Dr. O. Junge Hörsaal: Reihe: Platz: I Erstkorrektur Nur von der Aufsicht auszufüllen: II Zweitkorrektur Hörsaal verlassen von bis Vorzeitig abgegeben u Besondere Beerkungen:

2 (15 in.) Aufgabe 1 (Verschiedene kurze Aufgaben) Es sind kurze und richtige Begründungen gefragt. (a) Es sei eine QR-Zerlegung der nichtsingulären Matri A R n n gegeben. Weiter sei b R n. Eistiert ein Algorithus, welcher das lineare Gleichungssyste A = b in O(n 2 ) Flops löst? Ja, y = Q b, = R 1 y. Beide Operationen sind in O(n 2 ) Flops realisierbar. (b) Geben Sie zwei Gleitpunktzahlen, y G b,t, y an, für welche eine der Ungleichungen 0.5 ( y) y in Gleitkoaarithetik verletzt ist. Sei b = 10 und t = 2. Die Ungleichung wird wegen der Rundung verletzt. Sei = y = 9.9. Dann haben wir y = fl(19.8) = 20, dait 0.5 ( y) = 10 y. (c) Sei A R n n nichtsingulär. Berechnet das Progra function = prog(a) [L,R]=lu(A); =prod(diag(r)); die Deterinante von A? Wäre L eine unipotente Matri, würde gelten: n L ii =1 det(a) = det(l) det(r) = Da aber Matlab pivotisiert, wenn das nötig ist, wird PL statt L zurückgegeben. Bei der Pivotisierung können Zeilen von L perutiert werden, so dass det(pl) = 1 ist. Siehe z.b. A = [0 1; 1 1]. Also die Antwort ist nein. n R ii. 1

3 (12 in.) Aufgabe 2 (Approiation der Ableitung) Für die nuerische Berechnung der Ableitung der Funktion f R R an der Stelle = 0 wird die Approiation f () = (a) Zeigen Sie für f () = e : f () f (0) verwendet. f () 1 = O() für 0, (b) Wir stellen ε i () = f i () f i (0) für = 100, 10 1,..., und f 1 () = e, f 2 () = sin() und f 3 () = 2 graphisch dar. Ordnen Sie die Funktionen den Graphen in der Legende zu, und begründen Sie unten Ihre Zuordnung. Hinweis: Es wird doppeltlogarithisch geplottet. (c) Berechnen Sie ohne zuhilfenahe des Graphen die Steigung des it gekennzeichneten Graphen aus (b). Legende (a). 1. Möglichkeit: Wir setzen in die Reihenentwicklung von e ein: e 1 = O(2 ) 1 = 1 + O(). Ugeordnet folgt die Behauptung. 2. Möglichkeit: Wir wissen, dass eine Funktion h erfüllt h() = O() für 0, falls gilt. Das rechnen wir nach. li sup 0 li sup 0 h() = c < e 1 1 e = li sup 1 e 0 2 = li = li e 0 2 = 1 2, nachde an zweial die l Hospital-Regel anwendet. 2

4 (b). Die Instabilität bei e ist klar zu erkennen. Die Auslöschung in e 1 resultiert einen großen relativen Fehler, welcher durch die Division it weitertransportiert wird. Sonst beobachten wir 2 0 = und sin() 0 = O( 2 ) (beide ohne Auslöschung). Also zu sin() gehört die untere Kurve, da O( 2 ) schneller als O() ist. (c). Es gilt log(ε 2 ()) = log(c 2 ) = log(c) + 2 log(). Dait hat die Kurve Steigung 2. 3

5 (8 in.) Aufgabe 3 (Lineares Ausgleichsproble) In der Modellfunktion w(t) = p 1 + p 2 t sollen die unbekannten Paraeter p 1, p 2 anhand von Messungen (t i, w i ), i = 1,..., über das lineare Ausgleichsproble (p 1 + p 2 t i w i ) 2 = in! bestit werden. Man kann das Proble in der For Ap b 2 2 = in!, p = (p 1, p 2 ) T schreiben. (a) Geben Sie A und b an. (b) Zeigen Sie ohne Verwendung der QR-Zerlegung, dass der Paraetervektor p = (p 1, p 2 ) T die folgende Gleichung erfüllt: it i = i. ( t i t i t 2 ) ( p 1 ) = ( w i ), i p 2 t i w i (a). 1 t 1 w 1 A =, b =. 1 t w (b). 1. Möglichkeit: Aus der Noralengleichung A A ( p 1 p 2 ) = A b folgt die Behauptung. 2. Möglichkeit: Der Ausdruck f (p) = (p 1 + p 2 t i w i ) 2 ist inial, wenn ihre Ableitung nach p 1 und nach p 2 verschwindet. Also Das war zu zeigen. 0! = f p 1 = 0! = f p 2 = 2(p 1 + p 2 t i w i ), 2(p 1 + p 2 t i w i )t i. 4

