Institut für Elektrotechnik u. Informationstechnik. Systemtheorie - Nichtlineare Systeme

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1 Institut für Elektrotechnik u. Informationstechnik Systemtheorie - Nichtlineare Systeme Stabilitätskonzepte nach Ljapunov Prof. Dr. techn. F. Gausch 211

2 Inhaltsverzeichnis 1 Gegenüberstellung von Eigenschaften linearer und nichtlinearer Systeme Einteilung Spektrale Zusammensetzung des Ausgangssignals Lineares System Nichtlineares System Dauerschwingungen und Grenzzyklen Dauerschwingungen in linearen Systemen Grenzzyklen in nichtlinearen Systemen Stabilität von Ruhelagen und Systemen Stabilität von linearen Systemen Stabilität von Ruhelagen in nichtlinearen Systemen Stabilität von Ruhelagen nichtlinearer Systeme Stabilitätsdefinitionen Stabilität der Ruhelage eines freien Systems Stabilitätsprüfung nach der 1. Methode von Ljapunov Stabilitätsprüfung nach der 2. Methode von Ljapunov Grundgedanke: Gesamtenergie und ihre zeitliche Änderung Definitheit von Funktionen Ljapunov-Funktionen und Stabilitätssätze Konstruktion von Ljapunov-Funktionen Stabilität linearer Systeme Ljapunov-Matrix-Gleichung Ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für asymptotische Stabilität

3 1 Gegenüberstellung von Eigenschaften linearer und nichtlinearer Systeme 1.1 Einteilung Das zeitinvariante Eingrößensystem mit den Zustandsgrößen x = [x 1,..., x n ] T, der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y ẋ(t) = A x(t) + b u(t) x() = x y(t) = c T x(t) besitzt mit Φ(t) = e At die Lösung y(t) = c T Φ(t) x + während für das dynamische System t c T Φ(t τ) b u(τ) dτ =: G {x, u(τ)}, ẋ(t) = f(x(t), u(t)) x() = x y(t) = c(x(t)) die Lösung bzw. der Operator G im Allgemeinen nicht weiter spezifiziert werden kann: y(t) = G{x, u(τ)} 1

4 Gegenüberstellung von Eigenschaften 2 Gilt das Superpositionsgesetz (Additivität und Homogenität) G {x, u} = G {x, } + G {, u} G { α 1 x (1) + α 2 x (2), } = α 1 G { x (1), } + α 2 G { x (2), } G {, β 1 u (1) + β 2 u (2)} = β 1 G {,u (1)} + β 2 G {,u (2)} dann ist das System linear, andernfalls ist es nichtlinear. 1.2 Spektrale Zusammensetzung des Ausgangssignals Lineares System Das System nach Abbildung 1.1 ist linear, weil das Superpositionsprinzip gilt. x geeignet oder t u = sin ω t ẋ = Ax + bu, x y = A sin(ω t + ϕ) y = c T x Abbildung 1.1: Harmonische Erregung eines LZI-Systems. Beispiel: ẋ = x + u y = x y = e t x + t t = e t x + e t e (t τ) sin ω τ dτ = = e t x + e t { ω 1 + ω 2 e τ sin ωτ dτ = + 1 ( e t sin ω 1 + ω 2 t ω e t cos ω t )}

5 Gegenüberstellung von Eigenschaften 3 ( y(t) = e t x + ω ) 1 + ω 2 ( y(t) = x + ω ) e t ω 2 Mit ω = und x = ω 1 + ω ω 2 u(t) = sin t y (t) = 1 2 sin ω 2 }{{} A (sin ω t ω cos ω t) sin ω t arctan ω }{{ } ϕ =, 5 folgt (siehe Abbildung 1.2): ( t π ) 4 Fazit: y besitzt die gleiche spektrale Zusammensetzung wie u u(t).4 y(t) t 1 Abbildung 1.2: Lineares zeitinvariantes System bei harmonischer Eingangsgröße Nichtlineares System Überprüfung der Homogenität des Systems nach Abbildung 1.3 bezüglich der Eingangsgröße u verdeutlicht die nichtlineare Eigenschaft des Systems: u (1) = 1 y (1) = 1 u (2) = 2 y (2) = 1 y(2) 2 y (1)

6 Gegenüberstellung von Eigenschaften 4 u = sin ω t 1 y = sgn(u) 1 Abbildung 1.3: Harmonische Erregung eines nichtlinearen zeitinvarianten Systems. Mit der harmonischen Eingangsgröße u (t) = sin (t) folgt die Ausgangsgröße (siehe Abbildung 1.4): y (t) = 4 (sin t + 1 π 3 sin 3t + 1 ) 5 sin 5t + Fazit: y besitzt eine andere spektrale Zusammensetzung als u. 1.8 y(t).6.4 u(t) t 1 Abbildung 1.4: Nichtlineares System mit harmonischer Eingangsgröße.

7 Gegenüberstellung von Eigenschaften Dauerschwingungen und Grenzzyklen Dauerschwingungen in linearen Systemen Besitzt die Systemmatrix A des linearen freien Systems ẋ = A x mit x() = x ein konjugiert komplexes Eigenwertpaar s = δ ± jω, so besitzt die Lösung x(t) geeignet gewählten Anfangswerten x einen harmonischen Anteil x h (t) : bei x h = e δt sin ωt Im Falle δ = bezeichnet man diese Eigenbewegung mit Dauerschwingung. Beispiel: ẋ = δ ω ω δ x = x(t) = e δt cos ωt sin ωt sin ωt cos ωt x 1 x 2 Der Übergang zu Polarkoordinaten r(t) und ϕ(t) mit x 1 (t) = r(t) cos ϕ(t) x 2 (t) = r(t) sin ϕ(t) zur Darstellung der Trajektorien in der x 1 x 2 Ebene liefert: r(t) = x 2 1(t) + x 2 2(t) = = e δt r ϕ(t) = arctan x 2(t) x 1 (t) = = ϕ ωt Typische Trajektorienverläufe für δ <, δ = und δ > zeigt die Abbildung 1.5. Festzuhalten ist, dass die Amplitude einer Dauerschwingung vom Anfangszustand x abhängt.

