Kurze Einführung zu Stabilität bei Differentialgleichungen und Einschrittverfahren

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1 Kurze Einführung zu Stabilität bei Differentialgleichungen und Einschrittverfahren Was sind typische qualitative Aussagen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen der Form x (t) = f(t, x)? (1) 1. Andere Trajektorien bleiben in der Nähe der Lösungstrajektorie durch (, x ). 2. Die Lösungstrajektorie durch (, x ) zieht andere Trajektorien magisch an. 3. Kein bestimmtes Verhalten bei Änderung des Anfangswertes. AW AW AW Abbildung 1: Stabile, asymptotisch stabile und instabile Trajektorie durch Anfangswert. Die drei Möglichkeiten sind in Abbildung (1) dargestellt. Definition 1 Bezeichne Φ t x die Lösung von (1) mit Anfangswert x() = x. Dann heisst die Lösungstrajektorie durch (, x ) 1. stabil, wenn ɛ >, δ > so dass Φ t x B ɛ (Φ t x ), t, x B δ (x ); 2. asymptotisch stabil, wenn zusätzlich δ > so dass 3. instabil, in allen anderen Situationen. lim t Φt x Φ t x =, x B δ (x ); 1

2 Beispiel 2 Wir betrachten das lineare homogene Anfangswertproblem x (t) = Ax(t), x() = x. Dann ist die Lösungstrajektorie genau dann asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte von A in der offenen linken komplexen Halbebene liegen, also σ(a) C. Die Lösungstrajektorie ist genau dann stabil, wenn σ(a) C {ır} und alle rein imaginären Eigenwerte von A identische geometrische und algebraische Vielfachheit haben. Bei lineaeren Systemen hängt die Stabilität also nicht vom Anfangswert ab. 1 Sonderfall Fixpunkte Wir betrachten jetzt nur noch autonome Differentialgleichungen x (t) = Ax(t) (2) Definition 3 Ein Fixpunkt von (2) ist ein Punkt x so dass x = Φ t x (das ist äquivalent zu f(x ) = ). Für lineare Differentialgleichungen haben wir das qualitative Verhalten von Fixpunkten mit Hilfe der Spektraleigenschaften der Systemmatrix vollständig klassifizieren können. Im nichtlinearen Fall greifen wir auf Linearisierungen zurück. Satz 4 Sei x Fixpunkt von (2) und f stetig differenzierbar. Gilt σ(jf(x )) C, wobei Jf(x ) die Jacobi-Matrix von f an der Stelle x ist, dann ist x asymptotisch stabil. Beweis. O.b.d.A. sei x =. Dann setzen wir A = Jf() und erhalten Das System (3) hat die Lösung f(x) = Ax + g(x), g(x) = o( x ) für x. (3) Φ t x = e ta x + e A(t s) g(φ s x ) ds. Aus der Annnahme folgt die Existenz von β > und M 1, so dass e ta Me βt, also gilt Φ t x Me βt x + M e β(t s) g(φ s x ) ds. Nun benutzen wir noch g(x) = o( x ), das liefert uns ein δ > mit g(x) β 2M x, x : x < δ. Wenn x < δ gilt, dann gibt es ein t > so dass x(t) < δ für alle t mit t t. Damit folgt Φ t x Me βt x + β 2 e β(t s) Φ s x ds, und die skalare, nichtnegative Funktion Ψ(t) := e βt Φ t x erfüllt Ψ(t) M x + β 2 2 Ψ(s) ds, t t.

