ÜBUNGSAUFGABEN ZUR NUMERIK 1

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1 ÜBUNGSAUFGABEN ZUR NUMERIK 1 MARTIN EHLER, WS 2015/16 Teil 1. Matlab,... Aufgabe 1. Arbeiten Sie die Matlab Einführung von Waltraud Huyer durch, die unter dem Link huyer/matlab.pdf zu finden ist. Aufgabe 2. Bestimmen Sie mit Matlab im format short den Wert der folgenden Ausdrücke: a) 7/3.5 b) 7/-3 c) 9-3/3 d) 16/2/0.4e2 e) (1e3-1e2)*(15-50e-1) f) 3^(4/2) g) 3^4/2 h) (2-3)^(3.7-2) Wiederholen Sie den Vorgang mit format long und format compact. Aufgabe 3. Geben Sie in Matlab x=-1:0.1:1 ein und führen Sie folgende Befehle aus: a) sqrt(x) b) cos(x) c) x.^2 d) x^2 e) plot(x,sin(x.^3)) 1

2 2 MARTIN EHLER, WS 2015/16 Aufgabe 4. Erklären Sie die Matlab Ergebnisse der folgenden Ausdrücke: a) x=[ ] b) y=-1:1:2 c) x.^y d) x.*y e) x./y Aufgabe 5. Was produzieren die folgenden Matlab Befehle: a) x=1:1:10 b) z=rand(10) c) [z;x] d) c=rand(4) e) f=[c eye(size(c)) ; eye(size(c)) ones(size(c))] Aufgabe 6. Geben Sie möglichst kurze Matlab Befehle für die Ausgabe der folgenden Ausdrücke: (1) ( 1, 0.8,..., 0.8, 1) (2) (2, 2, 4, 4, 6, 6,..., 16, 16) (3) eine Diagonalmatrix A mit den Einträgen A i,i = 1/i 3, i = 1..., 100. Aufgabe 7. Erzeigen Sie eine Matrix A in Matlab mit zufälligen unabhängigen Einträgen und bestimmen Sie gegebenfalls ihr Inverses A 1 (Matlab kennt verschiedene Verteilungen, lösen Sie die Aufgabe mit mindestens dreien). Bestimmen Sie auch den Wert und die Koordinaten des grössten und kleinsten Elements in A. Aufgabe 8. Schreiben Sie eine Matlab Funktion, die die p q-formel zur reellen Lösung quadratischer Gleichungen (mit reellen Koeffizienten) liefert. Fangen Sie mögliche imaginäre Fälle durch eine IF -Abfrage ab.

3 ÜBUNGSAUFGABEN: NUMERIK 1 3 Aufgabe 9. Erzeugen Sie in Matlab eine Zufallsmatrix M deren Einträge unabhängig gleichverteilt im Intervall [ 2, 2] sind. Bilden Sie nun die Matrizen A und B gegeben durch A i,j := max(0, M i,j ), B i,j := max(0, M i,j ). Aufgabe 10. Plotten Sie mit Hilfe der Matlab Funktion plot3 die Kurve f(t) = (t sin(4t), t cos(2t), t), t [ 5π, 5π]. Teil 2. Fehler, Kondition+Stabilität I Aufgabe 11. Welche Dezimalzahl entspricht der Binärzahl ? Aufgabe 12. Verifizieren Sie numerisch, dass 1 k = 2 π2 /6 k=1 für grosse n be- gilt, in dem Sie die ersten Partialsummen n k=1 rechnen und mit π 2 /6 vergleichen. 1 k 2 Aufgabe 13. Schreiben Sie ein Programm, dass die Partialsumme bis n = 10 6 der Reihe n ( 1) k lim n 2k + 1 = π/4 k=0 berechnet. Summieren Sie einmal aufsteigend und einmal absteigend. Aufgabe 14. Führen Sie das in der Vorlesung bereits vorgeführte Skript aus (siehe Vorlesungs-Homepage) und bestätigen Sie damit die Aussagen zur Maschinengenauigkeit....

