Über Potenzsummenpolynome

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1 Über Potenzsuenpolynoe Jörg Feldvoss I Sande 4b, D Nahrendorf Gerany Einleitung Für jede natürliche Zahl n bezeichnen wir it P n das n-te Potenzsuenpolyno, welches dadurch gegeben ist, dass es für alle ganzen Zahlen x 2 die Gleichung P n (x) = (x 1) erfüllt. In [3] wird durch Differentiation einer wohlbekannten expliziten Forel eine Beziehung zwischen den Potenzsuenpolynoen und ihren ersten Ableitungen hergeleitet. Durch Integration ergibt sich dann eine Rekursionsforel für die Potenzsuenpolynoe. In der vorliegenden Arbeit soll gezeigt werden, wie an ausgehend von einer sich ganz natürlich aus der Definition der Potenzsuenpolynoe ergebenden Funktionalgleichung nur it Hilfe eleentarer Differentialrechnung die oben erwähnte Beziehung und das auch in [3, Satz 2] behandelte Syetrieverhalten einsehen kann. Hierbei zeigt sich, dass an ohne Mehraufwand auch gleich parallel viele Eigenschaften der Bernoulli-Polynoe it beweisen kann (und sollte), wenn die letzteren als Ableitungen der Potenzsuenpolynoe eingeführt werden. Nebenbei korrigieren wir die Ungenauigkeit in [3, Satz 1] für den Fall n = 1, welche daher kot, dass i dortigen Beweis fälschlicherweise P 1 (x) =x anstatt P 1 (x) =x 1 benutzt wird (siehe [3, S. 119]). In der vorliegenden Arbeit werden neben eleentarer Differentialrechnung nur der schon bei der obigen Definition angewendete Identitätssatz für Polynoe und der binoische Lehrsatz verwendet. Eine Ausnahe bilden (2), Korollar 3, die Rekursionsforel aus [3] und (B2) in Satz 5, welche aber schon in ihrer Forulierung Integrale enthalten und nur aufgrund der in [3, Satz 1] enthaltenen Ungenauigkeit bzw. i letzten Fall zu Vergleich der hier benutzten Definition der Bernoulli- Poynoe it den in der Literatur vorhandenen behandelt werden. Da die Differentiation von Polynoen (it rationalen Koeffizienten) algebraisch definiert ist und die benötigten Spezialfälle der Kettenregel direkt aus de binoischen Lehrsatz gewonnen werden können, lassen sich die hier vorgestellten Eigenschaften der Potenzsuenpolynoe (it Ausnahe der eben erwähnten) auf rein algebraische Wege aus ihrer Funktionalgleichung und der Tatsache, dass 1 eine allen geeinsae Nullstelle ist, herleiten. 1 Eine Rekursionsforel für die Potenzsuenpolynoe Wir beginnen it einer Rekursionsforel für die Potenzsuenpolynoe, aus der sich dann sofort einige ihrer auch für den Fortgang der vorliegenden Arbeit grundlegenden Eigenschaften ergeben. 1

2 Satz 1 Für jede natürliche Zahl n und jede reelle Zahl x gilt: n x n 1= P (x). 1 Beweis. Aufgrund des Identitätssatzes für Polynoe genügt es, die obige Beziehung für ganzzahliges x = N 2 zu zeigen. Man schreibe die linke Seite als Teleskopsue, d.h. N 1 N n 1= [(k +1) n k n ], benutze den binoischen Lehrsatz und erhält die folgende Doppelsue: k=1 (k +1) n = k n + k j j N n 1= N 1 k=1 j= j= j Durch Vertauschen der beiden Suen und Verschieben des Suationsindexes bekot an schließlich: n N n 1= P j+1 (N) = P (N). j 1 j= k j. Als unittelbare Folgerung aus Satz 1 erhalten wir eine entsprechende Rekursionsforel für die Ableitungen der Potenzsuenpolynoe, die sich später noch als nützlich erweisen wird. Korollar 1 Für jede natürliche Zahl n und jede reelle Zahl x gilt: n nx = P 1 (x). Außerde lassen sich aus Satz 1 die folgenden bekannten Eigenschaften der Potenzsuenpolynoe herleiten: Korollar 2 Das n-te Potenzsuenpolyno P n ist ein Polyno n-ten Grades it rationalen Koeffizienten. Überdies gilt: (a) P n () = für jede natürliche Zahl n 2. (b) P n (1) = für jede natürliche Zahl n. Beweis. Durch Ustellen bekot an aus Satz 1 die folgende Rekursionsforel für das n-te Potenzsuenpolyno: [ (1) P n (x) = 1 n ( ) ] n (x n 1) P (x) n N,x R. 1 2

