Steuer- und und Regelungstechnik II

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1 Steuer- und und Regelungstechnik II II Vorlesung: Dozent: Professor Ferdinand Svaricek Ort: Ort: 33/03 Zeit: Zeit: Mi Mi Uhr Uhr Seminarübungen: Dozent: Dr. Dr. Klaus-Dieter Otto Otto Ort: Ort: 33/03 Zeit: Zeit: Fr Fr Uhr Uhr (Beginn ) Vorlesungsskript: unibw-muenchen.de/.de/campus/lrt/lrt3/deutsch/unterlagen.htmlhtml

2 Rückblick auf SRT I Einführung Grundbegriffe der der Regelungstechnik. Prinzip einer Steuerung und und Regelung. Allgemeines Blockschaltbild eines Regelkreises. Linearisierung nichtlinearer Kennlinien. 2 Modellbildung dynamischer Systeme im im Zeitbereich --Einheitssprungfunktion, Sprungantwort, Übergangsfunktion. --Dirac scher Deltaimpuls, Gewichtsfunktion. --Faltungsintegral. im im Frequenzbereich --Laplace-Transformation (Grenzwertsätze). --Lösung von von Differentialgleichungen. --Blockschaltbildalgebra. --Übertragungsfunktion, Pole Pole und und Nullstellen. -- Frequenzgang, Ortskurve,, Bode-Diagramm.

3 Rückblick auf SRT I Definition und Eigenschaften wichtiger Übertragungsglieder. Allpaß- und Phasenminimumsysteme. 3 Analyse des Regelkreises Führungs- und Störübertragungsfunktion. Übertragungsfunktion G 0 (s) (s) des offenen Kreises. Stationäres Verhalten des Regelkreises. Stabilität -- Definition der asymptotischen Stabilität. Fazit: SRT I I behandelte im im wesentlichen die Beschreibung und Analyse dynamischer Systeme bzw. Regelkreise.

4 Themenschwerpunkte SRT II Vertiefung und Erweiterung der Analyse dynamischer Systeme im im Frequenzbereich -- Wurzelortskurve. -- Nyquist-Kriterium. im im Zeitbereich -- Beschreibung und Analyse dynamischer Systeme im im Zustandsraum. -- Steuer- und Beobachtbarkeit. Entwurf linearer kontinuierlicher Regelungssysteme im im Zeitbereich -- Klassischer Reglerentwurf (PID-Regler). -- Entwurf im im Zustandsraum (Polvorgabe, Beobachter).

5 Motivation: Algebraische Stabilitätskriterien Die Die Nullstellenbestimmung ist ist für für Polynome P(s) P(s) = a n s n s n n + a n- s n- s n- n a s s + a 0 0 vom vom Grad n 4 im im allgemeinen nur nur numerisch möglich. Für Für die die Stabilitätsanalyse braucht man man die die genaue Lage der der Nullstellen nicht zu zu kennen, sondern man man fragt fragt nur nur danach, ob ob alle alle le Nullstellen von von P( P( s) s) in in der der linken s-halbebene s liegen (ein (ein solches Polynom P( P( s) s) nennt man man stabil bzw. bzw. ein ein Hurwitz-Polynom). Hurwitz-Kriterium Notwendige Bedingung: Alle Alle Koeffizienten des des Polynoms P(s) P(s) müssen vorhanden sein sein und und das das gleiche Vorzeichen besitzen. Sind Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, so so ist ist P(s) P(s) kein kein Hurwitz-Poynom.

6 Hurwitz-Kriterium Hinreichende Bedingung: Hurwitz-Kriterium H = an > 0 H 2 a n n 3 = > a n a a n 2 0 a a a n n 3 n 5 H = a a a > 3 n n 2 n 4 0 a a n n 3 0

7 Hurwitz-Kriterium (2) Beispiel: Gegeben sei das Polynom Ps s s s 3 2 () = Notwendige Bedingung ist ist erfüllt, da da alle alle a i i vorhanden und und positiv sind. Bildung der Hurwitz-Matrix: Berechnung der Hauptdeterminanten: H = 4> 0 H 4 0 = H 2 = = > H 3 = = H Das Das Polynom P(s) P(s) ist ist ein ein Hurwitz-Polynom!! = 2 > 0

8 Wurzelortskurvenverfahren Pole und Nullstellen des offenen Regelkreises sind bekannt: Wie ändert sich die Lage der Pole, wenn der Regelkreis geschlossen wird? Diese Frage kann mit Hilfe des WOK-Verfahrens beantwortet werden. Das WOK-Verfahren ist ist eines der Standardverfahren im im Bereich der Flugregelung. Die Pole des geschlossenen Regelkreises sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung C(s) = + G 00 (s) (s) = + G S S (s)g R (s) (s) = 0..

