Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen (MA2304) Modulprüfung F. Bornemann, C. Ludwig 14. August 2017

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1 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen (MA234) Modulprüfung F. Bornemann, C. Ludwig 4. August 27 Aufgabe ( min) (a) Implementiere in Julia mit den Eingaben a, b, f und n die summatorische Trapez-Regel für die Funktion f mit n äquidistanten Knoten auf [a, b]. (b) Um das Integral 5 sin(x)e sin x dx numerisch zu approximieren, wurden folgende Methoden verwendet: (i) summatorische Simpson-Regel, (ii) Gauß-Legendre Quadratur, (iii) summatorische Trapez-Regel. Ordne ihnen (mit Begründung) die folgenden drei Konvergenzplots zu: absoluter Fehler Anzahl der f-auswertungen 2 3 (a) function summatorischetrapezregel(a, b, f, n) knoten collect(linspace(a, b, n)) # Spaltenvektor h (b-a)/(n-) # Knotenabstand gewichte [.5 ones(,n-2).5] # Zeilenvektor return h*(gewichte*f.(knoten)) # "Zeile*Spalte" end;

2 (b) rot/kreis: (iii) grün/quadrat: (i) blau/dreieck: (ii) Begründungen. Trapez: lokaler Fehler pro Intervall O(h 3 ), globaler Fehler O(h 2 ); Simpson: lokaler Fehler O(h 5 ), globaler Fehler O(h 4 ); Gauß: Superkonvergenz Aufgabe 2 Bestimme (mit Begründung/Rechenweg) für f : R 2 R 2, f ( x x 2 ) exp(2x2 ) ( min) die elementaren Differentiale f (β) () für Wurzelbäume β der Form β n [,..., ] : }{{} n-fach... Es ist f ( ) () f() (, ) T und wegen f x gilt für n > : ( ) f (β) () f (n) (),..., ( ) f (n) (),..., n f x n (x) 2 n. 2 x Aufgabe 3 Betrachtet wird das Anfangswertproblem ( x ) (t) (t/6 )y(t) y, (t) x(t) x() y(). (6 min) Untenstehende Graphik zeigt die strajektorie (blau/mittig) zusammen mit benachbarten Trajektorien (rot/außen und braun/innen) zu gestörten Anfangswerten. Ferner sind für < t < t 2 < t 3 < t 4 die jeweiligen Zustände markiert. t y t 4 x W (α, ) W (β, ) W (γ, ) W (δ, ) t 2 t3 Die vier angegebenen Wronski-Matrizen gehören den markierten Zeitpunkten. Ordne begründet α, β, γ, δ den entsprechenden Zeiten t, t 2, t 3, t 4 zu.

3 Bei t wird die blaue Trajektorie in Richtung e 2 (, ) T gestört, um zur benachbarten roten Trajektorie zu kommen. Diese Störung wird (in erster Näherung) durch W (t, )e 2 propagiert. Zeichnet man bei jedem t k den Vektor vom blauen Punkt zum roten Punkt, so haben dessen Komponenten folgende Vorzeichen und es ergeben sich damit folgende Zuordnungen: t t 2 t 3 t 4 ) ( + + +) ( + α δ β γ Aufgabe 4 Betrachte das Randwertproblem x (t) cos(t)x(t), x() 2, x (3) 4. Ein Randwertlöser benötigt für das entsprechende ODE-System. Ordnung die beiden (in-situ) Julia-Funktionen function rhs!(t, y, f) % Input : t, y % Output: f und für die rechte Seite bzw. für die Randbedingungen. function bc!(ya, yb, r) % Input : ya, yb % Output: r (a) Transformiere das Randwertproblem auf. Ordnung und gib die Dimensionen von t, y, f, ya, yb und r bei obigen Funktionen an. (b) Schreibe die beiden Julia-Funktionen. (a) Mit den Zuständen y (t) x(t) und y 2 (t) x (t) lautet das Randwertproblem y (t) y2 (t) y 2 (t) y () 2, y 2 (3) 4. cos(t)y (t) Folglich ist bei obigem Code: t R und y, f, ya, yb, r R 2. (b) function rhs!(t, y, f) function bc!(ya, yb, r) f[] y[2] r[] ya[]-2 f[2] cos(t)*y[] r[2] yb[2]-4 end end Aufgabe 5 (2 min) Finde (mit Begründung/Rechenweg) ein konsistentes 2-stufiges Runge-Kutta Verfahren mit der Stabilitätsfunktion R(z) + z zα2 ( zα) 2. Für welche Werte des Parameters α R besitzt das Verfahren die Ordnung Zwei?

