Übungen zur Vorlesung. Einführung in Dynamische Systeme. Musterlösungen zu Aufgabenblatt 1

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1 Prof. Roland Gunesch Sommersemester 00 Übungen zur Vorlesung Einführung in Dnamische Ssteme Musterlösungen zu Aufgabenblatt Aufgabe : Sei A 0 4. a Bestimmen Sie für jeden Anfangswert 0 R das Verhalten des Orbits 0, f 0, f 0, f 0,... der Abbildung f : R R, die gegeben ist durch A. b Bestimmen Sie zu jedem Anfangswert 0 R das Verhalten der Lösungen des Anfangswertproblems u A u, u0 0. c Begründen Sie, wieso die Ergebnisse von a und b so verschieden sind, obwohl beide Teilaufgaben ein lineares Sstem auf R, und zwar mit derselben Matri, untersuchen. a Sei z R. Dann gilt: f n z A n z 0 4 n n + n n n Beweis: vollständige Induktion über n Induktionsanfang: Sei n 0. Dann gilt: Induktionsschritt: Die Behauptung gelte für n N. Dann gilt:

2 0 4 n+ n n + 0 n n 4 n n + n + n n 4 n n+ + n + n n n+ n+ + n+ n n+ Weil die drei Folgen n n N, n n N, n n n N gegen Null konvergieren für n, geht das Orbit von f für beliebige Startwerte z R gegen 0. Der Anfangswert z 0 erzeugt ein Orbit, das nur ein Element nämlich die 0 selbst enthält. Man nennt dieses auch Ruhelage. Aussagen über asmptotisches Verhalten erhält man über die Eigenwerte von A. b Für jeden Anfangswert z R ist u : t 4 e 4 t + 4 e t + e t e 4 t eine Lösung des angegebenen Anfangswertproblems. Beweis: Skizze Durch Einsetzen der Abbildungsvorschrift ergibt sich: u u A u u u u 0 + u u 4 4 u u Es müssen also die beiden Anfangswertprobleme u + u ] u und 4 u ] u 0 u 0 gelöst werden. Da das zweite AWP nur von der Funktion u abhängt, wird dieses zunächst mit der Methode der Trennung der Variablen gelöst ausführliche Vorgehensweise siehe Aufgabe : Die Abbildung u : t e 4 t erfüllt beide Bedingungen. Mit dieser Lösung für u kann man das nur noch von u abhängige AWP u u + e ] 4 t durch die Methode der Variation der Konstanten u 0 lösen. Zunächst löst man das homogene Problem v v. Man erhält hierfür die v ce t. Jetzt variiert man die Konstante c zu einer Funktion ct. Durch Ausnutzen der Produktregel beim Differenzieren und der Voraussetzung, dass unsere Lösung

3 u t ctv t ist, erhalten wir: ċt v tu t. Jetzt integrieren wir und berechnen so ct. Dann folgt: Also ist ct 4 e 4 t u t 4 e 4 t + 4 e t + e t. Mit einer Probe stellt man fest, dass die Lösung das oben gestellte AWP löst. Außerdem ist lim u t u t t für, 0, 0, und 0, 0 ist eine Ruhelage. c Im Teil a wird eine Abbildung vom R in den R betrachtet, im Teil b eine Kurve von R in den R. Außerdem wird in Teil a für jeden Startwert das Verhalten der diskreten Folge der Hintereinanderausführungen bestimmt und in Teil b wird eine differenzierbare Abbildung gesucht, die eine Differentialgleichung löst. Da zwei verschiedene Abbildungen untersucht werden, können auch verschiedene Ergebnisse dabei herauskommen. Aufgabe : a Zeigen Sie: Für alle a, a,..., a n R definiert jede der folgenden Abbildungen einen Fluss auf dem Raum X: X R, ϕ t e a t X R n, ϕ t,..., n e a t,..., e an t n. X R, ϕ t,, + at. b Sei ϕ ein Fluss auf X und ψ ein Fluss auf Y. Zeigen Sie: Die Vorschrift definiert einen Fluss auf X Y. ϕ ψ t, ϕ t, ψ t Bemerkung: ϕ ψ heißt der Produktfluss auf X Y. a Es gilt für jeweils alle s, t R,,, R: ϕ 0 e a 0 e 0 und ϕ s+t e a s+t e as+at e as e at e as e at ϕ s ϕ t. Rechnung komponentenweise wie in. ϕ 0,, + a 0, und ϕ s+t,, + a s + t, + as + at ϕ s ϕ t,

