2. Anfangswertprobleme 2. Ordnung

Transkript

1 Zu einem Anfangswertproblem 2. Ordnung gehören folgende Daten: Eine Differenzialgleichung 2. Ordnung: ẍ t f [ x t, ẋ t,t ] Die Anfangsbedingungen: x 0 x 0, ẋ 0 ẋ 0 Das zu untersuchende Zeitintervall: t [0, t E ] 5.2-1

2 Beispiel: Für das mathematische Pendel lautet die Bewegungsgleichung: g L sin Mit x gilt: f [ x t, ẋ t,t ] f [ t ] g L sin Um den Winkel φ im Intervall [0, t E ] berechnen zu können, muss der Winkel φ 0 und die Winkelgeschwindigkeit 0 zum Zeitpunkt t 0 gegeben sein

3 Rückführung auf ein Anfangswertproblem 1. Ordnung: Mit den neuen Variablen z 1 t x t, z 2 t ẋ t geht die Differenzialgleichung 2. Ordnung in ein System von 2 Differenzialgleichungen 1. Ordnung über: ż 1 z 2 ż 2 f [ z 1, z 2,t ] 5.2-3

4 Beispiel: Mathematisches Pendel Differenzialgleichung: f,t g L sin Neue Variablen: z 1, z 2 Differenzialgleichungssystem 1. Ordnung: ż 1 z 2 ż 2 g L sin z 1 Anfangsbedingungen: z und ż

5 Daten: 2. Anfangswertprobleme 2. Ordnung Pendellänge: L 1m Anfangswinkel: Lösungsverfahren: 0 30, 0 90 und Das Gleichungssystem wird mit dem vierstufigen Runge-Kutta-Verfahren gelöst. # Funktion # Funktion global c g / l; global c g / l; function dotx f(x, t) function dotx f(x, t) global c; global c; dotx(1) x(2); dotx(1) x(2); dotx(2) - c sin(x(1)); dotx(2) - c sin(x(1)); end end 5.2-5

6 # Startwerte # Startwerte phi0 150; phi0 150; z zeros(n + 1, 2); z zeros(n + 1, 2); z(1, 1) phi0 pi / 180; z(1, 1) phi0 pi / 180; z(1, 2) 0; z(1, 2) 0; # Runge-Kutta-Verfahren # Runge-Kutta-Verfahren for i 1 : n for i 1 : n k1 f(z(i, :), t(i)); k1 f(z(i, :), t(i)); k2 f(z(i, :) + k1 dt / 2, t(i) + dt / 2); k2 f(z(i, :) + k1 dt / 2, t(i) + dt / 2); k3 f(z(i, :) + k2 dt / 2, t(i) + dt / 2); k3 f(z(i, :) + k2 dt / 2, t(i) + dt / 2); k4 f(z(i, :) + k3 dt, t(i) + dt); k4 f(z(i, :) + k3 dt, t(i) + dt); k (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4) / 6; k (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4) / 6; z(i + 1, :) z(i, :) + k dt; z(i + 1, :) z(i, :) + k dt; end end Ergebnisse: Die Diagramme auf den folgenden Seiten zeigen den Winkel als Funktion der Zeit sowie das Phasendiagramm

7 Winkel t : 5.2-7

8 Phasendiagramm : 5.2-8

9 Differenzialgleichungssysteme 2. Ordnung: Ein Differenzialgleichungssystem 2. Ordnung hat die Form mit den Anfangsbedingungen Für die neuen Variablen gilt: [ ẍ t ][ f [ [ x t ], [ ẋ t ],t ] ] [ x 0 ][ x 0 ], [ ẋ 0 ][ ẋ 0 ] [ z 1 t ][ x t ], [ z 2 t ][ ẋ t ] [ ż 1 ] [ z 2 ] [ ż 2 ] [ f [ [ z 1 ], [ z 2 ],t ]] Das ist ein Differenzialgleichungssystem 1. Ordnung der doppelten Dimension

10 Beispiel: Federpendel Freiheitsgrade: q 1 R R 0, q 2 P x Dabei ist R 0 die Länge der entspannten Feder. Kartesische Koordinaten: xr sin R 0 q 1 sin q 2 zr cos R 0 q 1 cos q 2 z φ R m

11 Bewegungsgleichungen: q 1 q 1 q 2 2 F 2 q 1 1 P 2 cos q 2 q 2 1 q 1 2 q 1 q 2 P 2 sin q 2 mit 2 F c m, 2 P g R 0 Die Transformation z 1 q 1, z 2 q 2, z 3 q 1, z 4 q 2 führt auf das Differenzialgleichungssystem 1. Ordnung ż 1 z 3 ż 2 z 4 ż 3 z 1 z 4 2 F 2 z 1 1 P 2 cos z 2 ż 4 1 z 1 2 z 3 z 4 P 2 sin z

12 Daten: 2. Anfangswertprobleme 2. Ordnung Statische Ruhelage: F 2 Anfangsbedingungen: Fall 1: F 2 24 s 2, P 2 8 s 2 q s 1 1 P 2 cos q s 2 0 P 2 sin q s 2 } q 01 1,05, q 02 0,02, q 01 0, q 02 0 q s 2 0 q s 1 1 P F 2 1,333 Fall 2: q 01 1,05, q 02 3,00, q 01 0, q 02 0 Zeitbereich: 0s t 50s, Δt 0,02s Lösungsverfahren: Octave-Funktion lsode

13 Octave-Code für die Differenzialgleichung: function function dotx dotx f(x, f(x, t) t) global global lambda1; lambda1; global global lambda2; lambda2; dotx(1) dotx(1) x(3); x(3); dotx(2) dotx(2) x(4); x(4); dotx3 dotx3 x(1) x(1) x(4)^2 x(4)^2 - - lambda1 lambda1 (x(1) (x(1) - - 1); 1); dotx(3) dotx(3) dotx3 dotx3 + + lambda2 lambda2 cos(x(2)); cos(x(2)); dotx4 dotx4 2 2 x(3) x(3) x(4) x(4) + + lambda2 lambda2 sin(x(2)); sin(x(2)); dotx(4) dotx(4) - - dotx4 dotx4 / / x(1); x(1); endfunction endfunction

14 Ergebnisse für Fall 1:

15 5.2-15

16 Ergebnisse für Fall 2:

17 5.2-17