3 Hieraus ergeben sich durch vollständige Induktion nach n sofort der Grad von P n, die Natur seiner Koeffizienten und (b). Wegen P 1 (x) =x 1 erhält an aus (1) eine weitere Rekursionsforel für das n-te Potenzsuenpolyno: [ P n (x) = 1 n (x n x) =2 ( ) ] n P (x) 1 n 2,x R, woraus sich (a) wiederu durch vollständige Induktion nach n ablesen lässt. 2 Charakterisierung der Potenzsuenpolynoe durch eine Funktionalgleichung Es soll nun zunächst gezeigt werden, wie an jedes Potenzsuenpolyno durch eine sich sofort aus ihrer Definition ergebende Funktionalgleichung bis auf die Wahl einer Konstanten kennzeichnen kann. Satz 2 Für jede natürliche Zahl n ist das n-te Potenzsuenpolyno das eindeutig bestite Polyno P n it (P1) P n (x +1) P n (x) =x x R. (P2) P n (1) =. Beweis. Dass das n-te Potenzsuenpolyno (P1) erfüllt, ist eine unittelbare Folge seiner Definition und de Identitätssatz für Polynoe, wogegen die ebenfalls wohlbekannte Eigenschaft (P2) schon in Korollar 2(b) bewiesen wurde. Sei nun P ein Polyno, welches (P1) und (P2) erfüllt. Betrachte das Polyno D := P P n.da P und P n die Eigenschaft (P1) besitzen, ist D(x +1)=D(x) für jede reelle Zahl x. Angenoen, D wäre nicht konstant. Dann könnte an durch Differenzieren ein lineares Polyno bekoen, welches auch (x + 1) = (x) für jede reelle Zahl x erfüllte, was aber offenbar nicht richtig sein kann. Also ist D eine Konstante, die aber verschwinden uss, da P und P n auch die Eigenschaft (P2) besitzen. Anerkung. Aus (P1) folgt natürlich sofort, dass P n () = P n (1) für jede natürliche Zahl n 2 (vgl. Korollar 2), wogegen P n () = 1 =P n (1) für n =1. 3 Das Syetrieverhalten der Potenzsuenpolynoe In diese kurzen Abschnitt zeigen wir, wie an die Charakterisierung der Potenzsuenpolynoe aus de vorigen Abschnitt verwenden kann, u ohne Benutzung von Integralrechnung (vgl. [3, 4]) ihr Syetrieverhalten einzusehen. Satz 3 Für jede natürliche Zahl n 2 gilt: P n (1 x) =( 1) n P n (x) x R. 3

4 Beweis. Betrachte das durch Q(x) :=( 1) n P n (1 x) definierte Polyno Q. Mit Blick auf Satz 2 ist nur nachzuweisen, dass Q die Eigenschaften (P1) und (P2) erfüllt. Da wir n 2 vorausgesetzt haben, ergibt sich aus Korollar 2(a), dass Q(1) = ( 1) n P n () =. Überdies erhält an durch Anwenden von (P1) auf P n für jede reelle Zahl x: Q(x +1) Q(x) = ( 1) n P n ( x) ( 1) n P n (1 x) = ( 1) [P n ( x +1) P n ( x)] = ( 1) ( x) = x. Satz 3 bedeutet, dass die Potenzsuenpolynoe geraden Grades achsensyetrisch zu x = 1 2 sind; wogegen die Potenzsuenpolynoe ungeraden Grades 3 punktsyetrisch zu ( 1 2, ) sind (siehe [3, Satz 2]). Insbesondere ist (2) 1 P 2+1 (t)dt = N. 4 Die Ableitungen der Potenzsuenpolynoe Durch Differenzieren von (P1) für P n+1 bekot an für jede reelle Zahl x: P n+1(x +1) P n+1(x) =n x. Daher erfüllt das Polyno A n := 1 n [P n+1 P n+1 (1)] die beiden Eigenschaften aus Satz 2 und stit folglich it de n-ten Potenzsuenpolyno P n überein, d.h. P n+1 (x) =n P n(x)+p n+1 (1) für jede reelle Zahl x. Wenn an nun B n := P n+1(1) für jede natürliche Zahl n setzt, so ergibt sich aus Korollar 2, dass B n Q, woit das nächste Resultat vollständig bewiesen ist. Satz 4 Für jede natürliche Zahl n gibt es eine eindeutig bestite rationale Zahl B n it P n+1(x) =n P n (x)+b n x R. In Satz 4 traten die,,potenzsuenzahlen B n als Tangentensteigungen der Graphen der Potenzsuenpolynoe i Punkt (1, ) auf. I folgenden geben wir noch eine weitere geoetrische Deutung der,,potenzsuenzahlen als Fläche zwischen de Graphen der Potenzsuenpolynoe und den Geraden x = und x =1(für n>1 siehe auch [3, Satz 1]): Korollar 3 Für jede natürliche Zahl n gilt: 1 P n (t)dt = B n n. 4

