Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am

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1 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 1 Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrikel-Nummer: Bonuspunkte aus den MALAB-Übungen: O ja O nein erreichbare Punkte erreichte Punkte

2 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe 1: Betrachten Sie einen Standardregelkreis mit der Führungsgröße r und der Ausgangsgröße y: r e R(s) P(s) y Der Frequenzgang P( j ) der Strecke liegt für 0 graphisch vor: Im{P(j)} 0 V Re{P(j)} a) Das alljährliche Chaos zu Semesterbeginn hat dazu geführt, dass sowohl die Skalierung der Achsen als auch die Werte der reellen und positiven Parameter V und verloren gegangen sind. Zu welcher der folgenden Übertragungsfunktionen Ps () kann obige Ortskurve gehören? Begründen Sie Ihre Antwort! V V s1 i) Ps () iii) Ps () s s s1 s s1 ii) Ps () V s1s s1 iv) V s Ps () s s1 b) Ermitteln Sie die -Werte für die Schnittpunkte von P( j ) mit der reellen Achse in Abhängigkeit des Parameters. c) Als Regler wird ein Proportionalregler R() s = K eingesetzt (K ist dabei ein reeller und positiver Parameter). Bestimmen Sie mit Hilfe des NYQUIS-Kriteriums nachvollziehbar den größtmöglichen Wertebereich des Parameters K (in Abhängigkeit von den Parametern V und ), für den obiger Regelkreis die BIBO-Eigenschaft besitzt. d) Ermitteln Sie für rt ( ) ( t) die bleibende Regelabweichung e lim e( t). Hinweis: arc(1 L( j)) ( na nr) Ls () stellt hierbei die Übertragungsfunktion des offenen Kreises dar. t

3 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 Aufgabe : Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit der Führungsgröße r und der Ausgangsgröße y : r e R(s) P(s) y Die Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion Frequenzgang Ps sei vom einfachen yp, ihr P j liegt in Form von BODE-Diagrammen graphisch vor: IP(j)I db arc(p(j) [ ] [rad] 1) Es wird zunächst ein Proportionalregler Rs 1 eingesetzt. a) Ermitteln Sie näherungsweise die bleibende Regelabweichung e bei einer r t t t. rampenförmigen Eingangsgröße b) Ermitteln Sie näherungsweise das prozentuale Überschwingen und die Anstiegszeit der Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises. ) Entwerfen Sie einen Regler, der bei gleich bleibender Anstiegszeit zu einem prozentualen Überschwingen von ü=13% führt. Weiters soll die bleibende Regelabweichung für rampenförmige Eingangsgrößen e 0.1 betragen. Dimensionieren Sie in nachvollziehbarer Weise näherungsweise einen geeigneten Regler. m m 1 max arcsin m m db

4 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 4 Aufgabe 3: Gegeben sei das mathematische Modell einer Regelstrecke mit der Eingangsgröße u, der Ausgangsgröße y und dem Zustandsvektor x : dx u y 1 0 dt 0 x 1 x Zur Regelung wird ein Zustandsregler der Form u h x Vr eingesetzt. a) Untersuchen Sie die Steuerbarkeit des Systems. b) Ermitteln Sie notwendige und hinreichende Bedingungen für die Elemente des Vektors h h1 h, damit der Regelkreis asymptotisch stabil ist. Zeichnen Sie den gefundenen Stabilitätsbereich in der h1-h - Ebene ein. c) Wie sind die Reglerparameter zu wählen, damit die Führungsübertragungsfunktion durch ( s) gegeben ist. V () s s x 0 0 mit 0 Aufgabe 4: Gegeben sei das mathematische Modell einer Regelstrecke mit der Eingangsgröße u, der Ausgangsgröße y und dem Zustandsvektor x : dx 1 u dt 0 1 x y 1 Die Parameter, und sind reellwertige Konstanten. a) Ermitteln Sie notwendige und hinreichende Bedingungen für, und, damit das System beobachtbar ist. b) Für die Parameter, und gilt nun:, 1, 0 Entwerfen Sie einen asymptotischen Zustandsbeobachter der Form so, dass gilt: x e t 1,0 ˆ t x,0e x x x Wie lautet der reelle Parameter? wobei x x 1,0 x ( t 0) x.,0 dxˆ ˆ ˆ u ˆy dt Ax b b