6 (10 in.) Aufgabe 4 (Iterationsverfahren) Es sei die Funktion f () = log() + 2 gegeben (s. Bild). Sie hat zwei Nullstellen l und r it l < 1 < r. (a) U die Nullstellen von f zu bestien, verwenden wir eine Fipunktiteration it der Funktion φ() = log() + 2; d.h. wir erzeugen die Folge k+1 = φ( k ), k = 0, 1, 2,.... Für 0 = 0.5 konvergiert die Fipunkiteration gegen ein = φ( ). Entscheiden Sie, ob = l oder = r und begründen Sie Ihre Antwort. (b) Schätzen Sie die Konvergenzrate für die Iteration aus (a). Begründen Sie Ihre Schätzung. (c) Wir wissen, dass es ein b > 0 gibt, so dass das Newton-Verfahren für 0 (0, b) gegen l konvergiert. Geben Sie eine geoetrische Bedingung an b an, aus welcher an b ausrechnen könnte. Hinweis: Lassen Sie sich vo Bild inspirieren. (a). Nach Satz 5.6 aus der Vorlesung (lokale Konvergenz) gilt: Die Fipunktiteration konvergiert genau dann gegen, falls φ ( ) < 1 gilt. Da φ () = 1, ist φ( l ) > 1 und 0 < φ ( r ) < 1. Dait gilt = r. (b). Wir lesen ganz grob r 3 ab. Dait ist nach einer Tutoraufgabe die Konvergenzrate gleich der Steigung i Fipunkt, also φ ( r ) Hier ist nicht die Konvergenzordnung p gefragt! Anerkung: Satz 5.5 aus der Vorlesung (Globaler Konvergenzsatz) ist nicht anwendbar, da hier kein eindeutiger Fipunkt eistiert (siehe φ( l ) = l, φ( r ) = r ). (c). Graphisch sieht ein Schritt bei Newton-Verfahren so aus, dass der Punkt k+1 gerade der Schnittpunkt von der -Achse it der Tangente an graph( f ) i Punkt ( k, f ( k )) ist. I Bild sieht an, dass wenn 0 von l startend ier größer wird, 1 ier weiter in Richtung 0 wandert. Wir haben b erreicht, wenn die Tangente an graph( f ) i Punkt (b, f (b)) durch (0, 0) geht. Ein Punkt oberhalb ist nicht öglich, da die Tangente sonst die negative -Achse schneidet, wo f () nicht definiert ist. 5

7 (15 in.) Aufgabe 5 (Interpolation) Wir wollen eine Funktion f C (R) auf [0, 1] interpolieren. Es sei ein Polyno p n P n durch p (k) n (0) = f (k) (0), k = 0,..., n, gegeben, wo f (k) die k-te Ableitung von f bezeichnet. (a) Zeigen Sie, dass p n it de Taylorpolyno n-ten Grades von f it Entwicklungspunkt 0 übereinstit. (b) Bezeichne g = a [0,1] g() die Maiusnor. Zeigen Sie, dass für f () = und alle n 0 gilt f p n 1 2. Hinweis: Reihenentwicklung von f. (a). Sei p n () = n l=0 c l l. Dann gilt p (k) n (0) = k!c k. Daraus folgt c k = f (k) (0) k!, und soit n f p n () = (l) (0) l! l. l=0 (b). Es gilt für < 1. Soit ist f () = p n () = l=0 n/2 l=0 ( 2 ) l ( 2 ) l. Wir haben also p n (1) {0, 1}, während f (1) = 1/2. Daraus folgt die Behauptung. 6

Ähnliche Dokumente

MODULPRÜFUNG MODUL MA 1302 Einführung in die Numerik

MODULPRÜFUNG MODUL MA 1302 Einführung in die Numerik ................ Note Name Vorname 1 I II Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 Obige Angaben sind richtig: Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 3 TECHNISCHE UNIVERSITÄT