1/26. Integration. Numerische Mathematik 1 WS 2011/12

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1 1/26 Integration Numerische Mathematik 1 WS 2011/12

2 Notation 2/26 Die Abbildung I b a : C([a, b]) R gegeben durch Ia b (f ) := beschreibt die Integration. b a f (x)dx, Um das Integral I(f ) zu approximieren betrachten wir sogenannte Quadraturformeln Q b a : C([a, b]) R der Form Q b a(f ) := (b a) n σ i f (x i ), i=0 wobei x 0,..., x n [a, b] und σ 0,..., σ n [0, 1].

3 Ansatz 3/26 Sei f C([a, b]). Man wähle die äquidistanten Stützstellen x i := a + i b a n, für i = 0,..., n. Es bezeichne p Π n das eindeutige Interpolationspolynom durch Die Wahl (x 0, f (x 0 )),..., (x n, f (x n )). Q b a(f ) := b führt auf die Newton-Cotes Formeln. a p(x)dx

4 4/26 Beispiel Für n = 1 hat man die Stützstellen x 0 = a und x 1 = b. Wegen a f (a)... b f (b) f (b) f (a) b a ist das eindeutige Interpolationspolynom p Π 1 gerade p(x) = Damit erhält man die Quadraturformel Q b a(f ) := b a p(x)dx (Newton-Schema)

5 Beispiel Für n = 1 hat man die Stützstellen x 0 = a und x 1 = b. Wegen a f (a)... b f (b) f (b) f (a) b a ist das eindeutige Interpolationspolynom p Π 1 gerade p(x) = f (b) f (a) b a (x a) + f (a). Damit erhält man die Quadraturformel Q b a(f ) := = b p(x)dx = a f (b) f (a) (b a) 2 b a = (b a) d.h. die Trapez-Regel. f (b) f (a) b a b a 2 + (b a)f (a) ), ( f (a) 2 + f (b) 2 (Newton-Schema) (x a)dx + (b a)f (a) 4/26

6 Newton-Cotes-Formeln Wählt man die äquidistanten Stützstellen x i := a + i b a n, für i = 0,..., n, so sind die Newton-Cotes-Formeln n σ i Q b a(f ) I b a (f ) Regel h f (2) (ξ) Trapez h f (4) (ξ) Simpson h f (6) (ξ) Milne h f (8) (ξ) Weddle mit h = (b a) und der Quadraturformel n Qa(f b ) := (b a) σ i f (x i ), i=0 exakt für alle Polynome p Π n vom Grad n. 5/26

7 6/26 Summierte Newton-Cotes-Formeln Um die Genauigkeit zu erhöhen kann man das Interval [a, b] in K -Teilintervalle der Länge unterteilen h := (b a)/k [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a K, b K ] a = a 1 b 1 = a 2 b 2 = a b K 1 = a K b K = b und dann auf jedem Teilinterval [a i, b i ] eine Newton-Cotes Formel (im Bild in n = 4 gewählt) anwenden. Anzahl der benötigten Funktionsauswertungen: n K + 1

8 Beispiele 7/26 Summierte Trapez Regel Summierte Simpson Regel Summierte Milne Regel

9 Fehlerabschätzung 8/26 Ist also f C 6 ([a, b]) und damit M := max f (6) (x) [0, ), x [a,b] dann gilt (mit h = b a K, wie oben) z.b. für die Milne-Regel = Ia b (f ) Qa(f b ) K i=1 = M K K I b i a i (f ) Q b i a i (f ) i=1 h 7 8 f (6) (ξ i ) M 945 K i=1 h 7 (b a)7 K 7 = M(b a) 6 1 K 6.

10 Erreichbar Genauigkeit 9/26 Für n = 4 (d.h. Milne-Regel) erreicht man also (theoretisch) eine(n) Genauigkeit/Fehler von mit Hilfe von Funktionsauswertungen. E := M(b a) 6 1 K 6 F := n K + 1 = 4 K + 1

11 Erreichbar Genauigkeit Für n = 4 (d.h. Milne-Regel) erreicht man also (theoretisch) eine(n) Genauigkeit/Fehler von mit Hilfe von Funktionsauswertungen. E := M(b a) 6 1 K 6 F := n K + 1 = 4 K + 1 K = F 1 4 E(F) = M(b a) 6 1 K 6 ( 1 = M(b a) }{{} F 1 =:C ) 6 = C(F 1) 6 CF 6 9/26

12 Beispiel 10 0 Funktionsname : "Schwarz/Koeckler; Beispiel 7.2"; 1 Integrationsinterval : [0,1.5708] Relativer Fehler romberg trapez simpson milne weddle Anzahl der Funktionsauswertungen Die Kurve für Milne (- -) ist etwa: C F /26

13 Beispiel 11/ Funktionsname : "Gauss-Verteilung"; 1 Integrationsinterval : [-1,1] Relativer Fehler romberg trapez simpson milne weddle Anzahl der Funktionsauswertungen

14 Beispiel 12/26 Funktionsname : "Deufelhard; Beispiel 9.26; Nadelimpuls"; Integrationsinterval : [-1,1] Relativer Fehler romberg trapez simpson milne weddle Anzahl der Funktionsauswertungen

