Musterlösungen zu Blatt 15, Analysis I

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1 Musterlösungen zu Blatt 5, Analysis I WS 3/4 Inhaltsverzeichnis Aufgabe 85: Konvergenzradien Aufgabe 86: Approimation von ep() durch Polynome Aufgabe 87: Taylorreihen von cos 3 und sin Aufgabe 88: Differenzenquotienten 4 Aufgabe 89: Uneigentliche Integrale I 5 Aufgabe 9: Uneigentliche Integrale II 6

2 Aufgabe 85: Konvergenzradien Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen j j j und j= j j. j= Lösung Wir benutzen die folgende Formel für den Konvergenzradius der Potenzreihe j= a j j : ρ = j lim sup aj j Erste Potenzreihe: Hier ist a j = j j und somit j a j = j/j für j, denn j /j ist aus der Vorlesung oder früheren Übungen bekannt und j /j = (j /j ) =. Also ist der Konvergenzradius ρ = =. Zweite Potenzreihe: j j = a n n mit a n = j= { n Somit gilt für den gesuchten Limes superior: n lim sup an n n n/n =. ρ = =. falls n Quadratzahl sonst. Bemerkung: Falls j /j nicht bekannt ist, kann man sich das auch wie folgt herleiten: ln j /j = ln j j Zähler und Nenner gehen jeweils gegen, daher gilt mit der Regel von L Hospital: ln j lim j j j j =

3 also: ln j /j Wende auf beiden Seiten ep an (möglich, da ep stetig ist): j /j. Aufgabe 86: Approimation von ep() durch Polynome Bestimmen Sie ein Polynom p() so, dass ep() p() < für alle [, ]. Lösung ep() = n (= Taylorreihe von ep um = ) konvergiert für alle R, also insbesondere gleichmäßig auf abgeschlossenen, beschränkten Teilintervallen von R, beispielsweise [, ]. Folglich sind die Taylorpolynome p k () = k von ep() gute Kandidaten für p(), denn die gleichmäßige Konvergenz besagt ja gerade, dass der maimale Abstand zwischen ep() und p k () in [, ] für k gegen Null geht. n Wie groß muss k gewählt werden? Betrachte dazu die Taylor-Formel mit Lagrange-Restglied: Zu [, ] gibt es ξ zwischen und, so dass ep() = p k () + k+ (k + )!. ep(k+) (ξ) }{{} =e ξ Daraus folgt ep() p k () = k+ (k + )! eξ e (k + )! Wann ist der rechte Ausdruck kleiner als? Umstellen ergibt (k + )! > e 7. Da 5! = und 6! = 7, ist die Ungleichung für k 5 erfüllt. Wähle also p() = p 5 () = Bemerkung: Sorgfältigere Abschätzungen hätten ergeben, dass auch k = 4 schon gereicht hätte. Aber in der Aufgabe war ja nur nach irgendeinem Polynom gefragt, nicht nach einem Polynom kleinsten Grades. Aufgabe 87: Taylorreihen von cos 3 und sin Verwenden Sie das Additionstheorem cos(3) = 4(cos ) 3 3 cos um die Reihenentwicklung von (cos ) 3 zu berechnen. Berechnen Sie dann die Taylorreihe von f() = sin an der Stelle = π/4, einmal nach Definition und einmal unter Benutzung des Additionstheorems und bekannter Reihen.

4 Lösung Herleitung des Additionstheorems cos(3) = cos( + ) = cos() cos sin() sin cos() = cos( + ) = cos sin }{{ } = cos cos sin() = sin( + ) = sin cos cos(3) = ( cos ) cos ( sin cos ) sin = cos 3 cos } sin {{ } cos cos = 4 cos 3 3 cos. Reihenentwicklung von cos 3 4 cos 3 = cos(3) + 3 cos = ( ) n (3)n + 3 (n)! = ( ) n (3 n + 3) n (n)! ( ) n n wobei die termweise Addition der Reihen dadurch gerechtfertigt ist, dass die Reihen absolut konvergieren. Somit folgt cos 3 = 4 ( ) n (3 n + 3) n (n)!. (n)! Reihenentwicklung von sin an der Stelle = π/4 einmal nach Definition: benötigen dazu die n-ten Ableitungen von sin an der Stelle π/4. Wegen sin (4) = sin erhalten wir: sin( π 4 ) = falls n (mod 4) sin (n) cos( π 4 (π/4) = ) = falls n (mod 4) sin( π 4 ) = falls n (mod 4) cos( π 4 ) = falls n 3 (mod 4) = ( ) n/. sin = = sin (n) (π/4) ( π 4 )n ( ) n/ ( π 4 )n. 3