8 Gegenüberstellung von Eigenschaften 6 X2 X2 X2 X X X r X1 X1 X1 Dauerschwingung Abbildung 1.5: Typische Trajektorienverläufe abhängig von δ Grenzzyklen in nichtlinearen Systemen Grenzzyklen sind nichtlineare Phänomene. Zur Einführung mache man aus dem linearen System des Beispiels aus dem Abschnitt ein nichtlineares System, indem δ = δ(x) gesetzt wird: ẋ = A(x) x = δ(x) ω x ω δ(x) Mit der Kenntnis über die typischerweise zu erwartenden Trajektorienverläufe in einer Umgebung von δ = (vgl. Abbildung 1.5) lassen sich folgende charakteristische Grenzzyklen konstruieren.

9 Gegenüberstellung von Eigenschaften 7 Fall 1: Stabiler Grenzzyklus ẋ = 1 (x2 1 + x 2 2 ) ω ω 1 (x x 2 2 ) x δ = 1 ( > für x < 1 ) x x 2 2 = für x = 1 < für x > 1 Zugehörige Trajektorien zeigt Abbildung 1.6 x 2 X 1 X 1 X 1 x 1 Abbildung 1.6: Stabiler Grenzzyklus (Fall 1). Fall 2: Instabiler Grenzzyklus ẋ = x2 1 + x ω x ω x x > für x > 1 δ = x x = für x = 1 < für x < 1 Zugehörige Trajektorien zeigt Abbildung 1.7

10 Gegenüberstellung von Eigenschaften 8 x 2 X 1 x 1 Abbildung 1.7: Instabiler Grenzzyklus (Fall 2). Fall 3: Semistabiler Grenzzyklus ẋ = (x2 1 + x 2 2 1) 2 ω ω (x x 2 2 1) 2 x δ = (x x 2 2 1) 2 > für x 1 = für x = 1 Zugehörige Trajektorien zeigt Abbildung 1.8

11 Gegenüberstellung von Eigenschaften 9 x 2 x 1 Abbildung 1.8: Semistabiler Grenzzyklus (Fall 3). Fall 4: Semistabiler Grenzzyklus ẋ = (x2 1 + x 2 2 1) 2 ω ω (x x 2 2 1) 2 δ = (x x 2 2 1) 2 < für x 1 = für x = 1 x Zugehörige Trajektorien zeigt Abbildung 1.9 x 2 x 1 Abbildung 1.9: Semistabiler Grenzzyklus (Fall 4).

12 Gegenüberstellung von Eigenschaften Stabilität von Ruhelagen und Systemen Stabilität von linearen Systemen Beispiel eines linearen Systems mit einem Kontinuum von Ruhelagen: R i u C x Abbildung 1.1: RC-Glied. Maschengleichung (inkl. Bauteilgleichung für den Widerstand R) und Bauteilgleichung der Kapazität C u = Ri + x Cẋ = i ergeben zusammen das mathematische Modell: ẋ = 1 RC x + 1 RC u mit x() = x Bestimmung der Ruhelagen: x(t) = x R = const. eingesetzt in das mathematische Modell liefert: = 1 RC x R + 1 RC u R x R = u R (1.1) Zu jedem u R gehört eine Ruhelage x R ; zur Beurteilung des Trajektorienverlaufs in der Umgebung einer Ruhelage mache man eine Koordinatentransformation x = x R + x, so dass die betrachtete Ruhelage x R im Ursprung des neuen Koordinatensystems liegt

13 Gegenüberstellung von Eigenschaften 11 x = für x = x R : ẋ = 1 RC x R 1 RC x + 1 RC u Gl.1.1 R = 1 RC x Fazit: Das mathematische Modell ist unabhängig von der betrachteten Ruhelage; daher ist der Stabilitätscharakter aller Ruhelagen gleich und damit ist Stabilität eine Eigenschaft des Systems Stabilität von Ruhelagen in nichtlinearen Systemen Der einfachen Schaltung aus dem vorigen Abschnitt wird ein nichtlineares Element (Tunneldiode) hinzugefügt: R i i c i d u C x Abbildung 1.11: RC-Glied mit Nichtlinearität. Maschengleichung (inkl. Bauteilgleichung für den Widerstand R), Knotengleichung und die Bauteilgleichungen der Kapazität C und der Tunneldiode u = ir + x i = i c + i d Cẋ = i c i d = g(x) ergeben zusammen das mathematische Modell: ẋ = 1 RC x + 1 RC u 1 C g(x) mit x() = x

14 Gegenüberstellung von Eigenschaften 12 Bestimmung der Ruhelagen x(t) = x R : = 1 RC x R + 1 RC u R 1 C g(x R) 1 R u R 1 R x R = g(x R ) (1.2) Mit gewissen Bauteilparametern besitzt Gl.1.2 drei Lösungen für x R = x Ri mit i = 1, 2, 3 (siehe Abbildung 1.12). Zur Beurteilung des Trajektorienverlaufs in der Umgebung einer u R /R a tan(a)=1/r g(x) x R1 x R2 x R3 x Abbildung 1.12: Lösung der Ruhelagengl. (1.2). Ruhelage x Ri mache man eine Koordinatentransformation x = x Ri + x, so dass die betrachtete Ruhelage x Ri im Ursprung des neuen Koordinatensystems liegt x = für x = x Ri : ẋ = 1 RC (x Ri + x) + 1 RC u R 1 C g(x Ri + x) Taylorreihenentwicklung der Funktion g(x) um x Ri g(x Ri + x) = g(x Ri ) + g x g x xri 2 x 2 x 2 + xri und anschließende Linearisierung durch Vernachlässigung der Glieder mit der Ordnung größer als 1 ẋ = 1 RC x Ri 1 RC x + 1 RC u R 1 C g(x Ri) 1 C g x x xri

15 Gegenüberstellung von Eigenschaften 13 führt unter Beachtung der Gl. 1.2 auf ein lineares mathematisches Modell ẋ = 1 1 C R + g x das von der betrachteten Ruhelage abhängig ist! xri x, Diese linearisierten Modelle sind (mit C>) asymptotisch stabil, wenn gilt: 1 R + g > x xri Aus Abbildung 1.12 folgt unter Beachtung der Steigungen g(x) x an den Ruhelagen x Ri : x R1 : linearisiertes Modell asymptotisch stabil x R2 : linearisiertes Modell instabil x R3 : linearisiertes Modell asymptotisch stabil Kann man aus der Stabilität der um die Ruhelagen linearisierten Modelle auf die Stabilität der Ruhelagen des nichtlinearen Systems schließen? In diesem Falle ja! Warum? = Indirekte Methode von Ljapunov