5 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 1 Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrikel-Nummer: Bonuspunkte aus den MALAB-Übungen: O ja O nein erreichbare Punkte erreichte Punkte

6 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe 1: Gegeben sei ein Standardregelkreises mit der Führungsgröße r und der Ausgangsgröße y : r e R(s) u P(s) y Weiters seien die BODE-Diagramme der Strecke 0 0 P s 10,5s 1 (10s1)( s1) 0,s1 gegeben: P(jw) [db] arc P(jw) [ ] w (log) a) Besitzt der geschlossene Regelkreis für Rs 1 die BIBO-Eigenschaft? (Begründen Sie ihre Antwort!) b) Wählen Sie einen P-Regler Rs Führungsgröße rt () () t den Endwert lim yt ( ) 0,9 annimmt. t K so, dass die Ausgangsgröße yt () für die c) Bestimmen Sie die Durchtrittsfrequenz C für Rs K 10. Ermitteln Sie die zu erwartende Anstiegszeit der Sprungantwort des geschlossenen Kreises. K R s ersetzt. Hierbei ist K I ein s positiver, reeller Parameter. Geben Sie näherungsweise den größtmöglichen Wertebereich für K an, für welchen ein Überschwingen ü 0% zu erwarten ist. d) Der P-Regler wird nun durch einen I-Regler I I

7 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 Aufgabe : Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit der Führungsgröße Ausgangsgröße y : r y G(s) r und der K Hierbei ist K ein beliebiger reeller Parameter, für die Führungsübertragungsfunktion Y() s () s gilt: Rs () AW 0 () s ss ( 1) K a) Skizzieren Sie für 0 in der komplexen Ebene die Ortskurve der Strecke G( jw ). Geben Sie die Werte der Schnittpunkte der Ortskurve G( jw ) mit der reellen Achse an. b) Ermitteln Sie mit Hilfe des NYQUIS-Kriteriums den größtmöglichen Wertebereich des Parameters K, für den obiger Regelkreis die BIBO-Eigenschaft besitzt. c) Als Führungsgröße wird nun die Sprungfunktion gewählt, d.h. rt () = s () t. Ermitteln Sie den Wert y = lim yt ( ) in Abhängigkeit des Parameters K. Skizzieren Sie den tæ Verlauf der Funktion y f( K ) in einem Diagramm. Hinweis: Aufgabe 3: arc 1 L( j ) ( na nr) / Ls () stellt hierbei die Übertragungsfunktion des offenen Kreises dar. Betrachten Sie folgendes mathematische Modell dx u y 0 dt 1 1 x 1 x. Für obiges Modell soll ein asymptotischer Zustandsbeobachter der Form ermittelt werden. dxˆ ˆ ˆ u ˆy dt Ax b b a) Für welche Werte des reellen Parameters können die Eigenwerte der Matrix  nicht beliebig vorgegeben werden? b) Berechnen Sie für 1 den Vektor ˆb so, dass alle Eigenwerte der Matrix liegen.  bei -

8 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 4 Aufgabe 4: Gegeben sei folgendes mathematisches Modell dx u dt x Durch eine reguläre Zustandstransformation Steuerbarkeitsnormalform überführt werden. z1 x1 z z x x z 3 x 3 soll obiges Modell in die a) Bestimmen Sie die ransformationsmatrix. Hinweis: Es gilt z x x3 Betrachten Sie nun das System in der Steuerbarkeitsnormalform dz dt z 0 u. a0 a1 a 1 b) Bestimmen Sie einen Zustandsregler u kz Systemmatrix des geregelten Systems der Gleichung Hierbei sei ein reeller Parameter. so, dass die Eigenwerte der ( s1)( s s1) 0 genügen. c) Bestimmen Sie den Wertebereich des unter b) eingeführten Parameters, wenn für das geregelte System gelten soll: lim x ( t) 0 Begründen Sie Ihre Antwort. t Hinweis: Für die Beantwortung der Punkte b) und c) wird die Lösung aus a) nicht benötigt.

