Technische Numerik Numerische Integration

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1 W I S S E N T E C H N I K L E I D E N S C H A F T Technische Numerik Numerische Integration Peter Gangl Institut für Numerische Mathematik, Technische Universität Graz c Alle Rechte vorbehalten. Nachdruck und Weitergabe nur mit Genehmigung des Autors Skizzen zu Newton Cotes Formeln g a+b ) Mittelpunktsformel gb) ga) Trapezregel a a+b b s Simpson Regel a b s gb) g a+b ) ga) a a+b b s

2 Beispiele für Newton Cotes Formeln n Name x i ω i O. Fehler Mittelpunktsformel Trapezregel a, b a+b b a b a, b a Simpson Regel a, a+b, b b a 6, b a), b a 6 4 /8 Regel a, a + b b a 8, b a) 8 4 a + b, b b a), b a Milne Regel a, a + b a 4, 7b a) 9, 6b a) 45, 6b a) , b 6b a), 7b a) b a) f η) b a) f η) 9 b a )5 f 4) η) 8 b a )5 f 4) η) b a 4 )7 f 6) η) mit Zwischenwertstellen η a, b). Ab n = 8 treten negative Gewichte auf, was zu Instabilitäten führen kann. Kleine Änderungen von f wirken sich auf I n f ) stärker aus als auf If ). 4 Beispiel.5 f x) = x /4)x /)x 5/)x /4)x 4) + 6, x [, 4]

3 Beispiel.5 f x) = x /4)x /)x 5/)x /4)x 4) + 6, x [, 4] Newton-Cotes Formeln: n = : I f ) = 4f ).875 n = : I f ) = 4 f ) + f 4)) n = : I f ) = 4 f ) + 4f ) + f 4)) n = : I f ) = 4 8 f ) + f 4 ) + f 8 ) + f 4)) 4.9 n = 4 : I 4 f ) = 4 7f ) + f ) + f ) + f ) + 7f 4)) Es gilt I 4 f ) = 4 f x)dx, da f 6) 6 Beispiel.5 f x) = x /4)x /)x 5/)x /4)x 4) + 6, x [, 4] Zusammengesetzte Newton-Cotes Formeln: n = 4 Zusammengesetzte Trapezregel: I ) n f ) = 4 f ) + f ) + f ) + f ) + f 4)) Zusammengesetzte Simpson-Regel: I ) n f ) = 4 f ) + 4f ) + f ) + 4f ) + f 4))

4 Gauß Legendre Quadraturformel Beispiel.6: n =, [a, b] = [, ]: Q G f ) = ω f x ) + ω f x ) Polynome p Π sollen exakt integriert werden. Forderungen: Q G ) = ω + ω = = Q G x) = ω x + ω x = = Q G x ) = ω x + ω x = = Q G x ) = ω x + ω x = = Aus Symmetriegründen und. Gl.: ω = ω =. Aus. und 4. Gl.: x = x. Aus. Gl.: x = somit x = dx = I) x dx = Ix) x dx = Ix ) x dx = Ix ) 8 Vergleich Simpson Regel und Gauß Legendre Simpson Regel f x)dx = cosαπx)dx I f ) = f ) + 4 f ) + f ) Gauß Legendre Quadraturformel für n = Q G f ) = f /) + f /) α Simpson Gauss exakt /..4 4 π.7 / π.86 Im Allgemeinen ist die Gauß Legendre Quadraturformel für n = genauer als die Simpson Regel. 9

5 Beispiel.7: Gram-Schmidt Orthogon. in R Gegeben sei die Basis {ψ, ψ, ψ } = {,, ) T,,, ) T,,, ) T } des R mit Euklid schem Skalarprodukt,. Gram-Schmidt liefert: ϕ = ψ =,, ) T ϕ = ψ + αϕ mit α = ψ, ϕ ϕ, ϕ = 5 = ϕ = /5 = /5 5 ϕ = ψ + α ϕ + α ϕ mit α = ψ, ϕ ϕ, ϕ = 5 und α = ψ, ϕ ϕ, ϕ = = ϕ = + + /5 / /5 = 5 / 4 Legendre Polynome Für [a, b] = [, ] und wx) = sind die Orthogonalpolynome die Legendre Polynome mit P k x) = d k k k! dx k x ) k P i x)p j x)dx = δ i,j j + Legendre Polynome P.6 P.8 P P und Rekursion P x) =, P x) = x, k + )P k+ x) = k + )xp k x) kp k x) für k =,,... 4