16 2 Stabilität von Ruhelagen nichtlinearer Systeme 2.1 Stabilitätsdefinitionen Stabilität der Ruhelage eines freien Systems lineares System nichtlineares System ẋ = A x ẋ = f(x) = A x R = f(x R ) x R = sei Ruhelage; d.h. es gilt insbesondere = f() (erforderlichenfalls mit einer Koordinatentransformation erreichbar). Definition 2.1 Die Ruhelage x R = heißt stabil, wenn zu jedem ε > ein δ(ε) > existiert, so dass x(t) < ε gilt, falls x < δ ist. Definition 2.2 Die Ruhelage x R = heißt [global] asymptotisch stabil, wenn sie stabil ist und außerdem lim t x(t) = [für alle x ] gilt. Zur grafischen Interpretation dieser Definitionen siehe Abbildung

17 Stabilität von Ruhelagen 15 Abbildung 2.1: Trajektorie in einer Umgebung der Ruhelage x R. 2.2 Stabilitätsprüfung nach der 1. Methode von Ljapunov Die Bedeutung dieser Methode (auch indirekte Methode von Ljapunov genannt) liegt darin, dass unter gewissen Voraussetzungen Stabilitätsaussagen im Rahmen von nichtlinearen Systemen möglich sind, indem man die Dynamik eines linearisierten Systems untersucht. ẋ = f(x) (2.1) = f() x R = Entwicklung von f in eine Taylorreihe um x = unter der Annahme, dass f stetig differenzierbar ist: z.b.: dim x = n = 1: f(x) = f() + f x + 1 x 2 2 f x 2 x ! 3 f x 3 x

18 Stabilität von Ruhelagen 16 z.b.: n = 2 f 1 (x 1, x 2 ) = f 1 (, ) + f 1 x x f 1 x, x r 1 (x 1, x 2 ), f 2 (x 1, x 2 ) = f 2 (, ) + f 2 x x f 2 x, x r 2 (x 1, x 2 ), In Matrizenschreibweise für n beliebig mit x = A = x 1 f. ; f = 1. x n f n f 1 f 1 x 1 x n.. f n f n x 1 x n x= ; r = r 1. r n (Jakobi-Matrix) ergibt sich zunächst ẋ = f(x) = f() + Ax + r(x) und schließlich unter Beachtung der Bestimmungsgleichung für die Ruhelage in den Gln. (2.1) r(x) ẋ = Ax + r(x) mit lim x x =, (2.2) wobei die Restglieder r i der Taylorreihenentwicklung mit i = 1,... n r i (x 1,, x u ) = 1 2 f i 2 x 2 x f i 1 2 x 2 x 2 n + n f i 3! x 3 x f i x 3 1 3! n + x 3 n die Eigenschaft besitzen, schneller gegen zu streben als x. Deshalb wird das dynamische Verhalten des nichtlinearen Systems (2.2) in einer hinreichend kleinen Umgebung der Ruhelage x R = allein durch den linearen Anteil bestimmt. Es gilt der folgende Satz

19 Stabilität von Ruhelagen 17 (wobei h(x) nun nicht mehr die Restglieder einer Taylorreihenentwicklung sein mü sen): Satz 2.1 Die Ruhelage x = des nichtlinearen Systems h(x) ẋ = A x + h(x) mit lim x x = ist asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte von A negativen Realteil besitzen, und instabil, wenn mindestens ein Eigenwert von A einen positiven Realteil besitzt. Die Anwendung dieses Satzes ist meist "1. Wahl" bei der Beantwortung von Stabilitätsfragen im Rahmen von nichtlinearen Systemen; allerdings ist die Aussagekraft auch eingeschränkt: 1. Aussage gilt nur in einer hinreichend kleinen Umgebung der Ruhelage. 2. Liegen Eigenwerte von A auf der imaginären Achse, ist keine Aussage möglich. 3. Keine Aussage möglich für ẋ = f(x), da A = auch s 1 = = s n = bedeutet siehe 2. Beispiel 1 ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 1 x 2 α = x R = In Matritzenschreibweise: ẋ = 1 1 x + x 2 α = A x + h(x) h(x) lim x x : lim h 2 (x 2 ) x 2 x 2 = lim x 2 x 2 α 1 = α > 1 α 1 det (se A) = s 1 1 s = s2 + 1 s 1,2 = ±j

20 Stabilität von Ruhelagen 18 Wegen der Lage der Eigenwerte auf der imaginären Achse ist keine Stabilitätsaussage möglich (unabhängig von α). Beispiel 2 Bestimmung der Ruhelagen: ẋ 1 = x 1 + x 2 ẋ 2 = x 1 x 2 + x 2 α = x 1R = x 2R x 1R = x 2R = x 1R x 2R + x 2R α x (1) R = x (2) R = 2 1 α x (1) 2R = x (2) 2R = 2 1 α 1 z. B.: α =.5 : x (2) R = α = 2 : x (2) R = Stabilitätsprüfung der Ruhelage x (1) R : ẋ = x + x 2 α = A x + h(x) h(x) lim x x : lim h 2 (x 2 ) x 2 x 2 = lim x 2 x 2 α 1 = α > 1... Aussage möglich α 1... keine Aussage Stabilitätsaussage für α = 2 : s det (se A) = 1 s + 1 = (s + 1)2 + 1 = s 1,2 = 1 ± j Re {s 1,2 } = 1 < x (1) R (vgl. Abbildung 2.2) für α = 2 asympt. stabil

21 Stabilität von Ruhelagen 19 2 x 2 1 =,5 x R (2) as. stab. x R (1)? 1 2 x 1 2 x 2 x R (2) instab. 1 =,5 2 x R (1) as. stab. 1 2 x 1 Abbildung 2.2: Stabilitätsaussagen mit der 1. Methode. Stabilitätsprüfung der Ruhelage x (2) R : Zuerst Koordinatentransformation x = x x (2) R, so dass x = für x = x (2) R :

