Regelungstechnik I (WS 15/16) Übung 2

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1 Regelungstechnik I (WS 5/6) Übung Prof. Dr. Ing. habil. Thomas Meurer Lehrstuhl für Regelungstechnik Aufgabe. (Linearität, Zeitinvarianz). Überprüfen Sie die folgenden dynamischen Systeme auf Linearität bzw. Zeitinvarianz. a) tan ( 5 π) ÿ + 8y = 3 u b) y (3) 5ÿ + (+t) y = u(τ)dτ + 6 u c) 3ÿ ẏy = 7tu Aufgabe. (Jordansche Normalform). Gegeben sind die beiden autonomen Systeme ẋ = x } {{ } A und ẋ = x. } {{ } A (.) (.) Berechnen Sie die regulären Zustandstransformationen x = V z und x = V z, die die Systeme (.) und (.) in die Jordansche Normalform transformieren. Geben Sie außerdem die Matrizen A und A in Jordanscher Normalform an. Aufgabe.3 (Reelle Jordansche Normalform). Gegeben ist das Modell eines linearen Feder-Masse-Dämpfer-Systems [ ] [ ] ẋ = k m d x + u, x() = x m m y = [ ] x (.3) mit der Federsteifigkeit k, der Dämpfungskonstante d, der Masse m und u = F als Kraft auf die Masse. Für die Parameter gelte d < 4km. Berechnen Sie die reguläre Zustandstransformation x = V z, die das System (.3) in die reelle Jordansche Normalform transformiert und geben Sie das entsprechende transformierte System an.

2 Aufgabe.4 (Transitionsmatrix). Berechnen Sie die Transitionsmatrizen Φ der Systeme (.), (.) und (.3). Berechnen Sie die Lösung x(t) des Systems ẋ = A x + u (.4) mit A aus (.) für die Eingangsgröße u(t) = + t und den Anfangswert x = [ ] T. Geben Sie die Lösung x(t) des Systems (.3) für den Fall u =, x = [ ] T. Aufgabe.5 (Transitionsmatrix modifizierte Seilwinde). Betrachtet wird das lineare System der in Aufgabe. behandelten Seilwinde. Abweichend zur Aufgabe., wird hier die Hubgeschwindigkeit v(t) = rω(t) = rx 3 (t) als Ausgangsgröße y(t) betrachtet, was eine Veränderung des Ausgangsvektors c T nach sich zieht. Für die Seilwinde werden folgende Parameter angenommen: R a = Ω, L a =. H, Φ e = Vs, g = 9.8 ms, k =.5, k =.5, θ =. kgm, µ R =.5kgms, r =.4 m, m = kg Das System wird bei einer konstanten Winkelgeschwindigkeit x,r = ω(t) = rads betrieben, daraus ergibt sich folgender Arbeitspunkt x R = [ A rads ] T, ur = 8.96 V. Daraus folgt ẋ =A x + b + u, t >, x = x x R (.5) y =c T x + d u, t, mit Ra L a kφe L a.5 L a 5 A = =, b = =, k Φ e Θ µ R Θ 3x 3,R 5 5 c T = [ r ] = [.4 ], d =. Berechnen Sie die Transitionsmatrix Φ des Systems (.5) mit Hilfe der Laplace Transformation. Berechnen Sie den Verlauf des Ausgangs y(t) für die Anfangsbedingung x = [ ] T und die Stellgröße u(t) = e t.

3 Regelungstechnik I (WS 5/6) Lösung zu Übung Prof. Dr. Ing. habil. Thomas Meurer Lehrstuhl für Regelungstechnik Lösung. (Linearität, Zeitinvarianz). a) tan ( 5 π) ÿ + 8y = 3 u Mit den Zuständen x = y, x = ẏ ergibt sich [ ] [ ] ẋ = 8 tan ( ) 5 π x + 3( ) tan 5 π u linear u. zeitinvariant. (.6) (Der Ausgangs ist nicht definiert, eine sinnvolle Wahl wäre y = [ ] x.) b) y (3) 5ÿ + (+t) y = u(τ)dτ + 6 u Mit den Zuständen x = y, x = ẏ, x 3 = ÿ, x 4 = sich: ẋ = (+t) 5 x + 6 u(τ)dτ, x 5 = u(t) und dem Eingang v = u ergibt v A = A(t) das System ist linear und zeitvariant. (Der Ausgangs ist nicht definiert, eine sinnvolle Wahl wäre y = [ ] x.) (.7) c) 3ÿ ẏy = 7tu Mit den Zuständen x = y, x = ẏ ergibt sich: [ ] [ ] x ẋ = 3 x + 7 x 3 t u A = A(x), b = b(t) das System ist nichtlinear und zeitvariant. (.8) (Der Ausgangs ist nicht definiert, eine sinnvolle Wahl wäre y = [ ] x.) Lösung. (Jordansche Normalform). System Eigenwerte λ =, mit algebraischer Vielfachheit n =, (.9) λ =, mit algebraischer Vielfachheit n =. (.) Die geometrische Vielfachheit ergibt sich zu: g = n rang(a λ E) = (.) g =, da gilt: n k g k. (.) Jordannormalform: Ã = (.3) 3

