D-MAVT NUMERISCHE MATHEMATIK FS 14 K. Nipp, A. Hiltebrand Lösung vom Test 1

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Rüdiger Gärtner
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1 D-MAVT NUMERISCHE MATHEMATIK FS 4 K. Nipp, A. Hiltebrand Lösung vom Test. Sei eps die Maschinengenauigkeit in Matlab. Dann gilt: eps/4 = Richtig / Falsch + eps/2 = Richtig / Falsch 8 + eps = 8 Richtig / Falsch Die kleinste positive darstellbare Zahl ist viel kleiner als eps, daher eps/4. Für alle Zahlen α R, < α < eps, ist ϱ + α = siehe S. 9. Wir betrachten die verschiedenen Darstellungen von 8 und eps Exponent der Einfachheit halber dezimal: Dezimal Binär Maschinenzahl eps = = Dabei haben wir jeweils 52 Nullen in der Mantisse. Wenn wir die Zahlen addieren, so erhalten wir... 4, wobei die zweite in der Mantisse erst an der 57-ten Stelle steht, also wird das Ergebnis auf... 4 = 8 abgerundet. Man kann sich auch mit MATLAB davon überzeugen: Man beachte, dass die Maschinengenauigkeit nach unserer Definition als eps/2 eingeben werden muss. format long eps/2/4 ans = e-7 +eps/2/2 ans = 8+eps/2 ans = 8 Bitte wenden!

2 2. Sei fx = 2x 2 x. Berechnen Sie jeweils die Approximation für f 2 mit a dem Vorwärts-Differenzquotient und h =.: 7.2 b dem Rückwärts-Differenzquotient und h =.: 6.8 c dem symmetrischen Differenzquotient und h =.: 7 Die Differenzenquotienten sind im Skript auf S. 2f zu finden. Wir erhalten: a Vorwärtsdifferenzenquotient f z fz + h fz h f 2 f2 +. f2. = 7.2 b Rückwärtsdifferenzenquotient f z fz fz h h f 2 f2 f2.. = 6.8 c Symmetrischer Differenzenquotient f z fz + h fz + h 2h f 2 f2 +. f2. 2. = 7 3. a Berechnen Sie eine Approximation des Integrals log + x x 2 + dx = , indem Sie zwei Schritte der Trapezmethode durchführen. T 2 = b Verbessern Sie die Werte aus a mit Hilfe des Rombergschemas. R 2,2 = a Trapezmethode gemäss Skript S. 93: h =, s = 2 f + f =.7329, T = s h =.7329 h = /2, s = s + f/2 =.49766, T = s h = h 2 = /4, s 2 = s + f/4 + f3/4 =.658, T 2 = s 2 h 2 = Siehe nächstes Blatt!

3 b Romberg-Verfahren: Setze gemäss Skript S. 98 R j, = T j, j =,, 2 und berechne R, = R, 4 R, 4 =.274 R 2, = R 2, 4 R, 4 = R 2,2 = R 2, 4 2 R, 4 2 = function [Q]=gauss_quadraturf,x,w %%% Gauss-Quadratur der Funktion f auf dem Intervall [-,] %%% % zum Loesen der ODE y =ft,y, yt=y % f: Funktionshandle auf fx % x: Gauss-Quadraturpunkte Spaltenvektor % w: Gauss-Quadraturgewichte Spaltenvektor % % Q: Wert der Quadratur Q=sumfx.*w; end 5. Betrachten Sie das Runge-Kutta-Verfahren gegeben durch das folgende Butcher-Tableau: a Wieviele Stufen hat es? b Das Verfahren ist implizit. Richtig / Falsch c Formulieren Sie das Verfahren, indem Sie die untenstehenden Statements ergänzen. Benutzen Sie die Notation wie in der vorgegebenen Zeile für k 2! k = ft, x 6 Bitte wenden!

4 k 2 = ft + h, x + hk k 3 = ft + h 2, x + 3h 8 k + h 8 k 2 k 4 = ft + h, x h 2 k h 2 k 2 + 2hk 3 x = F t, x, h = x + h 6 k + 2h 3 k 3 + h 6 k 4 a Die Matrix A im Butcher-Tableau hat 4 Zeilen, also hat man s = 4 Stufen. b Die Matrix A ist eine strikte untere Dreiecksmatrix und damit ist das Verfahren explizit. c Anwenden der Formeln auf S. 4 im Skript: i k i = f t + c i h, x + h a ij k j, i =,..., s Stufen x = x + h j= s b i k i Approximation bei t + h i= 6. Berechnen Sie die Stabilitätsfunktion des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens, das mit dem Butcher- Tableau definiert ist. /2 /2 /2 /2 /6 2/6 2/6 /6 Rz = + z + z2 2 + z3 6 + z4 24 Für die Stabilität betrachten wir das Modelproblem ẋ = λx =: ft, x Mit dem Butcher-Tableau erhalten wir vgl. auch S.3f im Skipt k = ft, x = λx k 2 = ft + h, x + hk 2 2 = λx + hk 2 k 3 = ft + h, x + hk = λx + hk 2 2 k 4 = ft + h, x + hk 3 = λx + hk 3 x = x + hk 6 + 2hk hk hk 6 4. Siehe nächstes Blatt!