22 Stabilität von Ruhelagen 2 1) α = 2: x 1 = x 1 2 x 2 = x 2 2 x 1 = ( x 1 + 2) + ( x 2 + 2) = x 1 + x 2 x 2 = ( x 1 + 2) ( x 2 + 2) + x = = x 1 x ( x 2 + 2) 2 = = x 1 x x x = = x x 2 + x 2 2 x = x + x 2 2 = à x + h( x) h( x) lim x x : lim x 2 x 2 2 x 2 = lim x 2 = x 2 EWe v. Ã: det ( se à ) = (s + 1) (s 3) + 1 = s 1,2 = 1 ± 3 1 EW rechts : x = instabil x (2) R (vgl. Abbildung 2.2) für α = 2 instabil 2) α =.5: x 1 = x 1, 25 x 1 = x 1 +, 25 x 2 = x 2, 25 x 2 = x 2 +, 25 x 1 = x x 2 +, 25 = x 1 + x 2 x 2 = x 1, 25 x 2, 25 + x 2 +, 25.5 = x 1 x 2, 5 + x 2 +, 25 x 2 +, 25 =, 5 + x 2 x x x x 5 2 ± x 1 = x 1 + x 2 x 2 = x 1 x x x x 5 2 ± }{{} h 2 ( x 2 )

23 Stabilität von Ruhelagen 21 x= x + Grenzwertbedingung für h 2 ( x 2 ) erfüllt: h 2 ( x 2 ) = à x + h( x) EWe v. Ã: det ( se à ) = (s + 1) s + 1 = s 1,2 = 1 2 ± j 3 2 Re {s 1,2 } = 1 < x = asympt. stabil x(2) R 2 (vgl. Abbildung 2.2) für α =.5 asympt. stabil 2.3 Stabilitätsprüfung nach der 2. Methode von Ljapunov Grundgedanke: Gesamtenergie und ihre zeitliche Änderung Man betrachte ein freies System ẋ = f(x) mit der Ruhelage in x =, für das ein Ausdruck für die Gesamtenergie E(x) mit den folgenden Eigenschaften angegeben werden kann: E(x) = für x = > für x (2.3) Wird das System mit einer Anfangsauslenkung x aus der Ruhelage gebracht, so besitzt es dort die Gesamtenergie E(x ) >. Nimmt nun die Gesamtenergie E(x(t)) entlang der Trajektorie x(t) ständig ab, gilt also lim E(t) =, so bedeutet dies gemäß der t Eigenschaft (2.3), dass auch lim x(t) = gilt, so dass daraus möglicherweise geschlossen t werden kann, dass die Ruhelage x = asymptotisch stabil ist; wenn hingegen die Gesamtenergie E(x(t)) entlang der Trajektorie x(t) konstant bleibt, also E(x(t)) = E(x ) gilt, so kann daraus unter Umständen geschlossen werden, dass die Ruhelage x = stabil ist.

24 Stabilität von Ruhelagen 22 Energiebetrachtungen an zwei linearen Systemen:1. Lineares elektrisches System Mathematisches Modell u i Abbildung 2.3: RCL-Glied. Ri + u + L di dt C du dt = = i umgeformt: di dt = R L i 1 L u i () = i du dt = 1 C i u () = u Ruhelage: i =, u = Die Gesamtenergie als Summe der in der Kapazität gespeicherten elektrischen Energie W E und der in der Induktivität gespeicherten magnetischen Energie W M sowie ihre zeitliche Änderung: E = W M + W E = 1 2 Li Cu2 de = Li ı + Cu u = Li ( R dt L i 1 ) L u + Cu 1 C i = Ri2 Für R > nimmt die Energie E ausgehend von ihrem Anfangsniveau E = E(t = ) = 1 2 Li Cu2 monoton ab, so dass der elektrische Schwingkreis wieder zur Ruhe kommt (vgl. Abbildung 2.4), während für R = das Energieniveau mit E(t) = E unverändert bleibt (vgl. Abbildung 2.5). Im 1. Fall ist das System asymptotisch stabil, im 2. Fall stabil.

25 Stabilität von Ruhelagen E x x Abbildung 2.4: Trajektorie für R >. 1.5 E x x Abbildung 2.5: Trajektorie für R =.

26 Stabilität von Ruhelagen Lineares mechanisches System c F R m F D d RL z Abbildung 2.6: Lineares mechanisches System. Gleichungen des mathematisches Modells F R = cz F D = dż m v = F R F D = cz dż umgeformt: ż = v z() = z v = c m z d m v v() = v Ruhelage: z =, v = Gesamtenergie als Summe aus kinetischer Energie T der Masse und der in der Feder gespeicherten potentiellen Energie V sowie ihre zeitliche Änderung: E = T + V = 1 2 mv cz2 de = mv v + czż = mv ( cm dt z dm ) v + czυ = dv 2 Mit Dämpfer (d > ) nimmt die Energie E ausgehend von ihrem Anfangsniveau E = E(t = ) = 1 2 mv cz2 monoton ab, so dass der mechanische System wieder zur Ruhe kommt, während für d = (ohne Dämpfer) das Energieniveau mit E(t) = E unverändert bleibt. Im 1. Fall ist das System asymptotisch stabil, im 2. Fall stabil.

27 Stabilität von Ruhelagen 25 Allgemein: Energiebetrachtungen an einem linearen System ẋ = A x RL: x = E(x) Ė(x) = de dt = = E ẋ E ẋ n = x 1 x n = [ E x 1 E x n = E x ẋ = E x A x ] ẋ 1. ẋ n = Auf diese Weise sind die Energiefunktion E und das betrachtete lineare System mit der Dynamikmatrix A verknüpft. Energiebetrachtungen an einem nichtlinearen System: Dieses Beispiel soll darauf hinweisen, dass die Energiebetrachtungen auch dann zur Beantwortung von Stabilitätsfragen herangezogen werden können, wenn sich in der Energiefunktion nicht die Gesamtenergie niederschlägt. R = 1 i c i d = g (x) = 7x - 9qx 2 + 3x 3 u C = 1 x Abbildung 2.7: Nichtlineares System. Mathematisches Modell: ẋ = x + u g(x) = 8x + 9x 2 3x 3 + u (2.4)