9 Definition 3.3 Wurzelort und Wurzelortskurve WOK-Verfahren Der Wurzelort ist ist der geometrische Ort der Wurzeln der charakteristischen Gleichung C(s) = + G S S (s)g R (s) (s) = 0 des geschlossenen Regelkreises in in der komplexen Ebene. Die Wurzelortskurve (WOK) stellt die Abhängigkeit der Wurzelorte von einem Parameter (vielfach der Verstärkung K 0 ) ) des offenen Regelkreises dar.

10 WOK-Vefahren Vefahren: : Beispiel Dgl.: Übertragungsfunktion K S T P-Regler: G R (s) (s) = K R R Üfkt des offenen Kreises R

11 WOK-Verfahren: Beispiel (2) Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises: G w G0 () s () s = + G ( s) 0 = Z0() s N0() s Z0() s + N () s 0 = N Z0() s N () s + Z () s 0 0 0()( s ) N0() s = Z0() s N () s + Z () s 0 0 = K0 s( + st) + K 0 Z () s = w N () w s Charakteristische Gleichung des geschlossenen Kreises: mit den Wurzeln:

12 WOK-Verfahren: Beispiel (3) Wurzelort für K 0 = 0 Wurzelort für K 0 = /4T Wurzelorte für K 0 > /4T x x x Wurzelortefür für 0 K 0 0 bilden die Wurzelortskurve Wurzelorte für

13 Interpretation der WOK WOK-Verfahren: Beispiel (4) Die WOK zeigt die Bewegungen der Pole des geschlossenen Regelkreises in in Abhängigkeit von der Kreisverstärkung K 00 = K. R. K s s.. Aus der WOK kann man erkennen, wie sich die dynamischen Eigenschaften des geschlossenen Kreises bei Erhöhung der Reglerverstärkung verändert. Der geschlossene Kreis ist ist für K 00 > 0 immer stabil und schneller als der offene Kreis. Mit zunehmender Verstärkung K 00 > /4T nimmt die Eigenfrequenz ω 0 zu zu und die Dämpfung D ab.

14 Addition und Subtraktion z -z 2 j Im z Komplexe Zahlen Multiplikation z+ z2 = ( x+ jy) + ( x2 + jy2) z z2 = ( x+ jy) ( x2 + jy2) = ( x + x ) + j( y + y ) 2 2 = re re jϕ 2 = jϕ 2 j + 2 r r e ϕ ϕ 2 ( ) -z 2 z + z 2 Re z 2

15 Interpretation eines Linearfaktors (s-p i ) i ) Komplexe Zahlen (2) s jim s-p i x p i ϕ pi Re

16 WOK-Verfahren: Ableitung Übertragungsfunktion des offenen Kreises in in Pol- Nullstellen-Form: Charakteristische Gleichung des geschlossenen Kreises: in in Polarkoordinaten

17 Systemverstärkung und WOK-Verstärkung = s G() s = Systemverstärkung K für für Systeme mit mit Ausgleich: 0 K Beispiel: Gs () K( + T3s) = ( + Ts)( + Ts) 2 Pol-Nullstellendarstellung Gs () K T 3( s+ ) T3 = T T2( s+ )( s+ ) T T 2 Allgemein gilt: k 0 = K n l= m i= p l n i = k ( s n ) mit n =-/T 3, p =-/T, p 2 =-/T 2 0 ( s p)( s p2) K T3 und k0 = TT 2

18 WOK-Verfahren Verfahren: : Ableitung (2) ϕ n = 68 ϕ p = 75 ϕ p 2 = 43 o x x ϕ ϕ ϕ = n p p 2 = ssist ist kein kein Punkt auf auf der der WOK!!