4 4 Eigenvektoren: v = [ ] T v = [ ] T v = [ ] T (.4) Transformationsmatrix: V =, V = (.5) System Eigenwerte λ =, mit algebraischer Vielfachheit n =, (.6) λ =, mit algebraischer Vielfachheit n =. (.7) Die geometrische Vielfachheit ergibt sich zu: g = n rang(a λ E) = (.8) g =, da gilt: n k g k. (.9) Jordannormalform: Ã = (.) Eigenvektoren: v = [ ] T v = [ ] T v = [ 3 ] T (.) Transformationsmatrix: 3 3 V =, V = (.) Lösung.3 (Reele Jordansche Normalform). Eigenwerte λ, = d }{{} m α k ±j m d 4m } {{ } β (.3) Eigenvektoren: v = [ α + jβ k m] T, v = v (.4) V = [ ] α β k m, V = [ m] β k d kβ (.5)

5 Ã = 5 [ ] [ α β ], b = k d, β α kβ c T = [ α β ] (.6) ż = Ãz + bu, y = c T z Lösung.4 (Transitionsmatrix). System aus Aufgabe.: exp(t) Φ(t) = exp(t) exp(t) exp(t) (.7) exp(t) Lösung des Systems: x(t) = exp(t) exp(t) + exp(t) exp(t τ) exp((t τ)) ( + τ)dτ (.8) exp(t τ) x(t) = 7 4 exp(t) + 3 exp(t) t 5 4 (.9) 3 exp(t) t System aus Aufgabe.: exp(t) t exp(t) 3t exp(t) 3 exp(t) t exp(t) Φ(t) = exp(t) exp(t) exp(t) (.3) exp(t) mechanisches System aus Aufgabe.3: Φ(t) = exp(αt) α sin(βt) β cos(βt) β k sin(βt) βm ( ) ( ) β m αd sin(βt)+ αβm+βd βk d sin(βt) βm cos(βt) βm cos(βt) (.3) x(t) = exp(αt) [ α β ] sin(βt) + cos(βt) k βm sin(βt) (.3) Lösung.5 (Transitionsmatrix modifizierte Seilwinde). Es gilt Φ(t) = exp(at) ˆΦ = (se A) Daraus folgt für die laplace-transformierte Transitionsmatrix ˆΦ(s) s (se A) adj(se A) = det (se A) = + 5s 5 s ( s ) s + 35s s + 35s + 65 s + (.33) 5s s + s ˆd(s) = s ( ) s + 35s + 65 = 65s + 65 s 7 65 s + 35s + 65 = ( s 65 + s ) (s + 35 ) + ( ) (s + 35 ) + ( 5 ) (.34)

6 6 d(t) = ( + exp ( t)( cos ( 5 t) + 7 sin ( 5 t))) (.35) Daraus folgt d(t) + 5d(t) 5 d(t) Φ(t) = 5d(t) d(t) + 35 d(t) + 65 d(t) d(t) + d(t). (.36) 5d(t) d(t) + d(t) Für y(t) folgt damit y(t) = c T x(t) = c T Φ(t)x + = = sin ( 5(t τ) exp( 35t ) ( c T Φ(t τ)bu(τ)dτ (.37) ) ( 35(t τ) ) exp ( exp( τ))dt (.38) 5 exp ( 33t ) ( + 8 exp 35t ) ( + 7 cos 5t ) + 94 sin ( ) ) 5t 395 (.39)