28 Stabilität von Ruhelagen 26 Bestimmungsgleichung für die Ruhelagen: x R + g(x R ) = u R (2.5) Mit u R = 2 ergeben sich drei Ruhelagen (vgl. Abbildung 1.12): x R = x R1 = x R2 = 1 x R3 = Für die Gesamtenergie E(x) = 1 2 x2 gilt E(x) für x = x R ; zweckmäßig ist daher eine Transformation in der die Abweichungen z von der Ruhelage betrachtet werden x = x R + z (2.6) u = u R und die Einführung einer neuen Energiefunktion mit den Eigenschaften (2.3): V (z) = 1 2 z2 (2.7) Transformation (2.6) in das Modell (2.4) eingesetzt, ergibt (x R + z) = 8 (x R + z) + 9 (x R + z) 2 3 (x R + z) 3 + u R, woraus unter Beachtung der Ruhelagen-Gl. (2.5) folgt: ż = ( 8 18x R + 9x 2 R ) z + 9 (1 xr ) z 2 3z 3 Die Auslenkungen z aus den drei Ruhelagen x R1, x R2, x R3 werden daher durch die fol-

29 Stabilität von Ruhelagen 27 genden mathematischen Modelle beschrieben: x R1 : ż = 2z + 5.2z 2 3z 3 x R2 : ż = z 3z 3 x R3 : ż = 2z 5.2z 2 3z 3 Die zeitliche Änderung der zugehörigen Energiefunktion (2.7) an den drei Ruhelagen berechnet sich zu 2z z 3 3z 4 V (z) = zż = z 2 3z 4 2z 2 5.2z 3 3z 4 und ist jeweils in einem der folgenden Bilder dargestellt. dv/dt z Abbildung 2.8: V (z) in einer Umgebung RL xr1.

30 Stabilität von Ruhelagen 28 dv/dt z Abbildung 2.9: V (z) in einer Umgebung RL xr2. dv/dt z Abbildung 2.1: V (z) in einer Umgebung RL xr3.

31 Stabilität von Ruhelagen 29 Zusammenfassung Der Stabilitätscharakter der drei Ruhelagen wurde bereits mit Hilfe der 1. Methode von Ljapunov bestimmt, so dass ihm nun die Ënergiefunktion"V und ihre zeitliche Änderung V gegenübergestellt werden kann (dabei gilt immer V () = und V () = ): x R1 : x R2 : x R3 : RL asymptotisch stabil; Einzugsbereich.42 < z <, 58 in diesem Bereich gilt: V (z) > ; V (z) < ; RL instabil; in einer beliebig kleinen Umgebung gilt: V (z) > V (z) > RL asymptotisch stabil; Einzugsbereich.42 < z in diesem Bereich gilt: V (z) > V (z) < Dieser Zusammenhang zwischen den Vorzeichen von V und V und dem Stabilitätscharakter der Ruhelage wurde von Ljapunov mathematisch exakt formuliert und zudem dahingehend erweitert, dass die Ënergiefunktion"frei gewählt werden kann also gar nicht mehr eine Energieform abbilden muss. Für eine Ordnung n > 1 muss noch geklärt werden, was mit V (x 1,..., x n ) = V (x) > und V () = zu verstehen ist. z.b. Abbildung 2.11: V (x 1, x 2 ) = x 2 2

32 Stabilität von Ruhelagen 3 V -4-2 x x2 4 Abbildung 2.11: Semidefinite Funktion Definitheit von Funktionen Definition 2.3 Eine stetige Funktion V (x) heißt positiv [semi-]definit in einer Umgebung von x =, wenn dort gilt: V () = V (x) > [ ] für x Eine stetige Funktion V (x) heißt negativ [semi-]definit, wenn { V (x)} positiv [semi-]definit ist. Beispiele für V (x) = V (x 1, x 2, x 3 ): V (x 1, x 2, x 3 ) = x x x 4 3 positiv definit V (x 1, x 2, x 3 ) = x x 2 2 positiv semi-definit V (x 1, x 2, x 3 ) = x x x 2 3 x 4 3 = x x x 2 3 (3 x2 3 ) pos. def. f. x 3 < 3 V (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 + x 2 + x 2 3 indefinit V (x 1, x 2, x 3 ) = x x (sin x 3 ) 2 pos. def. f. x 3 < π Kriterien für Definitheit existieren für homogene Funktionen, also für Funktionen mit

33 Stabilität von Ruhelagen 31 der Eigenschaft V (αx) = α κ V (x); darin ist κ der Grad der Homogenität. Offensichtlich ist eine homogene Funktion indefinit, wenn ihr Grad κ ungerade ist. V (x) = c T x = c 1 x c n x n V (αx) = c T (αx) = αc T x = α 1 V (x) Eine quadratische Form V (x) = x T Q x ist eine homogene Funktion vom Grad κ = 2. V (x) = x T Q x V (αx) = ( αx T ) Q (αx) = α 2 x T Q x = α 2 V (x) Für eine quadratische Matrix Q = Q s + Q ss mit einem symmetrischen Anteil Q s und einem schiefsymmetrischen Anteil Q ss gilt: Q s = 1 2 ( Q + Q T ) mit Q T s = Q s Q ss = 1 2 ( Q Q T ) mit Q T ss = Q ss Da V (x) ein Skalar ist gilt: V (x) = 1 2 ( x T Qx+ ( x T Qx ) T ) = 1 ( x T Qx + x T Q T x ) = x T 1 ( ) Q + Q T x = x T Q s x 2 2 Q = 5 3 = x T Q x = [ ] x 1 x x 1 = [ ] x 1 x 2 5x 1 + 3x x 2 x 1 + x 2 = 5x x 1 x 2 + x 2 2 x T Q S x = [ ] x 1 x x 1 = [ ] x 1 x 2 5x 1 + 2x x 2 2x 1 + x 2 = 5x x 1 x 2 + x 2 2

