Schriftliche Prüfung aus Systemtechnik am

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1 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni Schriftliche Prüfung aus Systemtechni am Name / Vorname(n): Matriel-Nummer: Aufgabe A A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 Summe erreichbare Punte erreichte Punte

2 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 2 Aufgabe : Geben Sie die Definitionen folgender Eigenschaften eines zeitontinuierlichen linearen zeitinvarianten Zustandsraummodells mit dem Zustandsvetor x und der Eingangsgröße u an: asymptotische Stabilität; Steuerbareit. Aufgabe 2: Von einem linearen zeitinvarianten Zustandsraummodell der Form dt = Ax, y = ct x seien für unterschiedliche Werte des Anfangszustandes x 0 die Verläufe der Ausgangsgröße y(t) für t 0 beannt: für x () 0 = [ 0 ] T ergibt sich die Ausgangsgröße y () (t) = t; für x (2) 0 = [ 0 2 ] T ergibt sich die Ausgangsgröße y (2) (t) = + t. Ermitteln Sie die Eigenwerte der Systemmatrix A sowie den Verlauf der Ausgangsgröße y(t) für den Anfangszustand x 0 = [ 3 4 ] T. Aufgabe 3: Geben Sie zu folgenden linearen zeitinvarianten Übertragungsgliedern jeweils die Übertragungsfuntion G(s), sizzieren Sie die zugehörige Sprungantwort h(t) und stellen Sie den Frequenzgang G(jω) in Form eines Bode-Diagramms dar: Verzögerungsglied erster Ordnung (PT -Glied); Vorhalteglied (DT -Glied). Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass die Übertragungsfuntion G(s) eines linearen zeitinvarianten Zustandsraummodells der Form dt = Ax + bu, y = ct x + du invariant bezüglich regulärer Zustandstransformationen der Form x = Pz ist. Hinweis: Für zwei Matrizen Q, R geeigneter Dimensionen gilt (QR) = R Q.

3 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 3 Aufgabe 5: Geben Sie ein lineares zeitinvariantes Zustandsraummodell zweiter Ordnung der Form dt = Ax + bu, y an, welches folgende Eigenschaften besitzt: = ct x es liegt in 2. Normalform vor, es besitzt die BIBO-Eigenschaft und es ist nicht asymptotisch stabil. Aufgabe 6: Es sei ein Polynom p(z) = z 2 + a z + a 0 gegeben. Ermitteln und sizzieren Sie in der a 0 -a -Ebene den größtmöglichen Wertebereich der reellen Parameter a 0 und a, für den p(z) ein Schurpolynom (d.h. ein Einheitsreispolynom) ist. Aufgabe 7: Betrachten Sie folgenden PN-Plan der Übertragungsfuntion G(s) eines zeitontinuierlichen linearen zeitinvarianten Übertragungssystems. 2 ln 2 ln 2 ln 2 π π 2 π 2 π Im Pole Nullstellen Re Das System wird gemäß folgender Abbildung mit einem Abtast- und einem Halteglied, jeweils mit der Abtastzeit T d = versehen. (u ) T d T u(t) y(t) d H G(s) A (y ) G d (z) Stellen Sie die Polstellen der z-übertragungsfuntion G d (z) des resultierenden zeitdisreten Systems in der omplexen z-ebene dar.

4 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 4 Aufgabe 8: Betrachten Sie folgende Zusammenschaltung zweier linearer zeitinvarianter Zustandsraummodelle (ZR-Modell und ZR-Modell 2): G 2 (s) G (s) ZR-Modell 2 u ZR-Modell y Beide Zustandsraummodelle sind sowohl steuerbar als auch beobachtbar; sie besitzen die Übertragungsfuntionen G (s) = s + 4 (s + )(s + 2), G 2(s) = s + 3. Ist das Zustandsraummodell der Zusammenschaltung, dessen Zustandsvetor sich aus den Zustandsvariablen der beiden Teilsysteme zusammensetzt, steuerbar bzw. beobachtbar? (Begründen Sie Ihre Antwort!)

