Lageregelung eines Magnetschwebekörpers

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1 Technische Universität Berlin Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Fachgebiet Regelungssysteme Leitung: Prof. Dr.-Ing. Jörg Raisch Praktikum Digitale Signalverabeitung Praktikum Regelungstechnik 1 (Zeitdiskrete Regelsysteme) Lageregelung eines Magnetschwebekörpers 18. November 2011 Ziel dieses Versuchs ist der Entwurf einer zeitdiskreten Lageregelung für einen frei schwebenden Körper im Magnetfeld. Dieses wird mittels eines Elektromagneten erzeugt und lässt sich über den Spulenstrom beeinflussen. Der Spulenstrom hängt von der an der Spule angelegten Spannung ab, welche mittels Pulsbreitenmodulation (Pulse Width Modulation (PWM)) variiert werden kann. Ein physikalisches Modell des Systems ist gegeben. Anhand dieses Modells soll eine zeitdiskrete Übertragungsfunktion zwischen dem PWM-Stellsignal und der Lage des Schwebekörpers an einem Arbeitspunkt bestimmt werden. Darauf aufbauend ist ein Polynom-Regler zu entwerfen. Die Validierung des Reglerentwurfes soll zunächst mit Modellsimulationen an der linearen Übertragungsfunktion und anschließend an dem nichtlinearen Modell erfolgen. Abschluss ist der Laborversuch am realen Versuchsaufbau. 1 Einführung Das Positionieren von metallischen Körpern im Magnetfeld ist von praktischer Bedeutung z.b. im Transportwesen (Transrapid) oder im Maschinenbau (magnetische Lager), wo keine mechanische Reibung erwünscht ist. Abhängig von der Anordnung von Elektromagnet und Eisenkörper kann das System stabil oder instabil sein. Die in diesem Versuch betrachtete Versuchsanordnung führt zu einem instabilem Systemverhalten. Die Dynamik der ungeregelten Strecke ist dabei stark nichtlinear, was die Regelungsaufgabe erschwert. 2 Versuchsaufbau In Abbildung 1 ist der physische Versuchsaufbau zu sehen, wie er im Labor vorzufinden ist. Eine schematische Darstellung des Versuchsaufbaus mit den Ein- und Ausgangsgrößen ist der Abbildung 2 zu entnehmen. Die zu positionierende Kugel befindet sich unter einem Elektromagneten in der Schwebe. Ohne die Anziehungskraft des geregelten Magneten würde die Eisenkugel nur der Erdanziehungskraft ausgesetzt sein und nach unten fallen. Insgesamt stehen drei Eisenkugeln unterschiedlicher Größe und

2 Abbildung 1: Physischer Versuchsaufbau Gewichts zur Verfügung. Die Position y der jeweiligen Kugel wird über einen opto-elektrischen Sensor erfasst und ist im Bild 2 definiert. Die Ausgangsspannung des Positionssensors ist eine nichtlineare Funktion der wahren Position und ist von der Größe der verwendeten Eisenkugel abhängig. Weiteren Einfluss auf die Messung haben die aktuellen Lichtverhältnisse im Raum. Die Spannung am Elektromagneten wird über eine Pulsbreitenmodulation (Pulse Width Modulation - PWM) beeinflusst. Stellgröße u des Systems ist dabei der PWM-Wert im Bereich Der resultierende Strom in der Spule wird gemessen und als Spannungssignal zur Verfügung gestellt. Hierbei entspricht ein Volt einem Ampere. Die vom Elektromagneten auf den Eisenkörper ausgeübte Kraft ist eine nichtlineare Funktion des Stroms I und des Abstands y. 3 Modellbeschreibung Im Folgenden wird das nichtlineare Zustandsraummodell des Systems vorgestellt. Das System besitzt drei Zustände: x 1 : Position [m] x 2 : Geschwindigkeit [m/s] x 3 : Spulenstrom [A] 2