34 Stabilität von Ruhelagen 32 Kriterien für quadratische Formen mit reeller symmetrischer Matrix V (x) = x T Q x mit Q = Q T reell Alle Eigenwerte von Q sind reell. V (x) = x T Q x ist genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte von Q positiv sind. V (x) = x T Q x ist genau dann positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte von Q nicht negativ sind. V (x) = x T Q x ist genau dann indefinit, wenn Q positive und negative Eigenwerte besitzt. V (x) = x T Q x ist genau dann positiv definit, wenn alle führenden Hauptminoren von Q positive Determinanten besitzen (alle "nordwestlichenünterdeterminanten von Q sind positiv Silvester-Kriterium). V (x) = x T Q x ist genau dann positiv semidefinit, wenn alle Hauptminoren von Q nicht negative Determinanten besitzen. Beispiel: V (x) = x T x = 2x x 1 x 3 + 3x x 2 x 3 + x 2 3 Da nicht alle nordwestlichen Unterdeterminanten >, 3 = 6 >, = 24 < positiv sind, ist die quadratische Form nicht positiv definit; sie ist indefinit, da die Matrix zwei positive und einen negativen Eigenwert besitzt: s 1 = , s 2 = , s 3 =

35 Stabilität von Ruhelagen Ljapunov-Funktionen und Stabilitätssätze Wie die Beispiele im Abschnitt gezeigt haben, versucht man mit der Konstruktion einer positiv definiten Funktion V (x), der sogenannten Ljapunov-Funktion, und der Überprüfung der Definitheit der zeitlichen Änderung V (x) eine Aussage über die Stabilität der Ruhelage zu machen. Gegeben: ẋ = f(x) mit f() = V (x) Ableitung von V (x) entlang der Trajektorie x(t): V (x) = dv dt = V x ẋ = V x f(x) Definition 2.4 Gilt in einer Umgebung von x = V (x) V (x) positiv definit negativ semi-definit [negativ definit], so wird V (x) [strenge] Ljapunov-Funktion genannt. Stabilitätssätze Satz 2.2 Existiert in einer Umgebung der Ruhelage x = eine Ljapunov- Funktion, so ist die Ruhelage stabil. Satz 2.3 Existiert in einer Umgebung der Ruhelage x = eine strenge Ljapunov- Funktion, so ist die Ruhelage asymptotisch stabil. Satz 2.4 Ist die Ruhelage x = asymptotisch stabil, so gehört das Gebiet V (x) < k zum Einzugsgebiet (das ist die Gesamtheit aller Punkte x() im Zustandsraum, von denen aus lim t x(t) = gilt).

36 Stabilität von Ruhelagen 34 Gebiet G 2, in dem V<k* und das vollständig in G 1 liegt x 2 Gebiet G 1, in dem dv/dt neg. def. x 1 V = k 2 V = k* V = k 1 k 2 > k* > k 1 Abbildung 2.12: G2 gehört zum Einzugsgebiet. Satz 2.5 Existiert eine strenge Ljapunov-Funktion im gesamten Zustandsraum, so ist die Ruhelage x = global asymptotisch stabil, wenn V (x) radial unbeschränkt ist: V (x) für x z Abbildung 2.13: Beispiel einer radial beschränkten Funktion V(x 1, x 2 ).

37 Stabilität von Ruhelagen 35 Instabitlitätssatz Satz 2.6 Existiert in einer Umgebung der Ruhelage x = eine Funktion mit V () = V (x) positiv definit, so ist die Ruhelage instabil, wenn V (x) > in einer noch so kleinen Umgebung der Ruhelage. Beispiel: Das homogene Pendel in Abbildung 2.14 bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerkraft und eines Reibungsmomentes. M = d r. mg l, J = ml2 3 Abbildung 2.14: Stabilitätsuntersuchungen am homogenen Pendel. Damit lautet die Bewegungsgleichung: J ϕ = d ϕ mg l 2 sin ϕ Die konstanten Parameter mögen die Zahlenwerte J = 1, d = 1, mgl/2 = 1 besitzen;

38 Stabilität von Ruhelagen 36 darüber hinaus sei x 1 := ϕ, x 2 := ϕ: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = sin x 1 x 2 Im Weiteren wird die Ruhelage x R = betrachtet. Mit der Gesamtenergie E als Summe über die kinetische Energie K und die potentielle Energie P K = J ϕ2 2 P = l (1 cos ϕ) mg 2 ergibt sich mit obiger Skalierung der folgende Ansatz für eine Ljapunov-Funktion und zugehöriger zeitlicher Änderung: V (x) = E(x) = 1 2 x2 2 + (1 cos x 1 ) positiv definit für } x 1 < 2π V (x) = x 2 ẋ 2 + sin x 1 ẋ 1 = = x 2 sin x 1 x sin x 1 x 2 = x 2 2 negativ semi-definit Nach Definition (2.4) und Stabilitätssatz (2.2) ist die Ruhelage x = stabil. Kann man mit einem erweiterten Ansatz für die Ljapunov-Funktion die asymptotische Stabilität der Ruhelage zeigen? Die Erweiterung bestehe darin, den quadratischen Term in V (x) durch eine quadratische Form zu ersetzen: V 1 (x) = x T Q x + (1 cos x 1 ) = x T a c = ax cx 1 x 2 + bx (1 cos x 1 ) c b x+ (1 cos x 1 ) = V 1 (x) = 2ax 1 ẋ 1 + 2c (ẋ 1 x 2 + ẋ 2 x 1 ) + 2bx 2 ẋ 2 + sin x 1 ẋ 1 =... = = 2(c b)x (a c) x 1 x 2 (2cx 1 + (2b 1) x 2 ) sin x 1 }{{}}{{} a=c b= 1 2

39 Stabilität von Ruhelagen 37 Können die freien Parameter so gewählt werden, dass V 1 (x) eine strenge Ljapunov- Funktion ist? Mit a = c (2.8) b = 1 2 bringt man zunächst die indefiniten Terme in V 1 zum Verschwinden; V 1 (x) ist positiv definit, wenn gemäß dem Silvester-Kriterium a > (2.9) ab c 2 > ist und x 1 < 2π (2.1) Die Bedingungen (2.8) und (2.9) sind für c = 1 erfüllt; das Ergebnis für V 4 1(x) und V 1 (x) ist damit: V 1 (x) = 1 4 x x 1x x2 2 + (1 cos x 1 ) positiv definit für x 1 < 2π V 1 (x) = 1 2 (x2 2 + x 1 sin x 1 ) negativ definit für x 1 < π V 1 (x) ist nach Definition (2.4) eine strenge Ljapunov-Funktion, woraus mit Satz (2.3) folgt, dass die Ruhelage x = asymptotisch stabil ist. Abbildung 2.15 zeigt die geschlossenen Kurven V 1 (x) = k für k = 1 (innere Kurve), k = 2 (mittlere Kurve), k = k = π (äußere Kurve). Das Gebiet, das von der äußeren Kurve umschlossen wird, liegt vollständig innerhalb des Gebietes x 1 < π, in dem V 1 (x) negativ definit ist und gehört laut Satz 2.4 zum Einzugsgebiet der Ruhelage x =. Das Trajektorien-Bild 2.16 zeigt, wie viel damit vom tatsächlichen Einzugsgebiet erfasst ist.

