Regelsysteme Tutorial: Stabilitätskriterien. George X. Zhang HS Institut für Automatik ETH Zürich

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1 Regelsysteme 1 5. Tutorial: Stabilitätskriterien George X. Zhang Institut für Automatik ETH Zürich HS 2015 George X. Zhang Regelsysteme 1 HS 2015

2 5. Tutorial: Stabilitätskriterien Gliederung 5.1. Stabilität Nyquist-Stabilitätskriterium 5.4. Tipps zu Übungsaufgaben George X. Zhang Regelsysteme 1 HS 2015

3 5. Tutorial: Stabilitätskriterien Gliederung 5.1. Stabilität Nyquist-Stabilitätskriterium 5.4. Tipps zu Übungsaufgaben George X. Zhang Regelsysteme 1 HS 2015

4 Stabilität Stabilität: Kontext Stabilität Numerik (Euler steps, backwards Euler,...) Konvergenz von Folgen SigSys I: BIBO-Stabilität SigSys II: Stabilität von Systemen in Zustandsraumdarstellung Regelsysteme I: Stabilität von Systemen im Frequenzbereich George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

5 Stabilität Stabilität: für uns r(t) + e(t) Regler u r(t) Strecke y(t) Nichts explodiert Instabile Strecken können mittels Regler stabilisiert werden. Regler so wählen, dass e(t), u r (t), y(t) alle endlich Eines der grundlegendsten Konzepte in Regelungstechnik. George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

6 5. Tutorial: Stabilitätskriterien Gliederung 5.1. Stabilität Nyquist-Stabilitätskriterium 5.4. Tipps zu Übungsaufgaben George X. Zhang Regelsysteme 1 HS 2015

7 Stabilitätsdefinitionen Gegeben sei ein System ẋ(t) = Ax(t), x(0) = x 0. Ein System ist stabil, falls ɛ > 0 δ > 0 : x 0 δ x(t) ɛ für alle t 0. Andernfalls heisst das System instabil. Ein System ist asymptotisch stabil falls es stabil ist & lim t x(t) = 0 Falls das System linear ist und gegeben ist durch G(s) = n(s) d(s), dann gilt: asymptotisch stabil alle Pole in offener linker Halbebene instabil mind. ein Pol in offener rechter Halbebene George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

8 Charakteristisches Polynom / Hurwitz-Polynome Testen des charakteristischen Polynoms von G(s) = n(s) d(s) n d(s) = a k s k, k=0 a k R Wurzeln von d(s), {s 0, s 1,..., s n } mit s i C, erfüllen d(s i ) = 0, i = 1,..., n d(s) ist ein Hurwitz-Polynom wenn Re s i < 0, i = 1,..., n George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

9 Test auf Stabilität einer Übertragungsfunktion. G(s) = n(s) d(s), n d(s) = a k s k, k=0 a k R (i) G(s) asymptotisch stabil Re s i < 0 (d(s) Hurwitz) (ii) n 2 : G(s) asymp. stabil a k > 0, k (iii) n > 2 : G(s) nicht asymp. stabil k : a k 0 Stabilität durch Berechnen der Eigenwerte ist generell unmöglich. = mittels Routh-Tableau prüfen. George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

10 Routh-Tableau I Gegeben sei: d(s) = a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 s n a n a n 2 a n 4 s n 1 a n 1 a n 3 a n 5. s 1 s 0 Ausfüllen des Routh-Tableaus 1 Koeffizienten von d(s) ergeben die ersten beiden Zeilen 2 Ergänzungsregel für x (leere Zellen werden als 0 gewertet) a c x b d [ x = 1 a c det c ] b d George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

11 Routh-Tableau II Sonderregeln beim Ausfüllen des Tableaus Null in erster Spalte: Ersetzen durch ɛ + Nullzeile: Ersetzen durchs Ableiten der darüberstehenden Zeile Zeilen dürfen skaliert werden Auswertung des Tableaus Betrachtet werden die Elemente der ersten Kolonne (Spalte). alle Elemente positiv Re s i < 0 (d(s) Hurwitz) Element gleich Null Wurzel auf imaginärer Achse m Vorzeichenwechsel m Wurzeln in offener rechter Halbebene George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

12 Routh-Tableau - Beispiel I Beispielsystem d(s) = s 5 + 2s 4 + 3s 3 + 6s 2 + 5s + 3 s s s 3 s 2 s 1 s 0 x [ ] x = det 2 6 George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

13 Routh-Tableau - Beispiel I Beispielsystem d(s) = s 5 + 2s 4 + 3s 3 + 6s 2 + 5s + 3 s s s 3 s 2 s 1 s 0 ɛ ɛ 0+ George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

14 Routh-Tableau - Beispiel I Beispielsystem d(s) = s 5 + 2s 4 + 3s 3 + 6s 2 + 5s + 3 s s s 3 7 ɛ s 2 s 1 s 0 George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