3 u Strom I PWM [0...1] Elektromagnet Spannung Strom [0...2,5 A] otpo-elektrischer Sensor F M y Position y [0...0,016 m] Eisenkugel Spannung Position F g Abbildung 2: Schematischer Versuchsaufbau mit Ein- und Ausgangssignalen Eingangsgröße u ist der PWM-Stellwert, welcher auf den Bereich festgelegt ist. Ausgangsgröße ist die Position y = x 1. Die Zustandsgleichungen lauten: ẋ 1 = x 2 (1) ẋ 2 = F m(x 1, x 3 ) + g (2) m ẋ 3 = 1 k i1 (k i2 u x 3 ), (3) wobei die ersten beiden Gleichungen die Bewegungsgleichungen darstellen und die letzte Gleichung das elektrische System, die Stromdynamik, beschreibt. Die auf den Eisenkörper durch den Magneten wirkende Kraft F m lässt sich wie folgt errechnen: F m (x 1, x 3 ) = k m1 x 2 3 exp ( k m2x 1 ). (4) Die Systemparameter sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: Parameter Wert Einheit m 0,0571 (große Kugel) [kg] g 9,81 [m/s 2 ] k m1 3,01 [H/m] k m2 171,73 [1/m] k i1 0,025 [s] k i2 2,32 [A] Die Funktion F m (x 1, x 3 ) ist in der Abbildung 3 wiedergegeben. Folgende Beschränkungen sind zu beachten x 1 [0, 0, 016 m], x 2 R, x 3 [0, 2, 5 A], u [0, 1]. 3

4 Kraft Fm [N] Strom x 3 [A] Position x 1 [mm] Abbildung 3: Kraft F m als Funktion des Stroms x 3 und der Position x 1 4 Versuchsvorbereitung 4.1 Bestimmung eines Arbeitspunkts und eines linearen E/A-Streckenmodells Geben Sie den zur Position x 1 = 0, 01 m zugehörigen stationären Arbeitspunkt an! Linearisieren Sie das System in diesem Gleichgewichtspunkt und ermitteln Sie die zeitdiskrete lineare Übertragungsfunktion zwischen dem Eingang u (PWM) und dem Ausgang y (Position)! Die Abtastzeit betrage 5 ms. Geben Sie die zeitkontinuierliche und -diskrete Übertragungsfunktion an. Hinweise: Nutzen Sie die Scilab Funktionen: syslin, ss2tf, dscr! 4.2 Reglerentwurf mittels Polvorgabe Entwerfen Sie einen digitalen Regler mittels Polvorgabe für das approximierte lineare Streckenmodell! Die gewünschte Regelkreisstruktur ist in Abbildung 4 dargestellt, wobei N c und Z c das Nenner- und das Zählerpolynom des Reglers sind. Die Polynome N und Z gehören zum linearen Streckenmodell. Der Regler soll integrales Verhalten besitzen (Pol bei 1): G c (z) = Z c(z) N c (z) = Z c (z) (z 1) ˆNc (z) Berechnen Sie die benötigten Ordnungen von G c (z) und des charakteristischen Polynoms N R = NN c + ZZ c. Das Führungsverhalten soll näherungsweise dem Verhalten eines PT2-Gliedes entsprechen. Es soll eine Anstiegszeit t r = 0.1 s besitzen und kritisch gedämpft sein (ζ = 1). Für das charakteristische Poly- 4

