Original - d.h. unvertauschte Reihenfolge

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1 NumaMB F6 Verständnisfragen-Teil (3 Punkte) Jeder der 6 Verständnisfragenblöcke besteht aus Verständnisfragen. Werden alle Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es dafür 5 Punkte. Für 9 richtige Antworten gibt es 4 Punkte; für 8 richtige 3, für 7 richtige und für 6 richtige Antworten gibt es einen Punkt. Werden weniger als 6 Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block Punkte. Beantworten Sie alle Fragen mit oder falsch bzw. geben Sie das Ergebnis numerisch als Dezimalzahl mit mindestens 5 signikanten Ziern an. Original - d.h. unvertauschte Reihenfolge VF-: Es seien x MIN bzw. x MAX die kleinste bzw. gröÿte (strikt) positive Zahl sowie eps die relative Maschinengenauigkeit in der Menge M(b, m, r, R) der Maschinenzahlen gemäÿ Vorlesung/Buch und D := [ x MAX, x MIN ] [x MIN, x MAX ]. Ferner beschreibe fl : D M(b, m, r, R) die Standardrundung. Alle Zahlen sind im Dezimalsystem angegeben.. Für jedes x D existiert eine Zahl ɛ mit ɛ = eps und fl(x) = x( + ɛ). falsch. Für jedes x D existiert eine Zahl ɛ mit ɛ eps, so dass gilt: fl(x) x ɛ x. 3. Die Anzahl der Elemente in der Menge M(b, m, r, R) hängt nicht von b ab. falsch 4. Die Zahl ist in M(4,, 8, 8) exakt darstellbar. falsch 5. Geben Sie die nicht-normalisierte Darstellung der Zahl 6 in M(3, 8, 8, 8) an. 6. Die Funktion f(x, y) = ye x is für alle (x, y) mit x gut konditioniert. 7. Je besser die Kondition eines Problems, desto stabiler sind Algorithmen zur Lösung dieses Problems. falsch 8. Die Addition zweier Zahlen mit demselben Vorzeichen ist immer gut konditioniert. 9. Es seien x = und y = +. Bei der Berechnung von e x e y tritt Auslöschung auf.. Berechnen Sie die Kondition κ rel (x) der Funktion f(x) = e x3 an der Stelle x =. 4 VF-: Es seien A R n n beliebig aber regulär, b R n und gesucht sei die Lösung x R n von A x = b.. Es sei B := D A die zeilenäquilibrierte Matrix zu A. Dann gilt B =.. Es sei A = L R eine L R-Zerlegung von A. Dann gilt: det(a) = det(r). 3. Es sei κ(a) die Konditionszahl bzgl.. Bei Störung der Eingabedaten b ist der relative Fehler in falsch der Lösung x x x immer um einen Faktor κ(a) gröÿer als der relative Eingabefehler b b b. 4. Für die Konditionszahl der Matrix A gilt κ(a ) = κ(a). falsch 5. Es sei A R 4 4 symmetrisch, mit Eigenwerten, 3, 5, 8. Berechnen Sie κ (A) Pivotisierung verbessert die Kondition des Gleichungssytems A x = b. falsch 7. Es sei x eine Annäherung der Lösung x und r := b A x das zugehörige Residuum. Es gilt: x x A r. 8. Es existiert stets eine Permutationsmatrix P, eine normierte untere Dreiecksmatrix L und eine obere Dreiecksmatrix R, so dass P A = L R gilt. 9. Es sei A eine untere Dreiecksmatrix. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Lösung des Gleichungsssytems A x = b über Vorwärtseinsetzen beträgt etwa n Operationen. 4. Berechnen Sie A für A =