9 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 1 Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrikel-Nummer: Bonuspunkte aus den MALAB-Übungen: O ja O nein 1 3 erreichbare Punkte erreichte Punkte

10 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe 1: Gegeben sei folgendes mathematisches Modell einer Regelstrecke mit der Eingangsgröße u, dem Zustandsvektor x und der Ausgangsgröße y : dx 3 4 u : u dt 7 8 x 4 Axb y 11 6 x: c x Zur Regelung dieser Strecke wird die Vorschrift u h1 h xvr h x Vr herangezogen. Für die gewünschte Führungsübertragungsfunktion stehen 3 Möglichkeiten zur Auswahl: s 6 (i) s s 3 6 (ii) s s 5s6 s 6 (iii) s s 5s6 s des Regelkreises a) Wählen Sie die einzig mögliche Führungsübertragungsfunktion (Begründen Sie Ihre Wahl!) und bestimmen Sie die Größen h und V. Da der Zustandsvektor eingesetzt. x nicht messbar ist, wird ein einfacher Beobachter der Form dxˆ ˆ u dt Ax b b) Geben Sie die Differentialgleichung für den Schätzfehler e: x x ˆ an. Klingt der e 0 für t ab? (Begründen Sie Ihre Schätzfehler für jeden beliebigen Anfangswert Antwort!) c) Für die praktische Realisierung obiger Regelung wird nun der Schätzwert ˆx verwendet, also u =- hx ˆ + Vr. Diese Zusammenschaltung von Regelstrecke, Zustandsregler und Zustandsbeobachter ergibt ein Gesamtsystem der Form dz Az br dt y c z x mit dem Zustandsvektor z. ˆ x Bestimmen Sie zahlenmäßig die Systemgrößen A, b und d) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A. c.

11 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 Aufgabe : Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit der Führungsgröße Ausgangsgröße y : r e y R(s) P(s) r und der Die Regelstrecke besitze die Übertragungsfunktion Ps () = 1 ( s + 1). Aus Einsparungsgründen stehen nur die zwei nachfolgenden Regler K a ) R() s = K b ) Rs () = s zur Verfügung ( K ist hierbei ein positiver reeller Parameter). a) Bestimmen Sie für beide Regler mit Hilfe des NYQUIS-Kriteriums den größtmöglichen Wertebereich von K so, dass der geschlossene Kreis die BIBO- Eigenschaft aufweist. b) Wählen Sie einen Regler (begründen Sie Ihre Wahl) und dimensionieren Sie diesen mit Hilfe des Frequenzkennlinienverfahrens so, dass die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises (näherungsweise) ein prozentuales Überschwingen von 15 % aufweist und für die bleibende Regelabweichung e lim e t 0 gilt. t Ein überraschenderweise erhaltenes EU-Rettungspaket macht die Finanzierung eines Reglers mit der Struktur 1 s / Z Rs () K mit N m Z 1 s / N möglich. c) Dimensionieren Sie mit Hilfe des Frequenzkennlinienverfahrens die Parameter Z, und K so, dass gegenüber Punkt b) bei gleichem Überschwingen die Anstiegszeit auf ein Zehntel reduziert wird. Hinweis: arc 1 L( j ) ( na nr) / Ls () stellt hierbei die Übertragungsfunktion des offenen Kreises dar. m : m 1 max arcsin : m m : db N t r

12 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 4 Aufgabe 3: Gegeben sei das mathematische Modell eines Systems mit der Eingangsgröße u, der Ausgangsgröße y und dem Zustandsvektor x : dx u dt 5 6 x y x a) Ermitteln Sie den größtmöglichen Wertebereich der reellen Parameter und so, dass das System weder steuerbar noch beobachtbar ist. b) Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung an, damit obiges Modell in die Steuerbarkeitsnormalform transformiert werden kann. Vorausgesetzt diese ransformation ist möglich: Bestimmen Sie für 1 die reguläre Zustandstransformation z x, sodass obiges Modell in die Steuerbarkeitsnormalform überführt werden kann. c) Der Zustandsvektor x wird nun in einem Zustandsregler der Form u 4 5 x r mit r als Führungsgröße zur Regelung des obigen Systems verwendet. Berechnen Sie für ys () 1 und 0 die Pole der Übertragungsfunktion () s des Regelkreises. rs () AW = 0

13 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 1 Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am Name / Vorname(n): Matrikel-Nummer: Bonuspunkte aus den MALAB-Übungen: O ja O nein 1 3 erreichbare Punkte erreichte Punkte