15 Beispiel 13/ Funktionsname : "Nicht stetig"; 2 Integrationsinterval : [-2,1] Relativer Fehler romberg trapez simpson milne weddle Anzahl der Funktionsauswertungen

16 Beispiel 14/ Funktionsname : "stetig"; 3.5 Integrationsinterval : [-3.33,1] Relativer Fehler romberg trapez simpson milne weddle Anzahl der Funktionsauswertungen

17 Beispiel 15/ Funktionsname : "stetig diff bar"; 3 Integrationsinterval : [ ,1] Relativer Fehler romberg trapez simpson milne weddle Anzahl der Funktionsauswertungen

18 Beispiel 16/ Funktionsname : "3 mal stetig diff bar"; 1.8 Integrationsinterval : [ ,1] Relativer Fehler romberg trapez simpson milne weddle Anzahl der Funktionsauswertungen

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20 Summierte Trapez-Regel 18/26 Wenden man eine Newton-Cotes Formel auf n-teilintervalle an, so hat jedes Teilinterval die Länge h := b a n. Die summierte Trapez-Regel auf n-teilintervallen ist dann T f (h) := h ( f (a) n i=1 ) f (x i ) + f (b), 2 wobei für i = 0,..., n. x i = a + i h,

21 Euler-Maclaurinsche Summenformel 19/26 Theorem Sei f C 2m+2 ([a, b]), m 0. Dann hat die summierte Trapez-Regel die Darstellung T f (h) = τ 0 + τ 1 h τ m h 2m + O(h 2m+2 ), für h 0, wobei und τ 1,..., τ m R. τ 0 = b a f (x)dx Man will also eigentlich T f (0) bestimmen. Man kann aber nur T f (h j ) für eine endliche Anzahl h j, j = 0,..., k bestimmen.

22 Polynom in h 2 20/26 T f (h) τ 0 + τ 1 h τ m h 2m

23 Polynom in h 2 20/26 T f (h) τ 0 + τ 1 h τ m h 2m Da h 0 kann man die Funktion P f (x) := τ 0 + τ 1 x τ m x m definieren, welche ein Polynom in x ist. Dann hat man P f (h 2 ) T f (h).

24 Polynom in h 2 T f (h) τ 0 + τ 1 h τ m h 2m Da h 0 kann man die Funktion P f (x) := τ 0 + τ 1 x τ m x m definieren, welche ein Polynom in x ist. Dann hat man P f (h 2 ) T f (h). Seien 0 < x i, i = 0,..., m paarweise verschiedene Stützstellen. Dann ist das Polynom P f Π m durch die m + 1 Stützpunkte eindeutig bestimmt. (x 0, P f (x 0 )),..., (x m, P f (x m )), 20/26

25 Grundidee 21/26 P f (x) := τ 0 + τ 1 x τ m x m P f (h 2 ) = T f (h) τ 0 + τ 1 h τ m h 2m P f Π m ist eindeutig bestimmt durch (x 0, P f (x 0 )),..., (x m, P f (x m )). Man kann T f aber nur an Stellen der Form h i := b a n i, wobei n i N, auswerten. Man setzt also x i := hi 2 und erhält, dass P f Π m eindeutig bestimmt ist durch = = {(x 0, P f (x 0 )),..., (x m, P f (x m ))} { } (h0 2, P f (h0 2 )),..., (h2 m, P f (hm)) 2 { } (h0 2, T f (h 0 )),..., (hm, 2 T f (h m ))

26 Grundidee 22/26 Man berechnet also für h i := b a n i, mit n i N, die Werte von T f (h i ). Dann erfüllt das Interpolationspolynom P f Π m zu den Stützstellen die Bedingung b a (h 2 0, T f (h 0 )),..., (h 2 m, T f (h m )), f (x)dx = τ 0 = T f (0) = T f (0 2 ) = P f (0).

27 Schwarz/Köckler, Beispiel Stuetzpunkte 2 Stuetzpunkte Stuetzpunkte Stuetzpunkte /26

28 Bemerkung 24/26 Da man den Wert des Interpolationspolynoms nur an einer Stelle P f (0) auswerten muss, kann man das Schema von Neville-Aitken benutzen.

29 Romberg-Integration Es sei f C([a, b]) gegeben, n 0 < n 1 < n 2 <... eine Folge von natürlichen Zahlen (am einfachsten ist n i := 2 i ) und eine maximale Anzahl von erlaubten Funktionsauswertungen max evals. Es bezeichne h i := b a n i. Für m = 0, 1, 2,... 1 Berechne T f (h m ). Breche die Schleife dabei ab, falls insgesamt mehr als max evals Funktionsauswertungen gebraucht worden sind. 2 Berechne mit dem Schema von Neville-Aitken INT := P f (0), wobei P f Π m das eindeutige Interpolationspolynom durch (h 2 0, T f (h 0 )),..., (h 2 m, T f (h m )) ist. INT ist dann die Approximation an b a f (x)dx. 25/26

30 Profiling Wählt man in der Romberg-Integration die Folge n i = 2 i so muss man die Funktion f C([a, b]) an den folgenden Stellen auswerten: n 0 = 1 n 1 = 2 n 2 = 4 n 3 = 8 a b Den Funktionswerte an den roten Stellen kennt man also schon aus dem letzten Schritt. (Eigentlich braucht man sogar nur die (gewichtete) Summe der Funktionswerte) 26/26