4 4 MARTIN EHLER, WS 2015/16 Aufgabe 15. Plotten Sie in Matlab das Polynom p(x) := x x x im Intervall x [ , ] und geben Sie eine Einschätzung der Anzahl der Nullstellen in diesem Intervall. Plotten Sie p danach in einem grösseren Intervall. Aufgabe 16. Bestimmen Sie in Matlab den Wert des Ausdrucks a + b a für a = und b = 2. Aufgabe 17. Lösen Sie die Probleme 1, 3, 5, 10 des Project Euler unter dem Link Aufgabe 18. In einem 32-Bit System seien ein Bit fürs Vorzeichen, 8 Bit für den Exponenten und 23 Bit für die Mantisse reserviert. Was ist die grösste darstellbare Zahl? Bestätigen Sie ihre Antwort in Matlab. Aufgabe 19. Zeigen oder widerlegen Sie, dass die Addition zweier positiver Zahlen gut konditioniert ist, d.h. die absolute und die relative Konditionszahl zu a > 0, f a :]0, [ R, x f(x) = x + a sind nicht sehr gross. Aufgabe 20. Zeigen Sie, dass (unter geeigneter Annahme über die Genauigkeit der Ausführung von Elementaroperationen) die Multiplikation f a : R R, f a (x) = ax mit a R, rückwärts stabil ist. Teil 3. Matrixnormen Aufgabe 21. Gegeben sei die Matrix A =

5 ÜBUNGSAUFGABEN: NUMERIK 1 5 Berechnen Sie in Matlab 6 verschiedene Matrix-Normen von A. Aufgabe 22. Welche der folgenden Punkte beschreiben echte Normen auf K n : a) Euklidische Norm b) Quadratsummennorm c) Betragssummennorm c) Maximum Norm x 2 := ( n x i 2) 1/2 x Q := x 1 := i=1 n x i 2 i=1 n x i i=1 x := max 1 i n x i Aufgabe 23. Weisen Sie die Normeigenschaften auf K m n nach für: a) Spaltensummennorm m A 1 := max a i,j 1 j n b) Zeilensummennorm A := max 1 i m i=1 n a i,j j=1 c) Frobeniusnorm (Hilbert-Schmidt-Norm) A F := ( m n a i,j 2) 1/2 i=1 j=1 Aufgabe 24. Sei die euklidische Norm auf K n. Zeigen Sie, dass die auf K n n induzierte Norm sowie die Frobeniusnorm auf K n n verträglich mit sind.

6 6 MARTIN EHLER, WS 2015/16 Aufgabe 25. Zeigen Sie, dass die Spaltensummennorm verträglich mit der Betragssummennorm ist. Aufgabe 26. Weisen Sie nach, dass zu jeder submultiplikativen Norm M auf K n n eine Norm auf K n existiert, mit der die Norm M verträglich ist. Aufgabe 27. Neumann-Reihe I Sei eine Norm auf K n und M eine damit verträgliche submultiplikative Norm auf K n n. Zeigen Sie, dass für A K n n die Voraussetzung A M < 1 die folgenden Punkte impliziert: a) Das Gleichungssystem (I A)x = b ist für alle b K n eindeutig lösbar. b) Es gilt (I A) 1 = A j. j=0 Aufgabe 28. Neumann-Reihe II Zeigen Sie, dass unter den Voraussetzungen in Aufgabe 27 auch die Schranke (I A) 1 1 M 1 A M gilt. Aufgabe 29. Finden Sie die Inverse von ( ) 1 1/2 B := R 1/ durch analytisches berechnen der Neumann-Reihe von A = Aufgabe 30. ( ) 0 1/2. 1/2 0 Berechnen Sie die Inverse der Matrix B in Aufgabe 29 in dem Sie in Matlab die geeignete Neumann-Reihe approximieren.

7 Teil 4. Lineare Gleichungssysteme ÜBUNGSAUFGABEN: NUMERIK 1 7 Aufgabe 31. Implementieren Sie in Matlab die schrittweise Lösung eines Gleichungssystems in oberer sowie in unterer Dreiecksgestalt. Prüfen Sie Ihren Code anhand eines Beispiels. Aufgabe 32. Berechnen Sie per Hand die LR-Zerlegung der Matrix A = Aufgabe 33. Implementieren Sie die LR-Zerlegung in Matlab ohne Spaltenpivotisierung, d.h. unter der Annahme, dass jeder Schritt für die Zerlegung ausführbar ist. Prüfen Sie Ihren Code anhand eines Beispiels. Aufgabe 34. Berechnen Sie per Hand die LR-Zerlegung der Matrix A = 1/2 1/ / mit Spaltenpivotisierung. Aufgabe 35. Implementieren Sie die LR-Zerlegung in Matlab mit Spaltenpivotisierung. Prüfen Sie Ihren Code anhand eines Beispiels. Aufgabe 36. Eine Matrix A = (a i,j ) K n n heisst strikt diagonaldominant, falls a i,i > j i a i,j, für alle i = 1,..., n. Zeigen Sie, dass die Spaltenpivotsuche in jedem Eliminationsschritt der Gauss-Elimination das Diagonalelement a (i) i,i als Pivotelement auswählt.