15 Routh-Tableau - Beispiel I Beispielsystem d(s) = s 5 + 2s 4 + 3s 3 + 6s 2 + 5s + 3 s s s 3 7 ɛ s 2 6ɛ 7 ɛ s 1 6ɛ2 +42ɛ 49 12ɛ s George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

16 Routh-Tableau - Beispiel I Beispielsystem d(s) = s 5 + 2s 4 + 3s 3 + 6s 2 + 5s + 3 s s s 3 7 ɛ s 2 6ɛ 7 ɛ s 1 6ɛ2 +42ɛ 49 12ɛ s George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

17 Routh-Tableau - Beispiel I Beispielsystem d(s) = s 5 + 2s 4 + 3s 3 + 6s 2 + 5s + 3 s 5 > s 4 > s 3 7 ɛ s 2 6ɛ 7 ɛ s 1 6ɛ2 +42ɛ 49 12ɛ s George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

18 Routh-Tableau - Beispiel I Beispielsystem d(s) = s 5 + 2s 4 + 3s 3 + 6s 2 + 5s + 3 s 5 > s 4 > s s 2 6ɛ 7 ɛ s 1 6ɛ2 +42ɛ 49 12ɛ s George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

19 Routh-Tableau - Beispiel I Beispielsystem d(s) = s 5 + 2s 4 + 3s 3 + 6s 2 + 5s + 3 s 5 > s 4 > s s 2 < s 1 6ɛ2 +42ɛ 49 12ɛ s George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

20 Routh-Tableau - Beispiel I Beispielsystem d(s) = s 5 + 2s 4 + 3s 3 + 6s 2 + 5s + 3 s 5 > s 4 > s s 2 < s 1 > s George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

21 Routh-Tableau - Beispiel I Beispielsystem d(s) = s 5 + 2s 4 + 3s 3 + 6s 2 + 5s + 3 s 5 > s 4 > s s 2 < s 1 > s 0 > George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

22 Routh-Tableau - Beispiel I Beispielsystem d(s) = s 5 + 2s 4 + 3s 3 + 6s 2 + 5s + 3 s 5 > s 4 > s s 2 < s 1 > s 0 > Zwei Vorzeichenwechsel d(s) hat zwei Wurzeln in offener rechter Halbebene d(s) ist kein Hurwitz-Polynom George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

23 Routh-Tableau - Beispiel II Beispielsystem d(s) = s 5 + 7s 4 + 6s s 2 + 8s + 56 s s s 3 s 2 s 1 s 0 George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

24 Routh-Tableau - Beispiel II Beispielsystem d(s) = s 5 + 7s 4 + 6s s 2 + 8s + 56 s s s 3 s 2 s 1 s 0 George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

25 Routh-Tableau - Beispiel II Beispielsystem d(s) = s 5 + 7s 4 + 6s s 2 + 8s + 56 s s s s 2 s 1 s 0 George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

26 Routh-Tableau - Beispiel II Beispielsystem d(s) = s 5 + 7s 4 + 6s s 2 + 8s + 56 s s s s 2 s 1 s 0 ( d ds s 4 + 6s ) = 4s s George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

27 Routh-Tableau - Beispiel II Beispielsystem d(s) = s 5 + 7s 4 + 6s s 2 + 8s + 56 s s s s 2 s 1 s 0 ( d ds s 4 + 6s ) = 4s s George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

28 Routh-Tableau - Beispiel II Beispielsystem d(s) = s 5 + 7s 4 + 6s s 2 + 8s + 56 s s s s 2 s 1 s 0 George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

29 Routh-Tableau - Beispiel II Beispielsystem d(s) = s 5 + 7s 4 + 6s s 2 + 8s + 56 s s s s s s George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

30 Routh-Tableau - Beispiel II Beispielsystem d(s) = s 5 + 7s 4 + 6s s 2 + 8s + 56 s 5 > s 4 > s 3 > s 2 > s 1 > s 0 > Alle Elemente der ersten Spalte positiv d(s) ist ein Hurwitz-Polynom George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

31 5. Tutorial: Stabilitätskriterien Gliederung 5.1. Stabilität Nyquist-Stabilitätskriterium 5.4. Tipps zu Übungsaufgaben George X. Zhang Regelsysteme 1 HS 2015

32 Prinzip des Argumentes Nyquist-Stabilitätskriterium Abb. unter Ḡ(s) Beliebige, einfach im UZS geschlossene Kurve C in C, die P = 3 Polstellen und Z = 1 Nullstelle von Ḡ(s) umschliesst Die Abbildung von C unter Ḡ(s), Ḡ(C), umkreist den Ursprung N = Z P = 2 mal im UZS George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

33 Herleitung des Stabilitätskriteriums Nyquist-Stabilitätskriterium K G(s) Wähle C als Nyquist D-Kontur d(s)+kn(s) Wähle Ḡ(s) = 1 + KG(s) = d(s) Nullstellen von Ḡ(s) sind Pole des geschlossenen Kreises Polstellen von Ḡ(s) sind Pole des offenen Kreises Umkreisungen des Ursprungs durch 1 + KG(D) ensprechen Umkreisungen des Punktes 1 K durch G(D) G(D) ist genau das Nyquist-Diagramm von G(s) George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