19 Zusammenfassung der. Vorlesung Algebraische Stabilitätskriterien Hurwitz-Polynom (Polynom P(s),, das nur Nullstellen in in der linken s-halbebene hat.) Hurwitz-Kriterium Notwendige Bedingung: Alle Koeffizienten des Polynoms P(s) müssen vorhanden sein und das gleiche Vorzeichen haben. Hinreichende Bedingung: Die Hauptdeterminanten der Hurwitz-Matrix müssen positiv sein.

20 Zusammenfassung der. Vorlesung Wurzelortskurvenverfahren (WOK-Verfahren) Motivation. Unterscheidung: Wurzelort und Wurzelortskurve. Beispiel und Interpretation einer WOK. Unterscheidung: System- und WOK-Verstärkung. Interpretation eines Linearfaktors (s-p i ) i ) als Zeiger in in der komplexen Ebene. Ableitung des WOK-Verfahrens: Ausgangspunkt ist ist die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises.

21 Zusammenfassung der. Vorlesung Wurzelortskurven-Verfahren Bestimmung des des dynamischen Verhaltens eines eines geschlossenen Regelkreises mit mit Hilfe Hilfe der der Übertragungsfunktion G 0 (s) 0 (s) des des offenen Kreis Kreis G 0 ( s) m i= = k 0 n i= ( s ni) ( s p i ) Amplitudenbedingung: m i i= = n k 0 i i= s n s p Phasenbedingung: m n ϕ ni ϕpi = ± (2k + ) π i= i=

22 WOK-Verfahren: Ableitung (3) Die Winkelbedingung ist ist unabhängig von k 00 :: p 2 s ϕ p2 ϕ p2 ϕ p + ϕ p2 = 80 p ϕ p Phasenbedingung ist ist erfüllt!!!!!!

23 WOK-Verfahren Verfahren: : Regeln

24 WOK-Verfahren: Regeln (2)

25 WOK-Verfahren: Regeln (3)

26 Konstruktionsregeln der WOK

27 Konstruktionsregeln der WOK (2)

28 Konstruktionsregeln der WOK (3)

29 Konstruktionsregeln der WOK (4)

30 Gegeben: G0() s = k0 ss Gesucht: WOK ( + ) Anzahl n der Pole: 2 Anzahl m der Nullstellen: 0 WOK mit Hilfe der Regeln x - σ w x Im Re Bestimmen und einzeichnen der Pole: p = 0; p 2 = - Regel 3: WOK auf der reellen Achse Regel 5 und 7: Anzahl n-m und Winkel der Asymptoten i i Regel 8: Schnittpunkt der Asymptoten σ = = = w n m pi ni 0 + ( ) n m = 2 = 2

31 WOK: Beispiel Nickdämpfung Verbesserung der der Nickdämpfung eines Flugzeuges durch Rück- führung der der Nickgeschwindigkeit q auf auf den den Höhenruderausschlag η Übertragungsfunktion des des Nickverhaltens für für die die Daten eines F04G im im Landeanflug: G () s = K G () s = 4,8 s 0 R S 2 G S () s = 4,8 s s + 0, ,97s+ 2, 2 s + 0, ,97s+ 2, für K R =. WOK-Verstärkung k 0 K = G () s s = = Systemverstärkung aus ,8 0,565 =, 288 2,

32 WOK: Beispiel Nickdämpfung (2) G () s = K G () s = 4,8 s 0 R S 2 s + 0, ,97s+ 2, ω 0 Pole: Nullstelle: p,2 = 0, 485 ±,37i n = 0,565 Dämpfungsgrad: D = cosϕ = Re( p ) Re( p ) + Im( p ) 2 2 0,485 = = 2 2 0,485 +,37 0,337 Eigenfrequenz: Re( p ) 0,485, 44 ω 0 = = = D 0,337

33 WOK: Beispiel Nickdämpfung (3) Sprungantwort WOK K 0 Gewünschte Eigenschaften: Dämpfungsgrad D : 0,5 - Eigenfrequenz ω 0 : 2-4

