tun, sondern nur mit der Reaktion auf verschiedene Anfangswerte.

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1 2.3 Stabilität Eine wichtige Rolle spielt das Stabilitätsverhalten dynamischer Systeme. Wie üblich sei Φ die Fundamentalmatrix des linearen Systems ẋ = A(t)x + u. Im weiteren sei t fixiert, später wird meist t = sein. Definition 1 Das lineare System ẋ = A(t)x + u heißt stabil wenn für t t < + gilt Φ(t, t ) C, asymptotisch stabil wenn für t + gilt Φ(t, t ), exponentiell stabil wenn für t s t < + gilt Φ(t, s) C e α(t s), mit gewissen positiven Konstanten α und C. Diese drei Stabilitätsdefinitionen implizieren, daß für jede Anfangsbedingung die zugehörige Lösung der homogenen Gleichung beschränkt bleibt, bzw. (exponentiell) gegen Null strebt. Stabilität hat im Sinne dieser Definition zunächst nichts mit dem Eingangs-Ausgangsverhalten des Systems zu 1

2 tun, sondern nur mit der Reaktion auf verschiedene Anfangswerte. Für autonome Systeme kann ein übersichtliches Kriterium für die Stabilität angegeben werden. Satz 6 Es sei A(t) = A = const. Das System ẋ = Ax ist (i) genau dann exponentiell stabil, wenn alle Eigenwerte von A negativen Realteil besitzen, (ii) genau dann asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte von A negativen Realteil besitzen, (iii) genau dann stabil, wenn alle Eigenwerte von A nichtpositiven Realteil haben und für jeden Eigenwert mit verschwindendem Realteil die geometrische Vielfachheit mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt (d.h. wenn alle zugehörigen Jordankästchen Diagonalform haben). Das Resultat erhält man unschwer mit Hilfe der Jordanschen Normalform. Es zeigt insbesondere, daß für autonome Systeme asymptotische und exponentielle Stabilität äquivalent sind. Man könnte denken, daß es für die asymptotische Stabilität des zeitabhängigen Systems ẋ = A(t)x ausreicht, 2

3 wenn die eingefrorenen Systeme ẋ = A(s)x für alle s asymptotisch stabil sind. Dies ist falsch! Die Eigenwerte der Matrix [ ] 4 3e 8t A(t) := e 8t sind für alle t gleich 1 und 3. Jedoch entspricht dem Anfangszustand x() = y() = δ die Lösung x(t) = (3e 5t 2e 7t ) δ, und diese ist unbeschränkt! y(t) = (2e t e 3t ) δ In der Systemtheorie sind außer der asymptotischen Stabilität verschiedene andere Stabilitätsbegriffe gebräuchlich, die sich auf das Eingangs-Ausgangs-Verhalten beziehen. Dabei werden insbesondere zwei Klassen von Eingangsbzw. Ausgangsfunktionen betrachtet: L (R + ), und L 2 (R + ) sind die Räume der beschränkten meßbaren, bzw. der quadratische summierbaren Funktionen auf der positiven (Zeit-) Achse. Diese Räume sind mit den Normen {, u := sup u(t), u 2 := u(t) dt} 2 <t< versehen. Definition 2 Man nennt das System ẋ = Ax + u BIBO-stabil (bounded-input-bounded-output), falls 3

4 für jeden Anfangszustand x() = x aus u L (R + ) folgt x L (R + ). Man nennt das System ẋ = Ax + u DIDO-stabil, (decaying-input-decaying-output), falls für jeden Anfangszustand x() = x aus u L 2 (R + ) folgt x L 2 (R + ). Hier steht decaying kurioserweise für die Zugehörigkeit einer Funktion zu L 2 (R + ). Physikalisch sind das gerade Signale mit endlicher Energie. Satz 7 Jedes lineare exponentiell stabile System (also speziell jedes autonome asymptotisch stabile) ist sowohl BIBO-stabil als auch DIDO-stabil. Beweis: 1. Die Lösung besitzt die Darstellung x(t) = Φ(t, t ) x + Der erste Summand liegt wegen Φ(t, t ) C e α(t t ) Φ(t, s) u(s) ds. sowohl in L als auch in L 2. Wir setzen deshalb im weiteren x = und wählen auch t =. 4

5 2. Zum Beweis der BIBO Stabilität schätzen wir ab x(t) C Φ(t, s) u(s) ds e α(t s) u(s) ds C u e αs ds C α u, also (für x = ) x C α u. 3. Zum Beweis der DIDO-Stabilität kann man eine nach Minkowski benannten Ungleichung verwenden: { 2 { f(t, s) ds dt} f(t, s) dt} 2 ds. In der Lösungsdarstellung substituieren wir zunächst τ := t s und erhalten 5

6 x(t) = = = Φ(t, s)u(s) ds Φ(t, t τ)u(t τ) dτ Φ(t, t τ)u(t τ) dτ wobei für s < gesetzt wurde u(s) =. Damit ist { 2 x 2 = Φ(t, t τ) u(t τ)dτ dt { Φ(t, t τ) u(t τ) dt} 2 dτ C C C = C α u 2. { e 2ατ u(t τ) dt} 2 dτ { e ατ u(t τ) dt} 2 dτ { e ατ u(s) ds} 2 dτ } 6

7 Bei nichtlinearen Systemen hat es wenig Sinn, allgemein von stabilen Systemen zu sprechen, weil diese Systeme sowohl stabile als auch instabile Elemente in sich vereinen können. Stattdessen geben wir folgende Definition: Definition 3 Eine für alle t t definierte Lösung x des Anfangswertproblems ẋ = f(t, x), x(t ) = a heißt stabil, wenn es für jedes ε > ein δ > gibt, so daß für alle h R n mit h < δ für die Lösung x h des Anfangswertproblems gilt ẋ = f(t, x), x(t ) = a + h x (t) x h (t) < ε, t > t. Gilt sogar x (t) x h (t), bzw. gibt es eine positive Konstante C mit x (t) x h (t) C e α(t s) x (s) x h (s), t < s < t <, so heißt die Lösung asymptotisch stabil bzw. exponentiell stabil. Die exponentielle und die asymptotische Stabilität einer Lösung x nichtlinearer Systeme ẋ = f(t, x) können 7

8 durch Linearisierung längs dieser Lösung untersucht werden. Satz 8 Sei x Lösung der Differentialgleichung ẋ = f(t, x) mit f C 1 und A(t) := D x f(t, x (t)). Wenn das lineare System ẋ = A(t) x asymptotisch (exponentiell) stabil ist, so ist auch die Lösung x asymptotisch (exponentiell) stabil. Der Beweis folgt aus der Variationsformel für die Lösungen des nichtlinearen Differentialgleichungssystems. Eine entsprechende Aussage für Stabilität schlechthin gilt nicht. 8