5 Mit hλ = z führt dies auf und weiter hk = zx hk 2 = z + 2 zx = z + 2 z2 x hk 3 = z + 2 z + 2 z2 x = z + 2 z2 + 4 z3 x hk 4 = z + z + 2 z2 + 4 z3 x = z + z z3 + 4 z4 x Rz = x x = + 6 z z + 2 z z + 2 z2 + 4 z3 + 6 z + z2 + 2 z3 + 4 z4 = z z z z4 = + z + 2 z2 + 6 z z4. 7. Ergänzen Sie den folgenden MATLAB-Code. function[t,y]=richardson_eulerf,t,y,h,t,tol %%% explizites Euler Verfahren mit Richardson-Schrittweitensteuerung %%% % zum Loesen der ODE y =ft,y, yt=y % f: Funktionshandle auf ft,y, t: Anfangszeit % y: Anfangswerte, h: Schrittweite % T: Endzeitpunkt, TOL: Fehlertoleranz %t: Vektor der Zeitpunkte t_k in [t, T] %y: Approximationen zu den Zeitpunkten t_k t=t; y=y; j=; Fak=.8; p= ; while tj<t % Ein Euler-Schritt mit Schrittweite h y:,j+=y:,j+h*ftj,y:,j; % Zwei Euler-Schritte mit Schrittweite h/2 y_temp= y:,j+h/2*ftj,y:,j; y_hat=y_temp+h/2*ftj+h/2,y_temp; % Vergleich der Loesungen norm_l=normy:,j+-y_hat/2^p-; ifnorm_l<=tol % Schrittweitenvorschlag end tj+=tj+h; j=j+; end h= h*tol/norm_lˆ /p+*fak; Bitte wenden!

6 8. Gegeben sei die eindimensionale Wellengleichung u tt = 4u xx, x R, t, mit Anfangsbedingung u, x = cosx, u t, x = sinx. a Nehmen Sie eine Diskretisierung im Ort von x =. Für welches maximale t ist die CFL-Bedingung erfüllt? t = 2 b Für die Lösung ut, x soll für t = t und x = π/2 eine Approximation ũt, x mit einem Fehler O t 2 gesucht werden. Bestimmen Sie ũ t, π 2 : a Die CFL-Bedingung ist für die Wellengleichung erfüllt siehe S. 5, wenn t x c, wobei hier c = 2 und x = gilt. Daher muss gelten ũ t, π = cos π + sin π t = t t x c = 2 = 2 b Wir bestimmen die Näherung wie auf S. 5 im Skript. Wegen den Anfangsbedingungen gilt ϕx = cosx, ψx = sinx. Die Näherung ist damit ũ t, π 2 = ϕ π 2 + tψ π 2 = cos π 2 + sin π 2 = t Siehe nächstes Blatt!

7 9. %%% Crank-Nicolson Methode fuer die Waermeleitungsgleichung %%% %%% u_t = u_xx, < x <, t > ; %%% u,x = ux, < x < ; ut, = ut, =, t >. % h: Ortsdiskretisierung, Dt: Zeitdiskretisierung, T_end: Endzeitpunkt, % u: Anfangsbedingung, u: Approximation zum Zeitpunkt T_end % Anzahl Diskretisierungspunkte in x N = /h; % Tridiagonale Koeffizientenmatrix A d = -2.*onesN-,; % Diagonale ud = onesn-2,; % Untere Diagonale ld = ud; % Obere Diagonale A =./h.^2.*gallery tridiag,ld,d,ud; % LU-Zerlegung [L,U] = lu2*speyen-,n- - Dt.*A; % Anzahl Zeitpunkte: N_t = T_end/Dt; % Anfangswerte u = u; % Crank-Nicolson Methode for k=:n_t end v = 2*speyeN-,N- + Dt.*A*u; u_new = L\v; u_new = U\u_new; u = u_new; Bitte wenden!

8 . Das 5-Punkte-Differenzenverfahren lautet: u h 2 i+,j +u i,j + u h 2 i,j+ +u i,j 2u ij + 2 h 2 = f ij, i =,..., N, j =,..., N 2. Das lineare Gleichungssystem für N = 3, N 2 = 4 und die Unbekannten ist Aũ = b, wobei 2 h 2 A = h 2 + ũ = ũ,, ũ 2 = ũ 2,, ũ 3 = ũ,2, ũ 4 = ũ 2,2, ũ 5 = ũ,3, ũ 6 = ũ 2,3 h 2 2 h h 2 + h 2 h 2 2 f h 2 h ũ, ũ h ũ 2, 2 f 2 ũ h ũ 2 2 3, ũ, 2 ũ ũ = 3 ũ 4, b = f 2 ũ h 2,2 ũ f 22 ũ h 5 2 3,2. ũ 6 f 3 ũ h 2,3 ũ h 2,4 2 f 23 ũ h 2 3,3 ũ,4 2 h 2 + h 2 h 2 2 h 2 +, Einsetzen von h = /N = /3 und h 2 = /N 2 = /4 sowie der Randbedingung führt zum folgenden Gleichungssystem Aũ = b: A = , ũ f 25 ũ 2 f 2 25 ũ ũ = 3 ũ 4, b = f 3 9 f ũ f ũ 6 f 6 25

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