5 Beweis. Aus de Fundaentalsatz der Infinitesialrechnung folgt unter Verwendung von Satz 4 und Korollar 2(a) für jede reelle Zahl x: (3) P n+1 (x) =n x P n (t)dt + B n x. Setzt an in (3) insbesondere x := 1, so erhält an aus Korollar 2(b) =n 1 P n (t)dt + B n, d.h. nach Ustellen ergibt sich die Behauptung. Aus Korollar 3 und (2) bekot an sofort: Korollar 4 B 2+1 =für jede natürliche Zahl. Man beachte aber, dass aus P 1 (x) =x 1 und Korollar 3 folgt: B 1 = 1 2. Natürlich lässt sich der Wert von B 1 durch Differentiation von P 2 (x) = 1 x(x 1) auf direkte 2 Wege erhalten. Es sei außerde angeerkt, dass an Korollar 4 auch ohne Integralrechnung durch Differenzieren der Syetriebeziehung für n+1 in Satz 3 und Anwendung von Satz 4 sowie Korollar 2 herleiten kann. Dies ist eine der wenigen Stellen, wo an einen Spezialfall der Kettenregel benötigt, u den Vorzeichenwechsel berücksichtigen zu können. Allerdings lässt sich der hier zur Anwendung koende Spezialfall der Kettenregel auch direkt aus de binoischen Lehrsatz gewinnen. Aus (3) und Korollar 3 folgt nun auch die folgende Rekursionsforel (D. Treiber [3]) Für jede natürliche Zahl n und jede reelle Zahl x gilt: x 1 P n+1 (x) =n P n (t)dt x P n (t)dt. Anerkung. Eine analoge Rekursionsforel lässt sich auch für die i nächsten Abschnitt einzuführenden Bernoulli-Polynoe herleiten (vgl. [2, (2), S. 164]). I Gegensatz zur Rekursionsforel in Satz 1 benötigt an hier nur P n,up n+1 zu bestien. Man beachte, dass wegen (2) für jede ungerade natürliche Zahl n 3 sogar gilt: P n+1 (x) =n x P n (t)dt x R. 5

6 5 Potenzsuen- und Bernoulli-Polynoe Durch endliche Induktion nach ergibt sich aus Satz 4 für die höheren Ableitungen der Potenzsuenpolynoe: Korollar 5 Für alle natürlichen Zahlen 1 n und jede reelle Zahl x gilt: P () n (x) = (n 1)! (n )! P n +1(x). Mit Blick auf Korollar 5 erscheint es sinnvoll, für die erste Ableitung des (n + 1)-ten Potenzsuenpolynos eine eigene Bezeichnung einzuführen. Wir definieren das n-te Bernoulli-Polyno B n für jede nicht-negative ganze Zahl n durch B n (x) :=P n+1(x) x R. Dann folgt aus Korollar 2 und (1), dass das n-te Bernoulli-Polyno B n ein noriertes Polyno n-ten Grades it rationalen Koeffizienten ist. Überdies lässt sich nun Satz 4 folgenderaßen forulieren: (4) B n (x) =n P n (x)+b n n N,x R. Diese Beziehung eröglicht es, (ohne explizite Integration) Ergebnisse für Bernoulli-Polynoe auf analoge Ergebnisse für Potenzsuenploynoe zu übertragen (und ugekehrt). Insbesondere ergibt sich aus (4) und Korollar 4, dass das n-te Bernoulli-Polyno it de n-ten Potenzsuenpolyno für ungerades n 3 bis auf einen Faktor n übereinstit. Aus unserer Definition der Bernoulli-Polynoe bekot an it Satz 2 sofort die Funktionalgleichung der Bernoulli-Polynoe (vgl. [2, Satz VI.1.2, a), S. 166]). Außerde folgt aus Satz 3 die Syetriebeziehung der Bernoulli-Polynoe (vgl. [2, Korollar VI.1.2.1, S. 166]). Es sei angeerkt, dass die Beweise dieser beiden Resultate für die Bernoulli-Polynoe erst unseren Zugang zu den Potenzsuenpolynoen otiviert haben. Überdies erhält an für die Bernoulli-Polynoe aus den bisher hergeleiteten Resultaten: Satz 5 Die Bernoulli-Polynoe B n besitzen die folgenden Eigenschaften: (B) B (x) =1für jede reelle Zahl x. (B1) B n (x) =n B (x) für jede natürliche Zahl n und jede reelle Zahl x. (B2) 1 B n (t)dt =für jede natürliche Zahl n. Beweis. (B) folgt sofort aus P 1 (x) =x 1für alle reellen x; (B1) ist eine unittelbare Konsequenz aus (4) und der Definition der Bernoulli-Polynoe; (B2) ergibt sich schließlich aus de Zusaenspiel von (4) und Korollar 3 (oder direkt aus einer Anwendung des Fundaentalsatzes der Infinitesialrechnung auf die Definition von B n und Korollar 2). Anerkung. Durch die drei Eigenschaften in Satz 5 sind die B n eindeutig bestit und es folgt, dass sie it den üblicherweise als Bernoulli-Polynoe bezeichneten Polynoen übereinstien (siehe z. B. [2, S. 163/164 und S. 175/176]). Nun können wir auch Korollar 5 folgenderaßen uforulieren: 6