2 Numerik MB F6 IGPM RWTH Aachen VF-3: Cholesky- und Q R-Zerlegung. Es sei A = L D L T die Cholesky-Zerlegung einer symmetrisch positiv deniten Matrix A. Dann ist det(a) >.. Es sei A eine symmetrisch positiv denite n n-matrix. Dann existieren stets eine normierte untere Dreiecksmatrix L und eine Diagonalmatrix D, so dass A = L D L T gilt. 3. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Cholesky-Zerlegung einer symmetrisch positiv deniten n n-matrix über das Cholesky-Verfahren beträgt etwa 6 n3 Operationen (gem. Vorlesung). 4. Das Cholesky-Verfahren zur Bestimmung der Cholesky-Zerlegung einer symmetrisch positiv deniten Matrix ist nur dann stabil, wenn man Pivotisierung benutzt. 5. Es seien v R m mit v und Q v = I vvt v T v eine Householder-Transformation. Geben Sie det(q v) - an. falsch 6. Es sei A = QR eine Q R-Zerlegung einer Matrix A R n n. Dann gilt: det(a) = det(r). falsch 7. Für jede Matrix A R m n existiert eine orthogonale Matrix Q R m m und eine obere Dreiecksmatrix R R m n so dass A = QR gilt. 8. Für jede orthogonale Matrix Q gilt Q = Q. falsch 9. Für jede orthogonale Matrix Q gilt κ (Q) =, wobei κ (Q) die Konditionszahl der Matrix Q bezüglich der -Norm ist.. Es seien ( v ) R m mit v und Q v = I vvt v T v y = Q v. Geben Sie y an. 5 eine Householder-Transformation. Weiter sei 6 VF-4: Es seien A R m n, mit Rang(A) = n < m, und b R( m. ) Weiter seien Q R m m eine orthogonale Matrix und R R n n R eine obere Dreiecksmatrix so, dass Q A = gilt. Weiter seien x R n die eindeutige Minimalstelle des Minimierungsproblems min x R n A x b und Θ [, π ) der Winkel zwischen A x und b.. Es gilt det(r).. Je kleiner der Winkel Θ, desto besser ist die Stabiliät der Householder Methode zur Bestimmung von x. falsch 3. Es gilt A x b = R x Q b für beliebiges x R n. falsch 4. Die Matrix R kann man über Householder Transformationen angewandt auf A bestimmen. 5. Bestimmen Sie A T (Ax b). 6. Es sei Q = H k... H H ein Produkt von k Householder Transformationen. Es gilt Q = Q T. falsch 7. Die Gauÿ-Newton Methode zur Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems ist lokal quadratisch konvergent. 8. Bei der Gauÿ-Newton Methode zur Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems muss in jeder Iteration dieser Methode ein lineares Ausgleichsproblem gelöst werden. falsch 9. Beim Levenberg-Marquardt-Verfahren zur Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems ist die Systemmatrix des linearisierten Ausgleichsproblems in jedem Schritt stets symmetrisch positiv denit. falsch. Es seien m = 3, n =, A =, b = 3. Bestimmen Sie x. 4

3 Numerik MB F6 IGPM RWTH Aachen VF-5: Es seien Φ : R n R n stetig dierenzierbar und x so, dass Φ(x ) = x gilt. Für x R n wird die Fixpunktiteration x k+ = Φ(x k ), k =,,,... deniert.. Das Newton-Verfahren ist eine Fixpunktiteration.. Falls Φ (x ) = gilt, so konvergiert die Fixpunktiteration für alle Startwerte mit x x hinreichend klein und die Konvergenzordnung ist mindestens zwei. 3. Es seien n = und Φ(x) = + cos(x). Alle Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes sind falsch für Φ auf dem Intervall [, ] erfüllt. 4. Es seien n = und Φ(x) =. + sin(x). Die Fixpunktiteration konvergiert für beliebiges x R. 5. Es sei < Φ (x ) <. Geben Sie die Konvergenzordnung an, mit der die Fixpunktiteration lokal konvergiert. 6. Es sei f : R R zweimal stetig dierenzierbar mit f(x ) = und f (x ). Weiter sei x so falsch gewählt, dass die Newton Methode x k+ = x k f(x k) f (x k ) mit Startwert x gegen x konvergiert. Dann gilt für hinreichend groÿe k: x x k (x k x k+ ). 7. Für f : R n R n sei x k+ = x k (f (x k )) f(x k ), mit det(f (x k )), eine Iteration des Newton- Verfahrens. Es gilt: x k+ ist die Nullstelle der linearen Taylor-Annäherung von f an der Stelle x k. 8. Das vereinfachte Newton-Verfahren ist lokal quadratisch konvergent. falsch 9. Eine Dämpfungsstrategie beim Newton-Verfahren dient dazu, den Einzugsbereich der Methode zu erweitern.. Es sei f(x) = x 3. Wir betrachten die Bisektionsmethode zur Annährung der Nullstelle dieser Funktion, mit Startwerten x =, x =. Berechnen Sie x VF-6: Es sei P (f x,..., x n ) das LagrangeInterpolationspolynom zu den Daten (x, f(x )),..., (x n, f(x n )) mit a = x <... < x n = b. Es sei [x,..., x n ] f die dividierte Dierenz der Ordnung n von f. Weiterhin soll zu f C[a, b] das Integral I(f) = b a f(x) dx durch eine Quadraturformel I m(f) = (b a) m j= w jf(ˆx j ) mit a ˆx <... < ˆx m b numerisch approximiert werden. Ferner sei Im(f) n die aus I m (f) konstruierte summierte Quadraturformel auf den Teilintervallen [t j, t j ], j =,..., n, mit t j = a + jh, j =,,..., n, h = b a n.. Es gilt P (f x,..., x n )(x) = (x x n )[x,..., x n ] f + P (f x,..., x n )(x) für alle x. falsch. Der Fehler max x [a,b] P (f x,..., x n )(x) f(x) hängt von der Wahl der Stützstellen ab. 3. Für alle x R gilt P (f x, x,..., x n )(x) = P (f x n, x n,..., x )(x). 4. Bei der Gauss-Quadratur gilt I m (f) = I(f), falls f ein Polynom vom Grad m + ist. 5. Es sei f(x) = 5x 3 + x +. Bestimmen Sie [x, x, x, x 3 ]f Bei den Newton-Cotes-Formeln gilt ˆx j = a + j b a m. 7. Es sei I (f) die Trapezregel. Dann gilt I n (f) I(f) für n. 8. Bei der Gauss-Quadratur hängen die Stützstellen ˆx j von der Funktion f ab. falsch 9. Bei der Gauss-Quadratur gilt w j für alle j.. Berechnen Sie 3 sin(π x) dx approximativ mit der Simpsonregel für die Schrittweite h =. 3