34 WOK: Beispiel Nickdämpfung (4) % % Vorlesung SRT_II % Beispiel: Verbesserung der Flugeigenschaften mit Hilfe der Wurzelortskurve. % Erhöhung der Nickdämpfung durch Rückführung der Nickgeschwindigkeit auf das Höhenruder % (siehe Brockhaus, R.: Flugregelung, 200, Springer-Verlag, S. 505). % s=tf('s') % Definition der Üfkt. G(s) = s (Laplace-Variable) % % % Parameter für Flugzustand F % Z_a = M_a = -2. M_q = M_e = 4.8 % % Definition der Strecken-Übertragungsfunktion % G_S = M_e*(s-Z_a)/(s^2 - s*(m_q+z_a) - M_a) % % Definition des Reglers % TD = 0.4; T =.4; Kr = (+TD*s)/(+T*s); Kr = ;

35 WOK: Beispiel Nickdämpfung (5) G_R = tf(kr) % % Bestimmung von G_0(s) % G_0 = G_R * G_S % % Darstellung der Wurzelortskurve in Bild % figure() rlocus(g_0) hold on % % Darstellung der Übergangsfunktion von G_0(s) in Bild 2 % figure(2) step(g_0) hold on

36 Zusammenfassung der 2. Vorlesung Wurzelortskurven-Verfahren (Fortsetzung) Bestimmung des des dynamischen Verhaltens eines geschlossenen Regelkreises mit mit Hilfe Hilfe der der Übertragungsfunktion G 0 (s) 0 (s) des des offenen Kreises. Regeln zur zur qualitativen Konstruktion der der WOK Start- und und Endpunkte der der WOK Anzahl und und Winkel der der Asymptoten Wurzelorte auf auf der der reellen Achse Symmetrie der der WOK Der Der vollständige Satz Satz der der WOK-Konstruktionsregeln Konstruktionsregeln WOK mit mit Matlab: : Beispiel Nickdämpfung eines Flugzeuges

37 WOK: Beispiel Nickdämpfung (6) Die Die gewünschten dynamischen Eigenschaften können mit mit einem P-Regler P nicht erzielt werden!! Lösung: Einsatz eines PDT PDT -Regler mit mit den den Parametern: T D = 0,4 und T =,4 und und der der Übertragungsfunktion: G R + Ts Nullstelle: D () s = + Ts Nullstelle: n Reglerpol: p = = = 2,5 TD 0, 4 = = = 0,7 T, 4

38 G 0 s = KRGR ( ( ) s) G ( s) WOK: Beispiel Nickdämpfung (7) S = K R + Ts D + Ts 4,8 s 2 s + 0, ,97s+ 2, T D TD = D 0,4 0,4 T =,4,4 0, 4 s + 2,5 s + 0,565 = KR 4,8 2, 4 s + 07, s + 0,97s + 2, = k s + 2,5 s + 0,565 s + 0,7 s + 0,97s + 2, 0 2 mit mit 0, 4 k0 = KR 4,8 =,37 K, 4 R

39 WOK: Beispiel Nickdämpfung (8) s p =, 72 s n = 2, 48 s p2 = 4,6 Regelstrecke Regler-Nullstelle Regler-Pol geschlossener Regelkreis K R = R Gain Gain = 2,02 2,02 k0 =, 37K =, 37 2, 02 R = 2,77 Graphische Ermittlung mit mit Regel 2: 2:, 72 4,6 k0 = = 2,89 2, 48

40 WOK: Beispiel Nickdämpfung (9) Vorgabe: D = 0,75 ω 0 = 3 Pole p,p 2 des geschlossenen Kreises Re ( p,2 ) = D ω 0 = 0,75. 3 = 2,25 Im ( p,2 ) = ± ω ( Dω ) = ±, Regler-Nullstelle ϕp p soll o ϕn R ϕp 2 Mit Mit Hilfe der der Phasenbedingung die die Regler-Nullstelle so so festlegen, daß daßder der Punkt p soll auf soll auf der der WOK liegt. ϕ n ϕ = 80 R P ϕ P2 ϕ = 80 + ϕ + ϕ n P P R 2 Regler-Nullstelle: n R = R 2,05 2,05 ϕ nr = = 460 =

41 WOK: Typische Beispiele x x o x x o x x x x x o x x x o

42 WOK: Typische Beispiele (2)

43 WOK: Typische Beispiele (3) Folgerungen:.. Besitzt G 0 (s) (s) Nullstellen in in der rechten s-halbebene, so so wird der geschlossene Regelkreis für große Kreisverstärkungen immer instabil Diese Beschränkungen gelten auch dann, wenn der Differenzgrad (n-m) der Übertragungsfunktion G 0 (s) (s) größer als 2 ist.