6 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 2 Aufgabe : Geben Sie die Definitionen folgender Eigenschaften eines zeitontinuierlichen linearen zeitinvarianten Zustandsraummodells mit dem Zustandsvetor x, der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y an: Beobachtbareit; BIBO-Stabilität. Aufgabe 2: Von einem linearen zeitinvarianten Übertragungssystem ist beannt, dass bei verschwindendem Anfangszustand für die Eingangsgröße u () (t) = e 2t die Ausgangsgröße y () (t) = e t resultiert. Geben Sie die zur Eingangsgröße { u (2) 0 t < (t) = e 2t t gehörige Ausgangsgröße y (2) (t) an und sizzieren Sie diese für 0 t 4. Aufgabe 3: Geben Sie zu folgenden linearen zeitinvarianten Übertragungsgliedern jeweils die Übertragungsfuntion G(s) an und sizzieren Sie die zugehörige Sprungantwort h(t): Integrierer; Vorhalteglied (DT -Glied). Aufgabe 4: Gegeben sei ein lineares zeitinvariantes System der Form dt = Ax, y = ct x. mit der Systemordnung n = 3. Zeigen Sie, dass die Beobachtbareit dieses Systems invariant bezüglich einer regulären Zustandstransformationen der Form x = Pz ist. Aufgabe 5: Gegeben sei ein zeitdisretes nichtlineares Zustandsraummodell erster Ordnung mit der Zustandsvariable x: x + = x 2 2 Ermitteln Sie alle Ruhelagen des Systems.

7 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 3 Aufgabe 6: Betrachten Sie folgenden PN-Plan der Übertragungsfuntion G(s) eines zeitontinuierlichen linearen zeitinvarianten Übertragungssystems (alle eingezeichneten Pole und Nullstellen haben Vielfachheit eins). 0,5 2 0,5 Im Pole Nullstellen Ferner ist beannt, dass die Ausgangsgröße y(t) für die Eingangsgröße u(t) = σ(t) (d.h. für einen Einheitssprung) die Relation lim y(t) = 2 t erfüllt. Ermitteln Sie die Übertragungsfuntion G(s). Aufgabe 7: Von einem linearen zeitinvarianten Zustandsraummodell der Form dt = Ax ist beannt, dass die Transitionsmatrix die Form Φ(t) = M + e t M 2 mit onstanten aber unbeannten Matrizen M und M 2 hat. Wie lauten die Eigenwerte der Systemmatrix A? Wie lautet die Inverse ( Φ(t) ) der Transitionsmatrix? Bestimmen Sie M und M 2 in Abhängigeit der Systemmatrix A. Aufgabe 8: Überprüfen Sie, welche der folgenden Übertragungsfuntionen realisierbar ist; die BIBO-Eigenschaft besitzt: (Begründen Sie Ihre Antworten!) i) G (s) = s (s )(s + 2), ii) G 2(s) = Re s 2 s +, iii) G 3(s) = s2 + s + s + 2

9 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 2 Aufgabe : Geben Sie die Definitionen folgender Eigenschaften eines zeitdisreten linearen zeitinvarianten Zustandsraummodells mit dem Zustandsvetor x und der Eingangsgröße u an: asymptotische Stabilität; Steuerbareit. Aufgabe 2: Es wird ein lineares zeitinvariantes zeitdisretes Übertragungssystem betrachtet. Eine Eingangsfolge (u () ) sowie die zugehörige Ausgangsfolge (y() ) wurden im Rahmen eines Experimentes aufgezeichnet und sind in graphischer Form gegeben:,5 0,5 u () ,5 0,5 y () Sizzieren Sie für die unter Verwendung der Sprungfolge { 0 < 0 σ = 0 gebildete Eingangsfolge u (2) = 2(σ σ 4 ) in nachvollziehbarer Weise die zugehörige Ausgangsfolge (y (2) ) (beschreiben Sie Ihre Vorgangsweise urz in Worten). Aufgabe 3: Geben Sie zu folgenden linearen zeitinvarianten Übertragungsgliedern jeweils die Übertragungsfuntion G(s) an und sizzieren Sie jeweils eine typische Sprungantwort h(t): Proportionalglied; Verzögerungsglied erster Ordnung (PT -Glied); Verzögerungsglied zweiter Ordnung (PT 2 -Glied).