4 Aufgabe Es sei α R eine Konstante, sowie A = 4, b =. 3 α 3α 4 5α Numerik MB F6 (6 Punkte) Ziel dieser Aufgabe ist die Lösung des Gleichungssystems Ax = b. a) Bestimmen Sie die L R-Zerlegung von A in Abhängigkeit von α (ohne Pivotisierung). Geben Sie L und R explizit an. b) Berechnen Sie die Determinante von A mit Hilfe der L R-Zerlegung. Ist das Gleichungssystem A x = b für alle α R eindeutig lösbar? Geben Sie jene α an, für welche dies der Fall ist. c) Lösen Sie das Gleichungssystem mittels Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen, wobei angenommen wird, dass A nicht singulär sei. a) L R-Zerlegung: α 3α Gauss α 3α Gauss α α also L =, R = α α (3) b) Es ist det(a) = det(lr) = det(l) det(r) = 4 ( ) (α ) = 8 ( α). Nur für α = ergibt sich det(a) =, und damit hat das Gleichungssystem für α eine eindeutige Lösung. () c) Es gilt: A x = b L R x = b Substituiere R x = y und löse L y = b (Vorwärtseinsetzen): y = 5, also y = α 4 5α α Mache im Anschluss die Substitution rückgängig (Rückwärtseinsetzen R x = y): x = 6, also x = 4. α α () 4

5 Aufgabe Numerik MB F6 (7 Punkte) y i.5 z i.5 Die Werte in der oben gegebenen Tabelle gehorchen näherungsweise dem Gesetz y a + z b =. Ziel dieser Aufgabe ist die Bestimmung optimaler Parameter (im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate) a und b. a) Formulieren Sie dazu das entsprechende nichtlineare Ausgleichsproblem F (x) min. Geben Sie F und x explizit an. b) Für das Gauÿ-Newton-Verfahren ist der Startwert (a, b ) = (, ) gegeben. Stellen Sie das zugehörige linearisierte Ausgleichsproblem für den ersten Schritt auf und bestimmen Sie (a, b ). c) Ein optimaler Wert für a und b ist a = b =.9. Geben Sie das Residuum für diesen Wert an. Teil a) Die i-te Zeile der zu minimierenden Funktion F (x) = F (a, b) lautet: F i (x) := y i a + z i b. Gesucht ist somit x mit F (x ) = min x R F (x) mit x = (a, b) und b F (x) = F (a, b) = a. () 4a + 4b Teil b) Aufgestellt werden soll F (x ) + F (x ) x min x =( a, b ) T R Hier ist Damit ergibt sich: Die Normalengleichungen sind ( 7 mit Lösung F i (x) = ( ) y i a, z i b. ( ) + a 4 b min. ( a, b ) T R ) ( a ) b = ( ) a b = ( ) 9. 9 Damit ist (a, b ) = ( 8 9, 8 9) = (.88889,.88889). (4) Teil c) Für a = b =.9, d.h. x = (.9,.9) ist F (x) zu berechnen:.9.9 =.9 ( 8 8 ) 9 = 3 =.474. () 5