40 Stabilität von Ruhelagen 38 x_ x_1-3 Abbildung 2.15: Geschlossene Kurven V 1 (x 1, x 2 ) = k. Abbildung 2.16: Einzugsgebiet und ermitteltes Teilgebiet.

41 Stabilität von Ruhelagen Konstruktion von Ljapunov-Funktionen A Ansatz einer Funktion V (x) und bilden von V/ x (durch Differentiation) zur Berechnung von V (x): ẋ = f(x) f() = Zwei oft gewählte Wege sind: V (x) V (x) = V x ẋ = V x f(x) A1. Ansatz von V (x) als Energiefunktion V (x) = E(x) A2. Ansatz von V (x) als quadratische Form Ansatz für V (x) = x T Q x mit freien Parametern in der Matrix Q, die so gewählt werden, dass V (x) positiv definit und V (x) negativ definit in einem möglichst großen Gebeiet um die Ruhelage ist - falls asymptotische Stabilität nachgewiesen werden soll. Beispiel: ẋ 1 = ( x x ) x 1 + x 2 ẋ 2 = x 1 + ( x x ) x 2 V = x T Q x = x T a c x c b V = ax cx 1 x 2 + bx 2 2 positiv definit für a > o ab c 2 >

42 Stabilität von Ruhelagen 4 V = 2ax 1 ẋ 1 + 2c (ẋ 1 x 2 + x 1 ẋ 2 ) + 2bx 2 ẋ 2 = = 2a ( x x ) x ax 1 x b ( x x ) x 2 2 2bx 1 x c [( x x ) x 1 x 2 + x 2 2 x ( x x ) ] x 1 x 2 = = 2 ( x x ) ( ) ax bx cx 1 x ( ) cx 2 2 cx (a b) x 1 x 2 }{{}}{{} vollständiges Quadrat mit a=b=c ist nicht erlaubt c = kein vollständiges Quadrat möglich a = b V = 2a ( x x ) ( ) x x 2 2 V = a ( ) x x 2 2 negativ definit für x x 2 2 < 1 Nach Satz 2.4 gehört das Gebiet x x 2 2 < 1 zum Einzugsgebiet der Ruhelage x = ; in diesem Beispiel ist dies auch das tatsächliche Einzugsgebiet, siehe Abbildung 1.7. B Ansatz eines Gradienten V/ x und bilden von V (x) durch Integration: V (x) ẋ = f(x) f() = V (x) = V x ẋ = V x f(x) Die Methode des variablen Gradienten wird bei Systemen mit nicht zu komplizierter Struktur oft zur Konstruktion von Ljapunov-Funktionen benutzt.

43 Stabilität von Ruhelagen 41 B1. Methode des Variablen Gradienten nach Schulz und Gibson 1. Ansatz für den Gradienten von V : grad V = mit a ij = a ij (x 1,..., x n ), V x 1 = a 11 x 1 + +a 1n x n. = V x n = a n1 x 1 + +a nn x n ( ) T V x ( ) T V = A(x) x x i, j = 1,..., n. Da es sich um den Gradienten einer skalaren Funkion handelt, muss notwendigerweise die Integrabilitätsbedingung 2 V x i x j = 2 V x j x i erfüllt sein; ein einfacher Ansatz für die Matrix A, der diesen Bedingungen genügt, lautet: A = a 11 (x 1 ) a 12 a 13 a 1n a 12 a 22 (x 2 ) a 23 a 2n a 13 a 23 a 33 (x 3 ) a 3n.... a 1n a nn (x n ) V x = (Ax)T = x T A T = x T A 2. Bildung der Ableitung: dv dt = xt A(x) f(x) Wahl der freien Parameter in A so dass V in einem möglichst großen Gebiet um x = negativ definit ist, sofern asymptotische Stabilität mit Einzugsgebiet untersucht werden soll. 3. Bildung von V durch Integration: dv = V x 1 dx 1 + V x 2 dx V x n dx n

44 Stabilität von Ruhelagen 42 V (x) V () dv = x ( V dx 1 + V dx V ) dx n = V (x) x 1 x 2 x n Da das Integral vom Integrationsweg unabhängig ist, wird ein möglichst einfacher Weg gewählt z. B. für n = 3 in der folgenden Abbildung: x 3 x (x 1, x 2, x 3 ) (x 1,, ) (x 1, x 2, ) x 1 x 2 V (x 1, x 2, x 3 ) = + + x 1 x 2 x 3 V dξ + x 1 (ξ,,) dx 2 = dx 3 = V dξ + x 2 (x1,ξ,) dx 1 = dx 3 = V x 3 dξ dx 1 = dx 2 = (x1,x 2,ξ) V = (a x 1 11 (x 1 ) x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ) (ξ,,) = a 11 (ξ) ξ (ξ,,) V = (a x 2 12 x 1 + a 22 (x 2 ) x 2 + a 23 x 3 ) (x1,ξ,) = a 12x 1 + a 22 (ξ) ξ (x1,ξ,) V = (a 13 x 1 + a 23 x 2 + a 33 (x 3 )x 3 ) x (x1,x 2,ξ) = a 13x 1 + a 23 x 2 + a 33 (ξ)ξ 3 (x1,x 2,ξ) V (x 1, x 2, x 3 ) = x a 11 (ξ) ξdξ + x 2 x 3 (a 12 x 1 + a 22 (ξ) ξ) dξ + (a 13 x 1 + a 23 x 2 + a 33 (ξ)ξ) dξ