34 Nyquist-Stabilitätskriterium Nyquist-Stabilitätskriterium Offener Regelkreis bestimmt die Anzahl instabiler Polstellen des geschlossenen Systems. K G(s) Z: # Pole des geschlossenen Kreises KG(s) 1+KG(s) P: # Pole des offenen Kreises KG(s) in D N : # Umkreisungen (UZS) von 1 K Z = N + P in D (what we want) durch die Nyquist-Kurve G(D) George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

35 Nyquist-Stabilitätskriterium Beispiel Beispielsystem: G(s) = 1 s(s+3)(s+5) Re G(ω) = Im G(ω) = lim G(ω) = 0 ± 0i ω ± lim G(ω) = i ω ±0 8ω 2 ω 2 (ω 2 + 9)(ω ) ω 3 15ω ω 2 (ω 2 + 9)(ω ) Re G(ω) = 0 ω 1,2 = ± Im G(ω) = 0 ω 3,4 = ± 15, ω 5,6 = ± Re G(ω 3,4 ) = George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

36 Nyquist-Stabilitätskriterium Beispiel Beispielsystem: G(s) = 1 s(s+3)(s+5) Re G(jω) = Im G(jω) = lim G(jω) = 0 ± 0i ω ± lim G(jω) = i ω ±0 8ω 2 ω 2 (ω 2 + 9)(ω ) ω 3 15ω ω 2 (ω 2 + 9)(ω ) Re G(jω) = 0 ω 1,2 = ± Im G(jω) = 0 ω 3,4 = ± 15, ω 5,6 = ± Re G(jω 3,4 ) = George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

37 Nyquist-Stabilitätskriterium Beispiel Beispielsystem: G(s) = 1 s(s+3)(s+5) Re G(jω) = Im G(jω) = lim G(jω) = 0 ± 0i ω ± lim G(jω) = i ω ±0 8ω 2 ω 2 (ω 2 + 9)(ω ) ω 3 15ω ω 2 (ω 2 + 9)(ω ) Re G(jω) = 0 ω 1,2 = ± Im G(jω) = 0 ω 3,4 = ± 15, ω 5,6 = ± Re G(jω 3,4 ) = George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

38 Beispiel Tutorial: Stabilitätskriterien Nyquist-Stabilitätskriterium Beispielsystem: G(s) = 1 s(s+3)(s+5) D 1 = lim ɛ 0 ɛe iφ, φ [ 90, 90 ] G(D 1 ) = lim ɛ 0 1 ɛ e iφ (ɛe iφ + 3)(ɛe iφ + 5) 1 = lim ɛ 0 15ɛ e iφ George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

39 Beispiel Tutorial: Stabilitätskriterien Nyquist-Stabilitätskriterium Beispielsystem: G(s) = 1 s(s+3)(s+5) D 1 = lim ɛ 0 ɛe iφ, φ [ 90, 90 ] G(D 1 ) = lim ɛ 0 1 ɛ e iφ (ɛe iφ + 3)(ɛe iφ + 5) 1 = lim ɛ 0 15ɛ e iφ George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

40 Beispiel Tutorial: Stabilitätskriterien Nyquist-Stabilitätskriterium Beispielsystem: G(s) = 1 s(s+3)(s+5) D 1 = lim ɛ 0 ɛe iφ, φ [ 90, 90 ] G(D 1 ) = lim ɛ 0 1 ɛ e iφ (ɛe iφ + 3)(ɛe iφ + 5) 1 = lim ɛ 0 15ɛ e iφ George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

41 Beispiel Tutorial: Stabilitätskriterien Nyquist-Stabilitätskriterium Beispielsystem: G(s) = 1 s(s+3)(s+5) Z = N + P, P = 0 ( #1 #2 #3 ( K 1 ) K 1 ) 1 K, , 0 (0+, ) Z = N = 0 Z = N = 2 Z = N = 1 stabil instabil instabil K (0, 120) K (120, ) K (, 0) George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

42 5. Tutorial: Stabilitätskriterien Gliederung 5.1. Stabilität Nyquist-Stabilitätskriterium 5.4. Tipps zu Übungsaufgaben George X. Zhang Regelsysteme 1 HS 2015

43 Tipps zu Übungsaufgaben Aufgabe 5.1.b): Endwertsatz (stellt sicher, dass der Endwert auch existiert) Aufgabe 5.2.a): Typische Prüfungsaufgabe, geht langsam an sie heran, schwer Aufgabe 5.2.b): Anwendung des Nyquist-Kriteriums: a < 1 K < b Aufgabe 5.3.a): Wo schliesst sich die D-Kurve um den Pol im Ursprung? Aufgabe 5.3.b): Benutzt die Formel Z = N + P, wobei Z Anzahl der gewünschten Pole innerhalb der D-Kurve sind Aufgabe 5.4: Koordinatentransformation George X. Zhang Regelsysteme 1 HS

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