8 8 MARTIN EHLER, WS 2015/16 Aufgabe 37. Wir betrachten das lineare Gleichungssystem Ax = b, wobei A K n n strikt diagonaldominant sei. Zeigen Sie, dass das in der Vorlesung vorgestellte Gesamtschrittverfahren für jeden Startvektor x (0) K n gegen die eindeutige Lösung konvergiert. Aufgabe 38. Implementieren Sie in Matlab das in der Vorlesung vorgestellte Gesamtschrittverfahren zur iterativen Lösung eines linearen Gleichungssystems. Prüfen Sie Ihren Code anhand eines Beispiels. Aufgabe 39. Implementieren Sie in Matlab das in der Vorlesung vorgestellte CG- Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Prüfen Sie Ihren Code anhand eines Beispiels. Aufgabe 40. Für k Z seien t k R gegeben und wir bilden die Matrix T R n n, t 0 t 1 t n 1. T = t 1 t t 1. t 1 n t 1 t 0 Zeigen Sie, dass gilt 0 1 T = ET E, wobei E = Bemerkung: Matrizen mit dieser Struktur nennt man Töplitz-Matrizen. Für spezielle Algorithmen zur Lösung von linearen Gleichungssystemen T x = b sei verwiesen auf den Levinson-Algorithmus und den Algorithmus von Trench. Teil 5. Lineare Gleichungssysteme II Aufgabe 41. Geben Sie eine Matrix an, deren LR-Zerlegung eine Pivotisierung benötigt und benutzen Sie eine Matlab Funktion, um die LR-Zerlegung zu dieser Matrix zu berechnen.

9 ÜBUNGSAUFGABEN: NUMERIK 1 9 Gegeben sei die Matrix Aufgabe A := Bilden Sie die zugehörigen Gauss schen Normalengleichungen und lösen Sie diese mittels einer LR-Zerlegung per Hand. Aufgabe 43. Zeigen Sie, dass die Pseudo-Inverse A # einer Matrix A R m n die folgenden Gleichungen erfüllt: AA # A = A, (AA # ) = AA #, A # AA # = A #, (A # A) = A # A. Aufgabe 44. Bestimmen Sie mit Hilfe von Matlab die Singulärwertzerlegung von A aus Aufgabe 42. Berechnen Sie daraus die Pseudo-Inverse von A und lösen Sie damit das lineare Ausgleichsproblem Ax b 2, b = (1, 2, 6, 4). Berechnen Sie zur Kontrolle auch in Matlab direkt die Pseudo-Inverse von A. Aufgabe 45. Erzeugen Sie durch wiederholten Aufruf von randn(4,2) in Matlab N = 1000 Zufallsmatrizen, berechnen Sie deren Konditionszahlen zur Operatornorm bzgl. der Euklidischen Norm (dh. Ratio grösster/kleinster Singulärwert), und geben Sie dann eine Einschätzung zum Erwartungswert der Konditionszahl einer 4 2-Zufallsmatrix mit unabhängig Standard- Normal-verteilten Einträgen ab. Verifizieren Sie Ihre Schätzung, in dem Sie N grösser wählen.

10 10 MARTIN EHLER, WS 2015/16 Aufgabe 46. Sei 0 v K n gegeben. Zeigen Sie, dass die Matrix unitär und selbstadjungiert ist. P v := I 2 v 2 vv Aufgabe 47. Gegeben sei x K n mit x 1 = 0. Finden Sie ein v K n, so dass P v x = re 1 gilt mit r = x 2, und P v habe die Form in Aufgabe 46. Aufgabe 48. Berechnen Sie die QR-Zerlegung der Matrix A aus Aufgabe 42. Bestimmen Sie daraus die Lösung zum linearen Ausgleichsproblem aus Aufgabe 44. Aufgabe 49. Implementieren Sie die QR-Zerlegung in Matlab. Aufgabe 50. Versuchen Sie durch Matlab-Experimente (beispielsweise unter Benutzung der tic und toc Befehle), die folgende Behauptung zu unterstützen: Angewandt auf eine quadratische, nicht-singuläre Matrix ist die QR-Zerlegung teurer als die LR-Zerlegung. Teil 6. Newton-Verfahren Gegeben sei das Polynom Aufgabe 51. f(x) = x 3 5x 2 4x + 2. Sie sollen die Nullstellen von f durch folgendes Vorgehen berechnen: (1) Werten Sie f zunächst auf den ganzen Zahlen zwischen 3 und 6 aus. (2) Wählen Sie geeignete Startwerte. (3) Wenden Sie das Newton-Verfahren für jeden Startwert an. (mittels Matlab oder auch per Hand).