6 Gauß Legendre Quadraturformeln Für [a, b] = [, ] und wx) = sind die Orthogonalpolynome die Legendre Polynome. Für n = : P x) = x hat die Nullstelle x = und mit L x) = ist das Integrationsgewicht ω = L x)dx =. Für n = : Das Orthogonalpolynom P x) = 5 xp x) P x) = 5 x x ) x = 5 x x = x 5x )! = hat die Nullstellen x = 5, x =, x = 5. Die Gewichte sind dann ω = 5 9, ω = 8 9, ω = Fehlerkonstante der Gauss Legendre Quadratur C n,[a,b] := b n + )! a n x x j ) dx j= b a n = n = n = 7 4.4e-.5e-4.9e- 7.4e-.9e-7.e-8.e-4 5.6e-.7e-.5 7.e-6.e-.e-8 4

7 Gauß Tschebyscheff Quadraturformeln Für [a, b] = [, ] und wx) = x ) / sind die Orthogonalpolynome die Tschebyscheff Polynome vgl. Abschnitt..) T n+ x) = cosn + ) arccos x) mit den Nullstellen x i = cos i + )π n + ) i =,..., n und den Gewichten ω i = π n + i =,..., n. 44 Gauß Quadratur im Mehrdimensionalen geg: skalare Funktion f x) vom Ort x R d, d =, ges: Näherung für If ) = f x)d x für Gebiet R d Punkt Gauss Formel mit und Schwerpunkt Dabei ist Q G If ) Q G F) = f x ) = d x x = xd x. exakt für konstante und lineare Funktionen. 45

8 Quadratur für Vierecke achsenparalleles Viereck = [a, b] [c, d] b d f x)d x = f x, x )dx dx a n i= c m j= b a d c ω iω j f b a ˆx i + a+b, d c ˆx j + c+d ) eindimensionale Integrale mit Gauß Quadratur Stützstellen ˆx i ) exakt in x i Richtung wie die jeweils verwendete Gauß Formel allgemeines Viereck durch Transformation auf Referenzquadrat komplexere Gebiete: mittels Zerlegung in elementare Elemente Dreiecke, Vierecke) und Quadraturformeln auf diesen Elementen. 46 Quadratur für Dreiecke Transformation auf ein Referenzdreieck ˆ mit Eckpunkten, ),, ),, ) : x = Aˆx + b für ˆx ˆ ˆx ˆ x ) x ) x ) wobei für die Ecken x j) von angeordnet im Gegenuhrzeigersinn) ) ) ) x ) = A + b, x ) = A + b, x ) = A + b ˆx also A = x ) x ), x ) x )), b = x ). 47

9 Integraltransformation für Dreiecke Somit lässt sich das Integral transformieren: f x)d x = f Aˆx + b) det A d ˆx }{{} ˆ = =:ˆf ˆx) ˆx Approximation durch Quadraturformel f x)d x ˆf ˆx, ˆx ) d ˆx d ˆx n ω i f Aˆx i) + b) Somit genügen Quadraturformeln für das Referenzdreieck mit Quadraturpunkten ˆx i) ˆ und Gewichten ω i. i= 48 Quadraturformeln fürs Referenzdreieck Mittelpunktsformel Ordnung, s.o): ˆx ) = /, /), ω = / Eckpunkte Ordnung ): ˆx ) =, ), ˆx ) =, ), ˆx ) =, ), ω i = /6 Seitenmitten Ordnung ): ˆx ) =, /), ˆx ) = /, ), ˆx ) = /, /), ω i = /6 innere Punkte Ordnung ): ˆx ) = /6, /6), ˆx ) = 4/6, /6), ˆx ) = /6, 4/6), ω i = /6 49

10 Quadraturformeln fürs Referenzdreieck 7 Punkte Formel Ordnung 6): ˆx ) =, ) ˆx ) = 6 ) 5, 6 5 ˆx ) = 9+ ) 5, 6 5 ˆx ) = 6 ) 5, 9+ 5 ˆx 4) = 6+ ) 5, 6+ 5 ˆx 5) = 9 ) 5, 6+ 5 ˆx 6) = 6+ ) 5, 9 5 ω = 9 8 ω = ω = ω = ω 4 = ω 5 = ω 6 =