Aufgabe 1. Version A Multiple Choice (4 Punkte). Kreuzen Sie die richtige(n) Antwort(en) an.
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- Tristan Fuchs
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1 Analysis I, WiSe 013/14, (Ise 1 Aufgabe 1. Version A Multiple Choice (4 Punte. Kreuzen Sie die richtige(n Antwort(en an. a Welche der folgenden Aussagen über Folgen sind sinnvoll und wahr? jede Folge onvergiert; jede Folge mit mindestens einem Häufungspunt onvergiert; jede Cauchy-Folge reeller Zahlen onvergiert; jede onvergente Folge ist beschränt; jede monoton wachsende und beschränte Folge reeller Zahlen onvergiert. b Welche der folgenden Aussagen über Reihen sind sinnvoll und wahr? die harmonische Reihe onvergiert; jede Reihe besitzt einen Grenzwert; jede geometrische Reihe onvergiert; jede onvergente Reihe ist absolut onvergent; die Umordnung einer absolut onvergenten Reihe ist absolut onvergent; der Grenzwert der Reihe ändert sich dabei nach Umordnung nicht. c Welche der folgenden Aussagen über stetige Funtionen sind sinnvoll und wahr? die Komposition stetiger Funtionen ist stetig; jede stetige Funtion besitzt mindestens eine Nullstelle; jede stetige Funtion ist gleichmäßig stetig; jede stetige Funtion ist differenzierbar; jede differenzierbare Funtion ist stetig. d Welche der folgenden Aussagen über Funtionen sind sinnvoll und wahr? der Logarithmus log : (0, R ist eine bijetive Funtion; der Logarithmus log : (0, R ist auf ganz (0, differenzierbar; jedes Polynom p : R R ist auf ganz R beliebig oft differenzierbar; die trigonometrischen Funtionen sin( und cos( sind auf R beschränt; die Eponentialfuntion ep : R R ist streng monoton fallend.
2 Analysis I, WiSe 013/14, (Ise Aufgabe 1. Version B Multiple Choice (4 Punte. Kreuzen Sie die richtige(n Antwort(en an. a Welche der folgenden Aussagen über Reihen sind sinnvoll und wahr? die harmonische Reihe onvergiert; jede Reihe besitzt einen Grenzwert; jede geometrische Reihe onvergiert; jede onvergente Reihe ist absolut onvergent; die Umordnung einer absolut onvergenten Reihe ist absolut onvergent; der Grenzwert der Reihe ändert sich dabei nach Umordnung nicht. b Welche der folgenden Aussagen über Folgen sind sinnvoll und wahr? jede Folge onvergiert; jede Folge mit mindestens einem Häufungspunt onvergiert; jede Cauchy-Folge reeller Zahlen onvergiert; jede onvergente Folge ist beschränt; jede monoton wachsende und beschränte Folge reeller Zahlen onvergiert. c Welche der folgenden Aussagen über Funtionen sind sinnvoll und wahr? der Logarithmus log : (0, R ist eine bijetive Funtion; der Logarithmus log : (0, R ist auf ganz (0, differenzierbar; jedes Polynom p : R R ist auf ganz R beliebig oft differenzierbar; die trigonometrischen Funtionen sin( und cos( sind auf R beschränt; die Eponentialfuntion ep : R R ist streng monoton fallend. d Welche der folgenden Aussagen über stetige Funtionen sind sinnvoll und wahr? die Komposition stetiger Funtionen ist stetig; jede stetige Funtion besitzt mindestens eine Nullstelle; jede stetige Funtion ist gleichmäßig stetig; jede stetige Funtion ist differenzierbar; jede differenzierbare Funtion ist stetig.