11 ÜBUNGSAUFGABEN: NUMERIK 1 11 Aufgabe 52. Geben Sie die Nullstellen von f aus Aufgabe 51 exakt an. (Hinweis: Polynomdivision) Aufgabe 53. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = x e x durch das Newton-Verfahren mit Hilfe von Matlab. Aufgabe 54. Berechnen Sie eine Nullstelle der Funktion f aus Aufgabe 53 durch das Sekantenverfahren mit Hilfe von Matlab. Aufgabe 55. Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem 0 = x 1 x 2 0 = x 1 x x 1 x 2. Ist das 2-dimensionalen Newton-Verfahren bzgl. dieses Systems lokal konvergent? Warum? Berechnen Sie eine Lösung mit Hilfe des 2-dimensionalen Newton-Verfahrens für einen Startwert Ihrer Wahl in (0, 1) 2. (Sie können die Lösung beispielsweise mit Matlab berechnen.) Teil 7. Interpolation, Splines Aufgabe 56. Seien folgende verschiedene Datensätze gegeben: a) {(x i, y i )} 4 i=0 = {(0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}, b) {(x i, y i )} 4 i=0 = {(0, 0), (1, 0), (2, 1), (3, 0), (4, 0)} c) {(x i, y i )} 4 i=0 = {(0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 1)} d) {(x i, y i )} 4 i=0 = {(0, 1), (1, 2), (2, 5), (3, 10), (4, 17)} Finden Sie jeweils zu jedem Datensatz ein Polynom vom Grad höchstens 4, dass die jeweiligen Daten interpoliert.

12 12 MARTIN EHLER, WS 2015/16 Betrachten Sie das Polynom Aufgabe 57. p(x) = m a i x i. i=0 Um eine Polynominterpolation p(x i ) = y i für i = 0,..., m zu lösen könnte man ein lineares Gleichungssytem für die Koeffizienten a i von p aufstellen. Bestimmen Sie die Matrix A des Gleichungssystems und die zugehörige rechte Seite b. Aufgabe 58. Berechnen Sie den Wert des Interpolationspolynoms zu den Punkten {(0, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)} an der Stelle 3 2. Aufgabe 59. Folgende 3 Werte einer unbekannten Funktion f : R R seien gegeben: f( 2) = 1, f(0) = 0, f(1) = 2. Geben Sie das zugehörige Interpolationspolynom p Π 2 in der Monom-Basis an, das f in den Punkten { 2, 0, 1} interpoliert. Sie erhalten nun zusätzlich die Information f(2) = 1. Berechen Sie wieder das zugehörige Interpolationspolynom p Π 3 in der Monom-Basis. Aufgabe 60. Betrachten Sie die Funktion f(x) = x 4 auf x [ 1, 1]. Bestimmen Sie den linearen Spline, der f in den 3 Knotenpunkten { 1, 0, 1} interpoliert. Bestimmen Sie den linearen Spline, der f in den 5 Knoten interpoliert. { 1, 1 2, 0, 1 2, 1} Aufgabe 61. Konstruieren Sie zu den Wertepaaren {(0, 1), (1, 2), (2, 0)} den natürlichen kubischen Interpolationsspline S : [0, 2] R.

13 Teil 8. Quadratur ÜBUNGSAUFGABEN: NUMERIK 1 13 Aufgabe 62. Newton-Cotes-Quadratur Wir wollen das Integral b f(x)dx einer Funktion f : [a, b] R a durch die Newton-Cotes-Formeln annähern. Berechnen Sie deshalb für a = x 0 <... < x m = b die Newton-Cotes-Quadratur explizit in den Fällen m = 1 und m = 2. Aufgabe 63. Gauss-Quadratur Geben Sie die Gauss-Quadratur für das Integral 1 1 g(x)dx, g(x) = x 2 bzgl. der Legendre-Polynome mit zwei Stützstellen an.