14 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe 1: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit der Führungsgröße r, dem Regelfehler e, der Stellgröße u und der Ausgangsgröße y : r e R(s) u P(s) y Die zu regelnde Strecke Ps () sei vom einfachen yp. Der Frequenzgang P( jw ) wurde gemessen und ist in Form von BODE-Diagrammen dargestellt: a) Es wird zunächst ein Regler der Form Rs () = 1 verwendet. Bestimmen Sie für die Führungsgröße rt ( ) = 3cos(10 t+ p / 4) den Regelfehler et () im eingeschwungenen Zustand. b) Als nächstes wird ein Regler der Form R() s = K / s verwendet (K sei hierbei ein reeller Parameter). Dimensionieren Sie mit Hilfe des Frequenzkennlinienverfahrens den Regler so, dass Die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises () s ein prozentuales Überschwingen von ü 5% aufweist. Wie groß sind die zu erwartende Anstiegszeit t r (näherungsweise) und die bleibende Regelabweichung e? c) Die Sprungantwort des Regelkreises s () soll nun (bei gleichbleibender Regelabweichung e ) eine Anstiegszeit von tr 0.15s und ein prozentuales Überschwingen von ü 8% aufweisen. Dafür wird die Reglerstruktur aus Aufgabe b) um ein Lead-Glied erweitert: 1 V R s s Rs () 1 1. s Z N Bestimmen Sie die Knickfrequenzen und N sowie den Verstärkungsfaktor V R. Z

15 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 m m 1 max arcsin m m db Aufgabe : Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit der Führungsgröße r, der Stellgröße u und der Ausgangsgröße y : r y R(s) u P(s) Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke besitzt folgende Struktur: V( s-1) Ps () = s + a s+ 1 Hierbei sind V und a reelle Parameter. Zur Bestimmung dieser Parameter wurden mit der Strecke Experimente durchgeführt: 1) Sprungantwort: Die Antwort der Strecke Ps () auf die Eingangsfunktion ut () = s () t ergab nach genügend langer Zeit (t Æ ) für die Ausgangsgröße den Wert y =. Ps auf die Eingangsfunktion ut () = sin( 3t) ergab nach Abklingen der Einschwingvorgänge die Ausgangsgröße y() t =- sin( 3t). ) Frequenzgang: Die Antwort der Strecke () a) Zeigen Sie, dass für die beiden unbekannten Parameter der Strecke V =- und a = 1 gilt. Möglicher Einstieg in das Bsp - Aufgabe a) ist nicht zwingend erforderlich zum Weiterrechnen! Als Regler wird ein Proportionalregler R() s = K eingesetzt. Für die beiden unbekannten Parameter der Strecke gilt V =- und a = 1. b) Zeichnen Sie die Ortskurve des Frequenzganges P( jw ) der Strecke für 0 w. c) Geben Sie alle Schnittpunkte der Ortskurve mit der reellen Achse an. d) Ermitteln Sie mit Hilfe des NYQUIS-Kriteriums nachvollziehbar (mit Fallunterscheidung und Bestimmung der stetigen Winkeländerung für jeden Fall) den größtmöglichen Wertebereich des Parameters K, für den obiger Regelkreis die BIBO-Eigenschaft besitzt. Hinweis: arc 1 L( j ) ( na nr) Ls () stellt hierbei die Übertragungsfunktion des offenen Kreises dar.

16 U Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 4 Aufgabe 3: Gegeben sei folgendes mathematische Modell einer Strecke mit der Eingangsgröße u, dem Zustandsvektor x und der Ausgangsgröße y : dx 1 u dt 1 0 x 1 y 1 0 x a) Ermitteln Sie ein Regelgesetz der Form zugehörige Führungsübertragungsfunktion ys 4 s rs s 1 x0 0 lautet. u h1 h Vr Vr b) Ist der Regelkreis beobachtbar? (Begründen Sie Ihre Antwort!) x h x so, dass die Da der Zustandsvektor x nicht messtechnisch erfassbar ist, wird für die praktische Realisierung obiger Regelung ein Schätzwert ˆx herangezogen, d.h.: u =- hxˆ + Vr. Dafür soll ein asymptotischer Zustandsbeobachter der Form dxˆ ˆ ˆ u ˆy dt Ax b b verwendet werden. c) Ist dies prinzipiell möglich? Begründen Sie Ihre Antwort! Für den Vektor ˆb stehen zwei mögliche Varianten zur Auswahl: (i) b ˆ [ ] (ii) b ˆ [5 3] Wählen Sie einen Vektor ˆb und begründen Sie Ihre Wahl.