5 nom nimmt man daher an: mit ω 0 = 3.2/t r. Das Polynom N RPT2 N R (z) = (z 2 2e ω 0T s z + e 2ω 0T s ) } {{ } N RPT2 Ñ R, (5) beschreibt das gewünschte Führungsverhalten 2. Ordnung. Das Polynom Ñ R ist so zu wählen, dass sich die zuvor bestimmte Ordnung des Polynoms N R ergibt. Damit das Führungsverhalten weiterhin approximativ durch N RPT2 vorgegeben wird, müssen die Pole von Ñ R reell sein und einen wesentlich kleineren Realteil aufweisen als die Pole von N RPT2. Berechnen Sie nun den Regler G c (z), der das spezifizierte Polynom N R liefert. Aufgrund der hohen Ordnung ist ein Lösen von Hand sehr aufwendig. Verwenden Sie die Scilab Funktion dio zum Lösen der Diophantischen Gleichung zur Reglerbestimmung (auf der Webseite)! Die Führungsübertragungsfunktion soll eine Verstärkung von eins haben, wählen Sie k des Vorfilters dementsprechend! 1 Stellen Sie die Empfindlichkeits- 1+L(z) und komplementäre Empfindlichkeitsfunktion L(z) 1+L(z) in einen gemeinsamen Diagramm dar (Frequenz: logarithmisch, Amplitude: dezimal)! Beurteilen Sie das Regelkreisverhalten bezüglich Messrauschen und Störgrößenunterdrückung anhand dieser beiden Frequenzgänge! Beide Kurven sollten unter 2.5 liegen (dies garantiert genügend Phasen- und Amplitudenreserve)! Verändern Sie gegebenenfalls die zusätzlich mittels Ñ R gewählten Polstellen für die vorgebende Führungsübertragungsfunktion. Hinweise: Zum Berechnen der Frequenzgänge können die Scilab Funktionen freq oder repfreq verwendet werden. Sie können desweiteren die Funktion plot_st (auf der Webseite) verwenden. R(z) k Z c (z) Z c (z) N c (z) U(z) Z(z) N(z) Y(z) V(z) Abbildung 4: Gewünschte Regelkreisstruktur 4.3 Modellierung des nichtlinearen Systems in Scilab/Scicos Implementieren Sie das im Abschnitt 3 angegebene nichtlineare System in Scicos. Führen Sie eine Arbeitspunkttransformation für Ein und Ausgang des Models durch, um es den Regler anzupassen, der für einen bestimmten Arbeitspunkt berechnet wurde. 4.4 Validierung des Reglerentwurfs anhand von Simulationen Überprüfen Sie Ihren Reglerentwurf zunächst durch Simulation des Reglers mit dem linearen Streckenmodell ohne Stellgrößenbeschränkung! Implementieren Sie den Regler und das lineare Streckenmodell mittels Übertragungsfunktionen in Scicos! Als Referenz soll ein Square-Wave-Signal getestet werden mit einem Mittelwert von 0.01 m, einer Amplitude von m und einer Periode von 2 s. Bedenken Sie, dass in der Realität signifikantes Messrauschen zu erwarten ist (< m)! Berücksichtigen Sie dies in 5

6 Ihrer Computersimulation! Bilden Sie Ihr Scicos-Diagramm ab und plotten Sie Ein- und Ausgang des Systems. Im Falle eines funktionstüchtigen Reglers können Sie nun mit dem nichtlinearen Streckenmodell bei der Regelkreissimulation fortfahren. Beachten Sie nun auch, dass die Stellgröße u auf den Bereich [0...1] beschränkt ist. Bilden Sie Ihr Scicos-Diagramm ab und plotten Sie Ein- und Ausgang des Systems. Diskutieren Sie kurz Ihre Simulationsergebnisse. 5 Laboraufgaben 5.1 Portierung des Regler Portieren Sie ihr Reglerentwurfsskript auf den Versuchsrechner (mittels USB-Stick) und Implementieren Sie den Regler im Scicos-Modell lm.cos (Superblock ml_control. Das Modell beinhaltet Schnittstellen zur realen Strecke und zur späteren Visualisierung mittels RTAI-Lab. Erzeugen Sie ein echtzeitfähiges Programm mit einem Regler, der den großen Ball bei 10mm schweben lässt! Erproben Sie die Regelung unter Benutzung von RTAI-Lab! 5.2 Sprungförmige Änderung der Referenz Modifizieren Sie Ihr Scicos-Diagramm, so dass die Referenz alle 2 Sekunden zwischen den Werten 8 und 12 mm springt. Nehmen Sie die Verläufe mit RTAI-Lab auf und lesen Sie nach dem Experiment die Werte in Scilab ein! Sind die Vorgaben des Reglerentwurfs erfüllt? 5.3 Robustheitstest Führen Sie das zuvor durchgeführte Experiment erneut mit der kleinen Kugel durch! Nehmen Sie die Verläufe mit RTAI-Lab auf und lesen Sie nach dem Experiment die Werte in Scilab ein! Sind die Vorgaben des Reglerentwurfs noch erfüllt? 6