4 b Seien X, Y, s, t R. Dann gilt wegen der Flusseigenschaften von ϕ und ψ: ϕ ψ 0, ϕ 0, ψ 0, sowie ϕ ψ s+t, ϕ s+t, ψ s+t ϕ s ϕ t, ψ s ψ t ϕ ψ s ϕ ψ t,. Aufgabe : a Zeigen Sie: Das Anfangswertproblem u 00u / u0 0 hat mehrere verschiedene Lösungen. Bestimmen Sie mindestens zwei verschiedene. b Gibt es mehrere Lösungen u, die die Bedingung u 0, 0 erfüllen? Beweis der Nichteistenz oder Angabe von verschiedenen Lösungen erforderlich. Lösung von a und b u 00u / Das Anfangswertproblem u0 0. u0. u: t { 00t 00t. u: t t 0 0 t > 0 ] besitzt z. B. die folgenden Lösungen: Beweis:. u0 ist trivial für die Anfangswerte t Mit der Methode der Trennung der Variablen berechnet man mit v: ut: dut 00ut / dt dut 00ut / dt ut / dut 00dt v / dv 00dt v / + const 00t + const 00t + c ut für beliebige Konstanten c. Für c 0 erhält man die Lösung. Um Lösung zu beweisen, muss jetzt noch die Differenzierbarkeit im Punkt 0 nachgewiesen werden] Die rechtsseitige Ableitung also die der Nullfunktion ist 0. Die linksseitige Ableitung ist: u 0 d 00 t dt 0 t0 Damit ist auch. eine Lösung, die genau wie bei. auf dem Intervall 0, konstant auf die 0 abbildet. 4

5 Aufgabe 4: a Zeigen Sie: Obwohl die Abbildung u u auf 0, nicht lokal Lipschitz-stetig ist, eistiert für das Anfangswertproblem eine globale Lösung u : R 0,. u u u0 b Ist die Lösung dieses Anfangswertproblems eindeutig? Beweis oder Angabe von verschiedenen Lösungen erforderlich. Die Abbildung f : u u ist Lipschitz-stetig und auf a, für jedes a > 0, z.b. a 0.5. Das Anfangswertproblem hat also lokale Lösungen um u 0, t 0 für alle u 0, t 0 a, R. Die Lösungen eistieren und sind eindeutig mindestens auf einem Intervall der Breite δ δa, die im Bereich u 0, t 0 a, R nicht von u 0 und t 0 abhängt. Außerdem ist f auf a, positiv sogar nach unten beschränkt. Jede lokale Lösung ist also steigend, kann also die Menge a, nicht auf der rechten Seite verlassen. Sie läßt sich also nach rechts wieder um δa eindeutig fortsetzen, und das beliebig oft. Somit läßt sich die Lösung auf t 0 δ, eindeutig fortsetzen. Es gilt also für jede Lösung u: Wenn ut positiv ist für irgendein t R, dann ist die Lösung eindeutig fortsetzbar auf t,. Möglich ist noch, dass u Nullstellen hat das kommt auch vor. Wenn ut 0, dann muss gelten ut 0 für alle t, t ]. Und da u 0 eine Lösung auf jedem Intervall ist, ist damit die Lösung auf, t ] eindeutig. Da f keine Nullstellen außer 0 hat, ist jede Lösung u monoton steigend. Somit gilt lim ut 0. t Wegen der Monotonie gibt es zu jedem ε > 0 ein t so dass u in f t,t nur Werte im Intervall 0, ε annimmt. Jede Lösung des AWP hat die Form ut 0 für t t c mit einem t c R, das von u 0 abhängt und ut bt t c für t t c, wobei b unabhängig vom Anfangswert ist. Deshalb gibt es nur ein t, das die Anfangsbedingung erfüllt. Somit ist u global definiert und global eindeutig. 5