3 Analysis I, WiSe 013/14, (Ise 3 Aufgabe 1. Version C Multiple Choice (4 Punte. Kreuzen Sie die richtige(n Antwort(en an. a Welche der folgenden Aussagen über stetige Funtionen sind sinnvoll und wahr? die Komposition stetiger Funtionen ist stetig; jede stetige Funtion besitzt mindestens eine Nullstelle; jede stetige Funtion ist gleichmäßig stetig; jede stetige Funtion ist differenzierbar; jede differenzierbare Funtion ist stetig. b Welche der folgenden Aussagen über Funtionen sind sinnvoll und wahr? der Logarithmus log : (0, R ist eine bijetive Funtion; der Logarithmus log : (0, R ist auf ganz (0, differenzierbar; jedes Polynom p : R R ist auf ganz R beliebig oft differenzierbar; die trigonometrischen Funtionen sin( und cos( sind auf R beschränt; die Eponentialfuntion ep : R R ist streng monoton fallend. c Welche der folgenden Aussagen über Folgen sind sinnvoll und wahr? jede Folge onvergiert; jede Folge mit mindestens einem Häufungspunt onvergiert; jede Cauchy-Folge reeller Zahlen onvergiert; jede onvergente Folge ist beschränt; jede monoton wachsende und beschränte Folge reeller Zahlen onvergiert. d Welche der folgenden Aussagen über Reihen sind sinnvoll und wahr? die harmonische Reihe onvergiert; jede Reihe besitzt einen Grenzwert; jede geometrische Reihe onvergiert; jede onvergente Reihe ist absolut onvergent; die Umordnung einer absolut onvergenten Reihe ist absolut onvergent; der Grenzwert der Reihe ändert sich dabei nach Umordnung nicht.
4 Analysis I, WiSe 013/14, (Ise 4 Aufgabe. (++ Punte. a Berechnen Sie den Grenzwert der Folge ( a n := n8 + 6n 4 5 n 8 + n 3 1, n N. b Untersuchen Sie die Reihe c Untersuchen Sie die Reihe =1 =1 ( auf Konvergenz. ( auf Konvergenz. + 3 Lösung: a a n = n 8 + 6n 4 5 n 8 + n 3 1 = n8 + 6n 4 5 (n 8 + n 3 1 n8 + 6n n 8 + n 3 1 = 6n 4 n 3 4 n8 + 6n n 8 + n 3 1 = Damit erhalten wir 6 1 n 4 n n 4 5 n n 5 1 n 8 lim a n = n = 3. b Es gilt a +1 a = a +1 = +1 ( a ( + und damit lim a +1 a = 7 lim n 1 + = 7 < 1. Die Reihe onvergiert nach dem Quotientenriterium. = ( + 3 7( + c Es gilt ( +3 >. Das notwendige Kriterium für Konvergenz ( lim a = 0 ist verletzt. Alternativ: a = ( = und damit a > > 1 N. Die Reihe divergiert nach dem Wurzelriterium. = +3
5 Analysis I, WiSe 013/14, (Ise 5 Aufgabe 3. (+8 Punte. a Berechnen Sie für die Funtion g : R R, gegeben durch g( = + cos(, ep( die erste Ableitung g ( sowie den Wert von g an der Stelle = 0. b Betrachten Sie die Funtion ( f( = ep( + + cos. (i Berechnen Sie die ersten drei Ableitungen f, f und f von f. (ii (iii Berechnen Sie das Taylor-Polynom zweiten Grades T ( von f( mit dem Entwiclungspunt 0 = 0. Zeigen Sie, dass für das Taylor-Restglied R ( = f( T ( im Intervall I = { R : 0.1} die Abschätzung gilt. R ( Lösung: a ( Punte g( = + cos( e, g ( = ( sin(e e ( + cos( e, g (0 = (0 sin(0e0 e 0 (0 + cos(0 e 0 = (0 1 ( = 1. b (i (3 Punte f ( = ep( + ep( 1 ( sin = ( + 1 ep( 1 ( sin f ( = ep( + ( + 1 ep( 1 ( 4 cos = ( + ep( 1 ( 4 cos f ( = ep( + ( + ep( + 1 ( 8 sin = ( + 3 ep( + 1 ( 8 sin (ii ( Punte f(0 = 3, f (0 = 1, f (0 = 1 = T ( =
6 Analysis I, WiSe 013/14, (Ise 6 (iii (3 Punte Mit einem ξ [ 0.1, 0.1] gilt: R ( = 1 3! f (ξ ( 6000 ( e ( sin < 1 ( 6000 (3.1e < 1 ( ( < 1 10 ( < = 1 600
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