10 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 3 Aufgabe 4: Gegeben sei ein lineares zeitinvariantes System der Form dt = Ax + bu, y = ct x + du. mit der Systemordnung n = 4. Dessen Übertragungsfuntion sei durch G(s) gegeben. Geben Sie folgende Kriterien für die Systemeigenschaften Beobachtbareit bzw. BIBO-Stabilität an: das Beobachtbareitsriterium nach Kalman; das Beobachtbareitsriterium nach Hautus; ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die BIBO-Stabilität. Aufgabe 5: Gegeben sei ein lineares zeitinvariantes System der Form dt = Ax. Geben Sie die zugehörige Transitionsmatrix Φ(t) in Form einer unendlichen Reihe an. Ermitteln Sie ausgehend von dieser Reihendarstellung von Φ(t) nachvollziehbar die Werte Φ(0) und d dt Φ t=0. Geben Sie eine Reihendarstellung der Inversen der Transitionsmatrix Φ (t) an. Aufgabe 6: Von einer gebrochen rationalen Übertragungsfuntion G(s) zweiter Ordnung mit reellen Koeffizienten ist beannt, dass Folgendes gilt: G(j) = 0, lim G(s) =, G(0) = 2. s +j Ermitteln Sie G(s). Aufgabe 7: Geben Sie zu folgenden Übertragungsfuntionen jeweils eine Minimalrealisierung in zweiter Standardform an: G (s) = (s + 3) 2 s 3 + 5s 2 2s + 8, G 2(s) = s + 3 s 3 + 6s 2 + 9s, G 3(s) = s + 5 s + 2.

11 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 4 Aufgabe 8: Betrachten Sie folgende Zusammenschaltung zweier linearer zeitinvarianter Zustandsraummodelle (ZR-Modell und ZR-Modell 2): G 2 (s) G (s) ZR-Modell 2 u ZR-Modell y Beide Zustandsraummodelle sind sowohl steuerbar als auch beobachtbar; sie besitzen die Übertragungsfuntionen G (s) = s + 5 s 2 4, G 2(s) = s + 3. Ist das Zustandsraummodell der Zusammenschaltung, dessen Zustandsvetor sich aus den Zustandsvariablen der beiden Teilsysteme zusammensetzt, steuerbar bzw. beobachtbar? (Begründen Sie Ihre Antwort!)

13 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 2 Aufgabe : Geben Sie die Definitionen folgender Eigenschaften eines zeitontinuierlichen Systems an: Kausalität, d.h. wann nennt man ein System mit der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y ausal; Linearität, d.h. wann nennt man ein System mit dem Zustandsvetor x, der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y folgender Form linear: = f(x, u) dt y = g(x, u) Aufgabe 2: Es wird ein lineares zeitdisretes Übertragungssystem betrachtet. Im Rahmen eines Experimentes wurden zu zwei Eingangsfolgen (u () ) und (u(2) ) jeweils die Ausgangsfolgen (y () ) und (y(2) ) ermittelt. Diese sind in graphischer Form gegeben: 2,5 0,5 u () ,5 0,5 y () ,5 0,5 u (2) ,5 0,5 y (2) Überprüfen Sie in nachvollziehbarer Art und Weise, ob es sich bei diesem System um ein zeitinvariantes System handelt. Aufgabe 3: Erläutern Sie das Funtionsprinzip folgender essentieller Bestandteile eines digitalen Regelreises:

14 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 3 Halteglied; Abtaster. Aufgabe 4: Gegeben sei ein lineares zeitinvariantes System der Form dt = Ax Zeigen Sie, dass die asymptotische Stabilität dieses Systems invariant bezüglich einer regulären Zustandstransformationen der Form x = Pz ist. Aufgabe 5: Betrachten Sie folgendes lineare zeitinvariante System dt = π 0 x + 0 u y = [ 3 4 ] x + 5u Geben Sie die zugehörige Transitionsmatrix Φ(t) an. Ist das System asymptotisch stabil? Ist das System steuerbar und/oder beobachtbar? (Begründen Sie jeweils Ihre Antworten!) Aufgabe 6: Es sei ein Polynom p(s) = a 3 s 3 +a 2 s 2 +a s+a 0 gegeben. Ermitteln Sie den größtmöglichen Wertebereich der reellen Parameter a 0, a, a 2 und a 3, für den p(s) ein Hurzwitzpolynom ist. Sizzieren Sie anschließend für die festen Parameterwerte a 2 = a 3 = den Bereich der Parameterwerte a 0 und a, für welchen sich ein Hurwitzpolynom ergibt, in der a 0 -a -Ebene. Aufgabe 7: Betrachten Sie folgende PN-Pläne der Übertragungsfuntionen G (s) und G 2 (s) zweier zeitontinuierlicher linearer zeitinvarianter Übertragungssysteme.