5 einmal mit Additionstheorem: sin = sin( π 4 + π 4 ) = sin( π 4 ) cos( π 4 ) + cos( π 4 ) sin( π 4 ( ) = = ( ) n (n + )! ( π 4 )n+ + ( ) n/ ( π 4 )n. Aufgabe 88: Differenzenquotienten ) ( ) n (n)! ( π 4 )n Seien f C 3 (a, b), (a, b) und der symmetrische Differenzenquotient Diff (h) aus Aufgabe 7 gegeben. Zeigen Sie, daß Diff (h) = f ( ) + O(h ) d.h. es eistieren Konstanten h > und c > mit Diff (h) f ( ) ch für alle h (, h ). Zeigen Sie dann, daß für f C 4 (a, b) Hinweis: Taylor. f( + h) f( ) + f( h) h = f ( ) + O(h ). Auf dem Aufgabenblatt war ein Tippfehler: f() statt f( ) in der letzten Gleichung. Bemerkung zur Landau-Notation Das Symbol O(g(h)) bezeichnet die Menge aller Funktionen f(h), die in einer Umgebung von definiert sind (außer möglicherweise in selbst) und asymptotisch durch die Funktion g(h) beschränkt sind, das bedeutet: f(h) O(g(h)) : h >, c > h, < h < h : f(h) c g(h) (Insbesondere in der Informatik kommt es auch vor, dass die Asymptotik gegen statt gegen betrachtet wird. Die Definition sieht dann etwas anders aus.) Oft schreibt man auch f(h) = O(g(h)) statt f(h) O(g(h)). Wenn O(... ) in einer Formel wie in der Aufgabenstellung auftaucht, ist damit ein Vertreter von O(... ) gemeint. Lösung Aus der Taylorformel mit Lagrange-Restglied folgt sofort folgender allgemeine Satz: Sei f C k+ (a, b), (a, b). Dann gilt: f( + h) = k h n f (n) ( ) + O(h k+ ) 4

6 (a) Im ersten Teil der Aufgabe ist f C 3 (a, b) gegeben, somit gilt: f( + h) = f( ) + hf ( ) + h f ( ) + O(h 3 ) f( h) = f( ) hf ( ) + h f ( ) + O(h 3 ). Subtrahiere die beiden Gleichungen. Achtung: da die Vertreter von O(h 3 ) nicht die gleichen sein müssen, fällt O(h 3 ) bei dieser Operation nicht weg! f( + h) f( h) = hf ( ) + O(h 3 ) f( + h) f( h) h = f ( ) + O(h ). Somit ist die Behauptung bewiesen, da die linke Seite gerade Diff (h) ist. (b) Im zweiten Teil der Aufgabe ist f C 4 (a, b) gegeben, somit gilt: Addiere die beiden Gleichungen: f( + h) = f( ) + hf ( ) + h f ( ) + h3 6 f ( ) + O(h 4 ) f( h) = f( ) hf ( ) + h f ( ) h3 6 f ( ) + O(h 4 ). f( + h) + f( h) = f( ) + h f ( ) + O(h 4 ) f( + h) f( ) + f( h) h = f ( ) + O(h ). Aufgabe 89: Uneigentliche Integrale I Sei f : R R uneigentlich integrierbar auf [, ) und ungerade, d.h. f( ) = f() für alle R. Zeigen Sie, dass f uneigentlich integrierbar auf R ist und f()d =. R Lösung f ist genau dann uneigentlich integrierbar auf R, wenn f uneigentlich integrierbar sowohl auf (, ] als auch auf [, ) ist. Letzteres ist nach Voraussetzung gegeben, d.h. f() d eistiert als reelle Zahl (nicht ± ). 5

7 Es bleibt somit zu zeigen: f() d = f() d. f() d f() d b b b = lim = b b b b b f( ) d f(u) du f(u) du f() d. (da f ungerade) (Substitution u =, du = d) (Vertauschen der Integrationsgrenzen) (u umbenannt) Aufgabe 9: Uneigentliche Integrale II Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz: sin d, sin d, d, d. (a) Verwende Vergleichskriterium: sin d konvergiert, denn der Integrand kann betragsmäßig durch eine Funktion abgeschätzt werden, deren Integral konvergiert: sin b [ d d ] b b b b b =. (b) Ebenfalls mit dem Vergleichskriterium sieht man, dass auch das zweite Integral konvergiert: sin. (c) d ist uneigentlich in beiden Integrationsgrenzen, eistiert also genau dann, wenn eistieren. Aber b d b somit liegt hier keine Konvergenz vor. d b [ ] b b b =, d und d 6

8 (d) d ist uneigentlich in beiden Grenzen und eistiert genau dann, wenn d eistiert. Denn weil der Integrand eine ungerade Funktion ist, folgt daraus analog zu Aufgabe 89, dass auch schon eistiert und dass Und das ist auch tatsächlich so, denn d =. d b d b b d b [ u] b b du u b b =. (Substitution u =, du = d) 7