44 Nyquist-Verfahren: Motivation Das WOK-Verfahren kann nur angewendet werden, wenn die Pole und Nullstellen von G 0 (s) (s) bekannt sind und G 0 (s) (s) keine Totzeit enthält. Das Nyquist-Verfahren setzt kein mathematisches Modell der Regelstrecke voraus. Das Nyquist-Verfahren erlaubt Aussagen über die Anzahl der instabilen Pole des geschlossenen Kreises anhand des Frequenzganges G 0 (jω (jω 0 ). ).

45 Nyquist-Verfahren: Motivation (2)

46 Vorteile: Nyquist-Verfahren: Motivation (3) Die Die Ortskurve läßt sich aus einer Reihenschaltung der der einzelnen Regelkreisglieder ermitteln, wenn deren Kennwerte bekannt sind. Experimentell durch Messungen ermittelte Frequenzgänge der der Regelkreisglieder können direkt berücksichtigt werden. Das Verfahren ermöglicht nicht nur nur die die Untersuchung von Systemen mit mit konzentrierten Parametern, sondern auch von solchen mit mit verteilten Parametern (z.b. Totzeit Systeme (vgl. Abschnitt 2.4.3)). Mit Mit Hilfe der der Frequenzkennlinien Darstellung von G 0 (jω 0 (jω) läßt sich nicht nur nur die die Stabilitätsanalyse (Amplituden- und Phasenrand),, sondern auch der der Entwurf (Synthese) stabiler Regelsysteme durchführen.

47 Nyquist-Verfahren: Grundlagen Grundlage bildet die Abbildung der komplexen s- s- Ebene in in eine komplexe F(s)-Ebene mit Hilfe einer rationalen Funktion in in Pol-Nullstellen-Form: Fs () = k m i= n i= ( s ni) ( s pi)

48 Nyquist-Verfahren: Grundlagen (2) Abbildung einer Kurve Γ s in s in der der komplexen s-ebene durch Linearfaktoren in in die die komplexe F(s)-Ebene: Γ s jω s-ebene s 4 Fs () = s+ F(s 2 ) F(s 4 ) s s 3 s F(s 3 ) F(s 3 ) F(s ) x s-n σ F(s - - ) s 2 F(s 4 ) F(s 2 ) F(s)-Ebene Re Fs () = s + s = 0 Fs ( s = 0 ) = Fs ( ) = s F( s2) = = 2 = j F( s s2 = j 2) = j j s 3 = 2 Fs ( s 3 = 2 3) = Fs ( 3) = s F( s4) = = j 4 = + j F( s s4 = + j 4) = j j jim Γ F j

49 Nyquist-Verfahren: Grundlagen (3) Abbildung der der komplexen s-ebene in in die die komplexe F(s)-Ebene: Folgerung: Eine rationale Funktion bildet eine eine geschlossene Kurve Γ S in S in der der komplexen s-ebene in in eine eine geschlossene Kurve Γ F in F in der der F(s)-Ebene ab. ab. Die Die Form der der Kurve Γ F hängt F sowohl von von der der gewählten Kurve Γ S als S als auch von von der der Funktion F(s) F(s) und und der der Anzahl der der umschlossenen Pole und und Nullstellen ab. ab. Wenn sich sich ein ein Pol Pol p i innerhalb i der der Kurve Γ S befindet S und und der der Punkt s die die Kurve Γ S einmal S im im Uhrzeigersinn umläuft, so so ändert sich sich der der Winkel von von F(s) F(s) = /(s-p i ) i ) insgesamt um um +360 Grad.. Die Die Kurve Γ F umschließt F den den Ursprung.

50 Nyquist-Verfahren: Grundlagen (4) N P = = - - N = = 2 2 P = = 3 3 Ursprung Ursprung wird wird entgegen entgegen des des Uhrzeigersinns Uhrzeigersinns umschlungen umschlungen!!!!!!