15 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 4 Im Pole G (s) Nullstellen G (s) Im Pole G 2(s) Nullstellen G 2(s) Re Re,5 2,5 2 Es gilt G (0) = G 2 (0) =. Ermitteln Sie für die Eingangsgröße ( u(t) = cos t + π ) 6 die Ausgangsgröße y(t) der beiden Systeme im eingeschwungenen Zustand, d.h. für sehr große Werte des Zeitparameters t. Aufgabe 8: Geben Sie zur Übertragungsfuntion G(s) = s2 + 2s + s(s + ) jeweils ein Zustandsraummodell zweiter Ordnung in erster Standardform und in zweiter Standardform an. Sind die Zustandsraummodell jeweils steuer- und/oder beobachtbar? (Begründen Sie Ihre Antworten!)

17 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 2 Aufgabe : Geben Sie die Definitionen folgender Eigenschaften eines zeitontinuierlichen linearen zeitinvarianten Zustandsraummodells mit dem Zustandsvetor x, der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y an: Steuerbareit; BIBO-Stabilität. Aufgabe 2: Es wird ein zeitontinuierliches System mit der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y betrachtet. Im Rahmen von Experimenten wurden für die im Folgenden dargestellten Zeitfuntionen u () (t) und u (2) (t) die nebenstehend abgebildeten Ausgangsgrößenverläufe y () (t) und y (2) (t) erhalten: 2 u () (t) 2 y () (t) 2 t 2 t 2 u (2) (t) 2 y (2) (t) 2 t 2 t Kann es sich hierbei prinzipiell, d.h. vorbehaltlich der Ergebnisse weiterer Versuche und Untersuchungen, um ein lineares zeitinvariantes System handeln? (Begründen Sie Ihre Antwort!) Aufgabe 3: Geben Sie ein lineares zeitinvariantes zeitdisretes Zustandsraummodell der Form x + = A d x + b d u y = c T d x + d d u mit minimaler Ordnung (!) an, welches weder steuerbar noch beobachtbar ist und die Übertragungsfuntion G(z) = z z besitzt.

18 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 3 Aufgabe 4: Betrachten Sie folgendes freie LZI System: dt = x Ist das System asymptotisch stabil? Geben Sie die zugehörige Transitionsmatrix Φ(t) an. (Begründen Sie jeweils Ihre Antworten!) Aufgabe 5: Gegeben sei ein lineares Übertragungssystem mit der Eingangsgröße u, der Ausgangsgröße y und der Gewichtsfuntion g(t). Zeigen Sie, dass das System die BIBO Eigenschaft besitzt, wenn g(t) absolut integrierbar ist. Aufgabe 6: Es sind folgende Gewichtsfuntionen g,..., g 4 von vier linearen zeitinvarianten Übertragungssystemen gegeben: g (t) = e 0t, g 2 (t) = Sind diese jeweils als Zustandsraummodell der Form dt = Ax + bu, y (t + ) 2, g 3(t) = (t + ) 2, g 4 (t) = t. = ct x realisierbar? Wenn ja, geben Sie jeweils ein solches an. (Begründen Sie jeweils Ihre Antworten!) Aufgabe 7: Gegeben sei ein nichtlineares Zustandsraummodell zweiter Ordnung mit den Zustandsvariablen x und x 2 : dt = x 2 2 dt = x2 x 2 4 Ermitteln Sie alle Ruhelagen des Systems.

19 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 4 Aufgabe 8: Betrachten Sie folgenden PN-Plan der Übertragungsfuntion G(s) eines zeitontinuierlichen linearen zeitinvarianten Übertragungssystems. 2 ln 2 ln 2 ln 2 π 2 π 4 π 4 Im Pole Nullstellen Re π 2 Das System wird gemäß folgender Abbildung mit einem Abtast- und einem Halteglied, jeweils mit der Abtastzeit T d = versehen. (u ) T d T u(t) y(t) d H G(s) A (y ) G d (z) Stellen Sie die Polstellen der z-übertragungsfuntion G d (z) des resultierenden zeitdisreten Systems in der omplexen z-ebene dar. Besitzt das System die BIBO- Eigenschaft? (Begründen Sie Ihre Antwort!)