45 Stabilität von Ruhelagen 43 Beispiel: Stabilitätsprüfung für einen Regelkreis mit einem linearen dynamischen System beschrieben durch die Übertragungsfunktion G(s) = 1 s(s+1) Nichtlinearität N gegeben durch u = e 3. und einer statischen r e u y N G(s) Ein zur gegebenen Übertragungsfunktion gehörendes Zustandsmodell ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 2 + u y = x 1 ergibt mit e = y = x 1 das Zustandsmodell des Regelkreises ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 2 x 3 1 mit der einzigen Ruhelage x =, deren Stabilitätscharakter mit Hilfe der Gradientenmethode zu untersuchen ist. 1) Gradientenansatz V x 1 = a 11 (x 1 ) x 1 + a 12 x 2 V x 2 = a 12 x 1 + a 22 (x 2 ) x 2

46 Stabilität von Ruhelagen 44 2) Bildung der Ableitung V = [a 11 (x 1 ) x 1 + a 12 x 2 ] x 2 [a 12 x 1 + a 22 (x 2 ) x 2 ] ( x 2 + x1) 3 = = a 12 x 4 1 [a 22 (x 2 ) a 12 ] x [ a 11 (x 1 ) a 12 a 22 (x 2 ) x1] 2 x1 x 2 V ist negativ definit für alle x, falls a 12 > a 22 (x 2 ) a 12 > (2.11) a 11 (x 1 ) = a 12 + a 22 (x 2 ) x 2 1 gilt, woraus folgt: a 12 > a 22 > a 12 a 22 = const. a 11 (x 1 ) = a 12 + a 22 x 2 1 3) Durch Integration findet man für V (x 1, x 2 ): V (x 1, x 2 ) = x 1 [ a12 + a 22 ξ 2] ξdξ + x 2 [a 12 x 1 + a 22 ξ] dξ = = a 12 x 1 ξdξ + a 22 x 1 ξ 3 dξ + a 12 x 1 x 2 dξ + a 22 x 2 ξdξ = x 2 1 = a a x a x x 1 x 2 + a 22 2 = = a 22 4 x xt Q x mit Q = a 12 a 12 a 12 a 22

47 Stabilität von Ruhelagen 45 Nach dem Silvester-Kriterium ist V positiv definit, wenn a 12 > a 12 a 22 a 2 12 = a 12 (a 22 a 12 ) > gilt; beide Bedingungen sind mit den Bedingungen (2.11) bereits erfüllt. Es gilt also V negativ definit x V positiv definit x und V (x) für x, womit die Ruhelage x = gemäß Satz 2.5 global asymptotisch stabil ist.

48 3 Stabilität linearer Systeme (S) ẋ(t) = A x(t) x Ruhelagen: = A x R x R = ist immer Ruhelage (3.1) A regulär: nur x R = (wenn asymptotisch stabil global asymptotisch stabil) A singulär: auch x R (Stabilitätscharakter aller Ruhelagen gleich) Lösung der homogenen Dgl.: x (t) = Φ(t) x ϕ 11 (t) ϕ 1n (t) x (t) =..... ϕ n1 (t) ϕ nn (t) x Notwendige und hinreichende Stabilitätskriterien bezogen auf die Transitionsmatrix (S) stabil ϕ ij (t) < t, i, j = 1,..., n (S) asympt. stabil lim ϕ ij (t) = t i, j = 1,..., n Notwendige und hinreichende Stabilitätskriterien bezogen auf die Systemmatrix A mit den Eigenwerten s i, i = 1,..., n (S) global asympt. stabil Re {s i } < 46

49 3 Stabilität linearer Systeme 47 (S) stabil Re {s i } und für Re {s i } = ist die algebraische Vielfalt gleich der geometrischen. Hinreichende Stabilitätskriterien mit Hilfe einer Ljapunov-Funktion (S) stabil V (x) > V (x) (S) asympt. stabil V (x) > V (x) < V (x) ist Ljapunov-Funktion V (x) ist strenge Ljapunov-Funktion (S) instabil V (x) V (x) < 3.1 Ljapunov-Matrix-Gleichung Quadratische Formen als Kandidaten für die Ljapunov-Funktion V (x) = x T P x P T = P, reell V (x) =? Wie werden V, V und das System mit der Dynamikmatrix A miteinander verknüpft? ẋ = A x V (x) = x T P x V (x) = ẋ T P x + x T P ẋ = x T A T P x + x T P A x =x ( T A T P + P A ) x =! x T Q x } {{ } Q A T P + P A = Q Ljapunov-(Matrix-)Gleichung (3.2)

50 3 Stabilität linearer Systeme 48 Hinreichende Stabilitätskriterien (S) stabil P positiv definit V (x) ist Ljapunov-Funktion Q positiv semidefinit (S) asympt. stabil Funktion P positiv definit Q positiv definit V (x) ist strenge Ljapunov- (S) instabil P nicht positiv definit Q positiv definit Um Aussagen über die Stabilität zu machen, muss die Ljapunov-Gleichung (3.2) bei gegebener Systemmatrix A gelöst werden, wofür es prinzipiell zwei Lösungswege gilt: 1. P vorgeben und Q berechnen; dies ist ein einfacher Weg, da im Wesentlichen nur Matrix-Multiplikationen auszuführen sind. 2. Q vorgeben und P berechnen; dies ist ein aufwendiger Weg, da ein n(n+1) 2 -dimensionales Gleichungssystem zu lösen ist Ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für asymptotische Stabilität Satz 3.1 Das System (S) in (3.1) ist genau dann asymptotisch stabil, wenn bei vorgegebener symmetrischer positiv definiter Matrix Q eine symmetrische positiv definite Matrix P als Lösung der Ljapunov-Gleichung eindeutig existiert. A T P + P A = Q

51 3 Stabilität linearer Systeme 49 Beispiel: ẋ = A x = x Vorgabe Q = E (symmetrisch positiv definit) führt auf auf die Ljapunov-Matrix-Gleichung A T P + P A = = 1 2 p 1 p 2 + p 1 p =.25 1 p 2 p 3 p 2 p p 2 2p 1 2p 3 2p p 1 = Q = 1 2p 3 2p p 1.5p 2 2p 3 1 mit dem zu lösenden Gleichungen: 2p 1 4p 2 = 1 2p 3.5p 2 = 1 2p 3 2p p 1 = Damit ist P = eindeutig, positiv definit.