7 Satz 6 Für alle natürlichen Zahlen 1 n und jede reelle Zahl x gilt: P n () (n 1)! (x) = (n )! B n (x). Hieraus erhält an sofort für die höheren Ableitungen der Bernoulli-Polynoe: Satz 7 Für alle natürlichen Zahlen n und jede reelle Zahl x gilt: B () n (x) = n! (n )! B n (x). Setze B n := B n () = P n+1() für jede nicht-negative ganze Zahl n. Wegen B n := B n (1) = P n+1(1) bekot an durch Differenzieren der Syetriebeziehung für n + 1 in Satz 3 für jede natürliche Zahl n: (5) B n =( 1) n B n. Da außerde B = P 1() = 1 = P 1(1) = B gilt, ergibt sich aus (5) it Korollar 4 bzw. der nachfolgenden Beerkung: Satz 8 Für jede nicht-negative ganze Zahl n 1gilt: Überdies ist B 1 = 1 2 und B 1 = 1 2. B n = B n. Es ist üblich, B n als n-te Bernoulli-Zahl zu bezeichnen und sie durch B n abzukürzen. (Man beachte, dass an bei dieser Schreibweise genau zwischen den Zahlen B n und den Polynoen B n = B n (x) unterscheiden uss!) Durch,,Taylor-Entwicklung u erhält an dann die folgende explizite Forel für die Potenzsuenpolynoe (siehe z. B. [1, (71.8), S. 412]): Satz 9 Für jede natürliche Zahl n 2 und jede reelle Zahl x gilt: P n (x) = 1 n n B n x. Beweis. Da P n vo Grad n ist, ergibt sich durch Koeffizientenvergleich für jedes x R: n P n () () P n (x) = x.! Da wir n 2 vorausgesetzt haben, folgt aus Satz 6 zusaen it Korollar 2(a), dass n P n () () P n (x) = P n () + x! = 1 n n B n x. = Als unittelbare Konsequenz ergibt sich aus Satz 9 die folgende explizite Forel für die Bernoulli- Polynoe (siehe [1, Aufgabe 71.1, S. 413] oder [2, (3), S. 164]): 7

8 Satz 1 Für jede nicht-negative Zahl n und jede reelle Zahl x gilt: n B n (x) = B n x. = Anerkung. Natürlich lässt sich Satz 1 auch ganz analog zu Beweis von Satz 9 aus Satz 7 auf direkte Wege herleiten. Insbesondere liefert Satz 1 auch eine Rekursionsforel für die Bernoulli-Zahlen (siehe [1, (71.2), S. 41] oder [2, (7), S. 165]): Korollar 6 Für jede nicht-negative ganze Zahl n 1gilt: = B =. Beweis. Für n = ist die zu beweisende Forel trivial. I Fall n>1 setze an x := 1 in der Forel aus Satz 1 und wende Satz 8 an. Neben der expliziten Forel aus Satz 1 erhält an aus Korollar 1 die folgende Rekursionsforel für die Bernoulli-Polynoe: Satz 11 Für jede natürliche Zahl n und jede reelle Zahl x gilt: nx = = B (x). Hieraus ergibt sich dann schließlich noch eine Rekursionsforel für die,,potenzsuenzahlen B n : Korollar 7 Für jede nicht-negative ganze Zahl n gilt: = B = n. Anerkung. Anwenden der Rekursionsforel in Satz 11 für x := anstatt für x := 1 liefert einen weiteren Beweis von Korollar 6. Literatur [1] H. Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, B. G. Teubner, Stuttgart, 198. [2] M. Koecher: Klassische eleentare Analysis, Birkhäuser Verlag, Basel/Boston, [3] D. Treiber: Zur Kurvendiskussion der Potenzsuenpolynoe, Ele. Math. 53 (1998),