21 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 2 Aufgabe : Geben Sie die Definitionen folgender Eigenschaften eines zeitdisreten linearen zeitinvarianten Zustandsraummodells mit dem Zustandsvetor x, der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y an: Steuerbareit; Beobachtbareit. Aufgabe 2: Es sei folgende Übertragungsfuntion eines linearen zeitinvarianten Übertragungssystems mit der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y gegeben: G(s) = s2 + a (s + a) 2 Dabei ist a ein reeller Parameter. Ermitteln Sie für die Eingangsgröße u(t) = sin t die Ausgangsgröße y(t) des Systems im eingeschwungenen Zustand für folgende beide Werte des Parameters a: Aufgabe 3: i) a =, ii) a =. Betrachten Sie folgende Zusammenschaltung zweier Übertragungssysteme mit den Übertragungsfuntionen G (s), G 2 (s): u G (s) G 2 (s) y 2 Hierbei sind und 2 reelle Parameter. Ermitteln Sie die Übertragungsfuntion G(s) des Gesamtsystems mit der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y. Aufgabe 4: Geben Sie zu folgenden linearen zeitinvarianten Übertragungsgliedern jeweils die Übertragungsfuntion G(s) an und sizzieren Sie jeweils eine typische Sprungantwort h(t): Integrierer; Verzögerungsglied erster Ordnung (PT -Glied); Vorhalteglied (DT -Glied).

22 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 3 Aufgabe 5: Ein lineares zeitinvariantes Zustandsraummodell der Form dt = Ax + bu wird wie nachfolgend dargestellt mit einem Abtast- und einem Halteglied mit der Abtastzeit T d versehen. T d (u ) u(t) x(t) (x ) H = Ax + bu A dt T d Zeigen Sie, dass die Systemmatrix des Zustandsraummodells des resultierenden zeitdisreten Systems immer invertierbar ist. Ermitteln Sie ein Zustandsraummodell des resultierenden zeitdisreten Systems, wenn die Daten des zeitontinuierlichen Systems lauten: A = , b = Aufgabe 6: Es sei ein lineares zeitdisretes System der Form x + = A d x + b d u gegeben, dessen Systemmatrix A d als invertierbar vorausgesetzt wird. Als Eingangsgröße wird die Folge m 2 = 0 u = m δ + m 2 δ = m = 0 sonst verwendet. Deren reelle Parameter m, m 2 werden zu einem Vetor m := [ ] T m m 2 zusammengefasst. Ermitteln Sie diesen Parametervetor m in Abhängigeit von x 0 so, dass x 2 = 0 (und damit auch x = 0 für 2) gilt. Welche Eigenschaft muss das System besitzen, damit diese Ermittlung bei beliebig vorgegebenem Anfangszustand x 0 möglich ist? (Begründen Sie Ihre Antwort!)

23 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechni 4 Aufgabe 7: Demonstrieren Sie die Anwendung des Abbauverfahrens anhand des Polynoms p(z) = z 2 + a z + a 0 mit den reellen Parametern a 0, a. Geben Sie notwendige und hinreichende Bedingungen in Form zweier Ungleichungen für die Paramter a 0 und a dafür an, dass p(z) ein Einheitsreispolynom ist. Aufgabe 8: Betrachten Sie folgende Zusammenschaltung zweier linearer zeitinvarianter Zustandsraummodelle (ZR-Modell und ZR-Modell 2): u G (s) ZR-Modell G 2 (s) ZR-Modell 2 y Beide Zustandsraummodelle sind sowohl steuerbar als auch beobachtbar; sie besitzen die Übertragungsfuntionen G (s) = s + 5 s 2 4, G 2(s) = s 2 s + 3. Ist das Zustandsraummodell der Zusammenschaltung, dessen Zustandsvetor sich aus den Zustandsvariablen der beiden Teilsysteme zusammensetzt, steuerbar bzw. beobachtbar? (Begründen Sie Ihre Antwort!)