6 Aufgabe 3 Die Lösungen des Gleichungssystems x + x + y = 4 Numerik MB F6 (9 Punkte) y x 4 + x = 33 4 sollen iterativ mit dem Newton- und dem vereinfachten Newton-Verfahren für Systeme bestimmt werden. a) Fertigen Sie zunächst eine Skizze an, aus der die Lage aller Nullstellen hervorgeht, und geben Sie geeignete Startwerte an (Genauigkeit ±.5). b) Benutzen Sie dann als Startwert für die Nullstelle im 4. Quadranten für beide Verfahren ( ) ( x x = =, y ) und führen Sie je zwei Iterationen durch. Bem.: Die übrigen Nullstellen müssen nicht berechnet werden. Teil a) Skizze: Parabel y = 5 (x + ) und Hyperbel y 8 (x ) skizzieren ist der gesamte Bereich mit Schnittstellen: 3 = oder Wertetabelle zu y = ± 33+x x 4. Zu 4 y 4 Startwerte: ( ) 4, 4 ( 3), ( ).5 3 und ( ) 3 x () 4 Teil b) Newton-Verfahren: ( ) y + x f(x, y) = + x 4 y /4 x f (x, y) = + / x 33/4 Newton-Verfahren: ( x = ) ( x + ) / x + / y ( ) ( ( 4 3 x 4 4 = x ) = 3) ( ( ) 6 x = 3) ( ).94 x.4845 = ( ) 6 x = ( ) Vereinfachtes Newton-Verfahren (erster Schritt und f(x ) vom Newton-Verfahren): ( ( ) ( ) ( ) x = x 3) 4.75 = x.875 =.85 (5) () 6

7 Aufgabe 4 Für die Funktion ist eine Wertetabelle gegeben. F (x) = x e sin(t) dt Numerik MB F6 (4 Punkte) x F (x) a) Gesucht ist eine Näherung für F (.5) mit der Hilfe eines Polynoms zweiten Grades. Berechnen Sie den entsprechenden Näherungswert mit dem Neville-Aitken-Schema und begründen Sie die Wahl der Stützstellen. b) Geben Sie eine möglichst gute Fehlerabschätzung für den in Aufgabenteil a) berechneten Näherungswert an. Hinweis: Es gelten F () (x) = e sin(x) cos(x), F (3) (x) = e sin(x) (cos (x) sin(x)), F (4) (x) = e sin(x) cos(x)(sin (x) + 3 sin(x)). Zu (a): Für ein Polynom zweiten Grades müssen wir drei Stützstellen nehmen. Für die Stelle x =.5 wird der Anteil des Knotenpolynoms am Fehler durch die Wahl der Stützstellen,. und.4 minimiert. Das dazu gehörige Neville-Aitken Tableau lautet damit x = x = x = Also ist F (.5) p (.5) =.84. () Zu (b): Die Fehlerabschätzung ist gegeben durch mit x =, x =., x =.4. F (3) (y) F (x) p (x) (x x )(x x )(x x ) max y [x,x ] 3! Im Intervall [,.4] sind sin(x) und cos(x) beide und damit gilt F (4) (x) = e sin(x) cos(x)(sin (x)+3 sin(x)). Somit ist F (3) (x) monoton fallend und max y [x,x ] F (3) (y) = max { F (3) (), F (3) (.4) } =. Also F (.5) p (.5) =. 5 =.35 6 Zum Vergleich: Der tatsächliche Wert ist F (.5).8387, also F (.5) p (.5).83. () 7

8 Aufgabe 5 Gesucht ist eine Näherung für das Integral Numerik MB F6 (4 Punkte) I(f) = sin(e x )dx. Berechnen Sie mit der summierten Mittelpunktsregel eine Näherung, die vom exakten Wert um höchstens. abweicht. Geben Sie den berechneten Näherungswert explizit an. Hinweis: Im Intervall [, ] hat f (3) (x) genau eine Nullstelle bei x E =.966. Lösung: Für den Fehler der summierten Mittelpunktsregel gilt Die Ableitungen lauten I n (f) Q(f) b a 4 h max f () (b a)3 (x) = x [a,b] 4 n max f () (x)!. x [a,b] f (x) = e x cos(e x ) f () (x) = e x cos(e x ) e x sin(e x ). Weil f (3) (x) in [, ] nur das im Hinweis genannte Extremum hat, reichet es, die Randwerte und das lokale Extremum zu betrachten. Also { } max f () f (x) = max () (), f () (x E ), f () () = max {.37, , 5.536} = x [,] Damit erhalten wir für n die Bedingung ( ) 3 n =.46 (=.4...). 4. Also reicht n =. (3) Zum Vergleich: Der tatsächliche Wert ist I = I =.5 (sin(e.5 ) + sin(e.75 ) ) = () 8