4 Aus folgt mit Cramer scher Regel R(z) + zb T (I za)! + z zα2 ( zα) 2 (*) p(z) det(i za) zα2 ( zα) 2 mit einem Polynom p(z). Die Beziehung det(i za) ( αz) 2 lässt sich einfach mit einer unteren Dreiecksmatrix A herstellen, so dass wir auf das Butcher-Schema α α α + β β α b b geführt werden (b 2 b stellt dabei die Konsistenzbedingung sicher). Hiermit gilt z zα R(z) + ( zα) 2 bt + z zα + z( b )β zβ zα ( zα) 2 und ein Koeffizientenvergleich mit der gewünschten Form (*) liefert α 2 α ( b )β, d.h. α( α) ( b )β. Diese Bedingung wird z.b. durch β b α erfüllt; das Schema lautet dann: α α α α α α Für Ordnung Zwei muss /2 b c + b 2 c 2 ( α)α + α sein, also α ± 2 2. Aufgabe 6 Für das Anfangswertproblem (mit glattem f : R d R d ) x f(x), x() x R d existiere eine (glatte) Funktion I : R d R mit der Eigenschaft I (x)f(x) (für alle x R d ). (2 min) Wir verwenden ein implizites Runge-Kutta-Verfahren Ψ vom Gauß-Kollokationstyp. (a) Zeige: I(Φ τ x ) ist konstant in τ. (b) Zeige: Ist I(x) x T Cx (mit C R d d ), dann ist auch I(Ψ τ x ) konstant in τ. (a) d dτ I( Φ τ ) x I ( Φ τ ) d x dτ Φτ x I ( Φ τ ) ( x f Φ τ ) x. (b) Es bezeichne u(θτ) das Kollokationspolynom vom Grad s in θ [, ] zu den s Kollokationspunkten c τ,..., c s τ. Dann ist I ( Ψ τ x ) I(x ) I ( u(τ) ) I(u()) I ( u(θτ) ) u (θτ) dθ d dθ I( u(θτ) ) dθ 2 Cu(θτ), u (θτ) dθ

5 Weil 2 Cu(θτ), u (θτ) ein Polynom in θ vom Grad 2s ist, wird dieses Integral mit Gauß-Legendre Quadratur zu den s Stützstellen c j τ (mit Gewichten λ j ) exakt integriert. Aus den Kollokationsbedingungen u (c j τ) f ( u(c j τ) ) folgt daher I ( Ψ τ x ) I(x ) Aufgabe 7 s λ j 2 Cu(c j τ), u (c j τ) j s j λ j I ( u(c j τ) ) f ( u(c j τ) ). }{{} Betrachtet wird auf dem Zeitintervall [, T ] das skalare Anfangswertproblem x sin(x) cos(x), x() ɛ, mit < ɛ und T. Begründe, in welchen (quasi-stationären) Bereichen von x das Problem steif ist und in welchen es nicht steif ist. Die möglichen quasi-stationären Bereiche sind die Nullstellen von sin und cos, also die Menge Zπ/2. Die Linearisierung der rechten Seite ergibt als Parameter λ der Dahlquist schen Testgleichung λ d dx (sin(x) cos(x)) für x π cos2 (x) sin 2 2 (x) + Zπ, für x Zπ. Damit ist das Verhalten in den Bereichen um Zπ nicht steif und in jenen um π 2 + Zπ steif, da dort für ein explizites Verfahren τ max O(/ λ ) O(T ) erforderlich ist. Aufgabe 8 Wenden wir die affine Koordinatentransformation x Mx mit M GL(d) an auf x f(t, x), x(t ) x R d, () so erhalten wir das äquivalente Anfangswertproblem x f(t, x) Mf(t, M x), x(t ) Mx. (2) Ein lineares Mehrschrittverfahren liefere die Gitterfunktion x τ für () und x τ für (2). Dabei werde eine konstante Schrittweite τ verwendet. Zeige x τ Mx τ, sofern die Startwerte geeignet (nämlich wie?) transformiert werden. Wir zeigen: x τ Mx τ ist eine der Differenzengleichung Dann gilt nämlich und ρ(e) x τ τσ(e) f τ. f τ (t, x τ ) Mf τ (t, M Mx τ ) Mf τ (t, x τ ) ρ(e) x τ τσ(e) f τ Mρ(E)x τ Mτσ(E)f τ ρ(e)x τ τσ(e)f τ. Die Startwerte müssen dazu die Transformation x τ Mx τ respektieren.