3 Die Anwendung des Lemmas von Gronwall liefert Φ t x Me β/2 x für t t. Diese Beziehung kann fortgesetzt werden für alle t. Im Fall rein imaginärer Eigenwerte macht der nichtlineare Anteil in der Linearisierung Aussagen über die Stabilität kaputt. Es lässt sich im allgemeinen keine Beziehung zwischen σ(jf(x )) und der Stabilität von x herstellen. 2 Stabilität von Einschrittverfahren Differentialgleichung x(t + h) = Φ h x(t) Differenzengleichung Einschrittverfahren = u n+1 = Ψ h (u n ) asymptotisch stabil??? = asymptotisch stabil Die Frage stellt sich, ob die durch das Verfahren erzeugte Differenzengleichung auch wieder asymptotisch stabil ist. Wieso ist das so wichtig? Stellen wir uns vor, wir fahren durch eine Wüste. Wir wollen zur nächsten Oase und das Navigationssystem gibt uns jeweils eine günstige Richtung und Geschwindigkeit vor. Aus naheliegenden Gründen können wir das System nur an diskreten Stellen befragen. Trotz des damit verbundenen Diskretisierungsfehlers sollten wir die Oase erreichen können. Abbildung 2: Mit Navigationssystem zur Oase. Für eine lineare Differentialgleichung x (t) = Ax(t) lässt sich die Schrittweitenfunktion Ψ leicht angeben, dort gilt u n+1 = R(Ah) u n, u = x. (4) Die Funktion R sollte also so gewählt sein, dass es die Exponentialfunktion gut approximiert. Für explizite s-stufige Runge-Kutta-Verfahren ist R ein Polynom s-ten Grades. Für implizite Runge-Kutta-Verfahren ist R eine rationale Funktion. Wir wissen aus der Theorie der 3

4 Differenzengleichungen, dass (4) genau dann stabil ist, wenn der Spektralradius von R(Ah) höchstens 1 ist und alle Eigenwerte vom Betrag 1 identische algebraische und geometrische Vielfachheiten besitzen. Das System (4) ist asymptotisch stabil, wenn der Spektralradius von R(Ah) kleiner als 1 ist. Das motiviert uns zu der folgenden Defintion. Definition 5 Das Stabilitätsgebiet eines Einschrittverfahrens ist A := {z C, R(z) < 1}. A R heisst Stabilitätsintervall. Das Verfahren heisst A-stabil, wenn C A. Satz 6 Es sei das AWP x (t) = Ax(t), x() = x mit σ(a) C gegeben. Weiterhin sei Ψ h eine Schrittweitenfunktion und (hσ(a)) A. Dann ist das diskretisierte System (4) ebenfalls stabil. Beispiel 7 Über die Erhaltung der (nicht-asymptotischen) Stabilität lässt sich im allgemeinen keine so leichte Aussage treffen. Sei zum Beispiel [ ] 1 A =, 1 dann liefert das explizite Eulerverfahren R(Ah) = [ 1 h h 1 und diese Matrix hat für alle h > einen Spektralradius, der grösser als 1 ist. Nur für A-stabile Verfahren lässt sich eine genauere Aussage formulieren. Satz 8 Sei Ψ h = R(Ah) die Schrittweitenfunktion eines Einschrittverfahrens. Das System (4) ist genau dann (asymptotisch) stabil für alle h > und alle (asymptotisch) stabilen AWP x (t) = Ax(t), x() = x, wenn das Verfahren A-stabil ist. Beweis. Siehe das Buch von Bornemann/Deuflhard Erweiterung auf nichtlineare Probleme Wir haben schon im Beweis von Satz 4 Linearisierungen von nichtlinearen autonomen Systemen beenutzt, um zu zeigen, dass ein Fixpunkt asymptotisch stabil ist, wenn die Eigenwerte der Jacobi-Matrix alle negativen Realteil besitzen. Eine ähnliche Prozedur können wir auch für Stabilitätsbetrachtungen bei der Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen einsetzen; wir müssen jedoch aufpassen, dass uns das eingesetzte Verfahren bestimmte Eigenschaften der Linearisierung nicht kaputt macht. Wir betrachten ], x = f(x) (5) mit asymptotisch stabilen Fixpunkt x und eine entsprechende Linearisierung an der Stelle x, x (t) = A(x(t) x ), A = Jf(x ). (6) Seien Ψ bzw. Ψ die aus (5) bzw. (6) generierten Schrittweitenfunktionen, dann sollen die folgenden Bedingungen gelten: 4

5 1. Ψ h x = x, 2. Ψ h x = x + R(Ah)(x x ), 3. D x Ψ h x x=x = Ψ h. Für explizite Runge-Kutta-Verfahren sind diese Bedingungen beispielsweise erfüllt. Satz 9 Unter den Vorraussetzungen von Satz 4 betrachten wir ein Einschrittverfahren, welches den obigen Bedingungen genügt. Sei die Schrittweite h so gewählt, dass Ψ h eine asymptotisch stabile Differenzengleichung liefert. Dann ist x auch ein asymptotisch stabiler Fixpunkt der Differenzengleichung u k+1 = u k Ψ h u k, u = x. 5