Schriftliche Prüfung aus Nichtlineare elektrische Systeme Teil: Dourdoumas am

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1 U Graz, Institut für egelungs- und Automatisierungstechnik Schriftliche Prüfung aus Nichtlineare elektrische Systeme eil: Dourdoumas am.. Name / Vorname(n): Kennzahl/ Matrikel-Nummer.: erreichbare Punkte 8 6 erreichte Punkte

2 U Graz, Institut für egelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe : Die Populationsentwicklung zweier Spezies, der Beutetiere x () t und der äuber x () t, wird durch folgende nichtlineare Differentialgleichungen beschrieben: (6.5x3 x) x, x x x ( 33 x x) x a) Bestimmen Sie die vier uhelagen x des Systems. b) Ermitteln Sie lineare und zeitinvariante Modelle der Form dζ Aζ mit xx ζ, ζ, welche das Verhalten des nichtlinearen Systems für kleine Auslenkungen ζ aus den ermittelten uhelagen näherungsweise beschreiben. c) Bestimmen Sie den Stabilitätscharakter aller uhelagen des nichtlinearen Systems. (Begründen Sie Ihre Antworten mathematisch.) d) Skizzieren Sie den Verlauf der rajektorien des um die uhelage x linearisierten Systems (mit Angabe des ichtungssinnes für wachsende Zeiten t) in der - Ebene für folgende Anfangszustände ζ ζ ( t ) : () () ζ und ζ. Hierbei muss der asymptotische Verlauf der rajektorien (t ) erkennbar sein! Aufgabe : Betrachten Sie folgendes ideale elektrische Netzwerk bestehend aus einer Stromquelle, einer Induktivität L sowie einer Kapazität C (siehe Skizze). Der von der Stromquelle gelieferte Strom wird mit i bezeichnet; mit u C symbolisieren wir die Spannung am Kondensator C, mit i L den Strom durch die Induktivität L. a) Führen Sie den sogenannten Zustandsvektor x [ u ] C il ein und ermitteln Sie ein Modell der Form i Ax b. b) Ist das System asymptotisch stabil, stabil oder instabil? (Geben Sie eine mathematische Begründung an!) c) Zeigen Sie, dass für den Fall L=C die rajektorien des freien Systems it ( ) Kreisen in der uc il- Ebene entsprechen.

3 U Graz, Institut für egelungs- und Automatisierungstechnik Schriftliche Prüfung aus Nichtlineare elektrische Systeme eil: Dourdoumas am.. Name / Vorname(n): Kennzahl/ Matrikel-Nummer.: erreichbare Punkte 8 6 erreichte Punkte

4 U Graz, Institut für egelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe : Betrachten Sie folgendes nichtlineare System mit dem sogenannten Zustandsvektor x x x : ( x3)( x 3) xxcos x 3 a) Bestimmen Sie die vier uhelagen x des Systems. b) Ermitteln Sie lineare und zeitinvariante Modelle der Form dζ Aζ mit xx ζ, ζ, welche das Verhalten des nichtlinearen Systems für kleine Auslenkungen ζ aus den jeweiligen uhelagen näherungsweise beschreiben. c) Bestimmen Sie den Stabilitätscharakter aller uhelagen des nichtlinearen Systems. (Begründen Sie Ihre Antworten mathematisch.) Aufgabe : Betrachten Sie folgendes mathematische Modell: 6 4 u 4 4 x a) Berechnen Sie die zwei Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren des Modells. b) Bestimmen Sie den Stabilitätscharakter des Systems. c) Skizzieren Sie den Verlauf der rajektorien (mit Angabe des ichtungssinnes für wachsende Zeiten t) in der x x-ebene für folgende Anfangszustände: () () (3) x,,. x 3 x 3 Hierbei muss der asymptotische Verlauf der rajektorien (t ) erkennbar sein!

5 U Graz, Institut für egelungs- und Automatisierungstechnik Schriftliche Prüfung aus Nichtlineare elektrische Systeme eil: Dourdoumas am 6.. Name / Vorname(n): Kennzahl/ Matrikel-Nummer.: erreichbare Punkte 8 6 erreichte Punkte

6 U Graz, Institut für egelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe : Betrachten Sie folgendes nichtlineare System mit dem sogenannten Zustandsvektor x x x : x(x 3 x) x x a) Bestimmen Sie die vier uhelagen x des Systems. b) Ermitteln Sie lineare und zeitinvariante Modelle der Form dζ Aζ mit xx ζ, ζ, welche das Verhalten des nichtlinearen Systems für kleine Auslenkungen ζ aus den jeweiligen uhelagen näherungsweise beschreiben. c) Bestimmen Sie den Stabilitätscharakter aller uhelagen des nichtlinearen Systems. (Begründen Sie Ihre Antworten mathematisch.) Aufgabe : Betrachten Sie folgendes rajektorienbild eines linearen, zeitinvarianten Systems der Form: Ax Die Eigenwerte der Matrix A liegen bei s und s. a) Bestimmen Sie zu den Eigenwerten s bzw. s passende Eigenvektoren p und p. b) Ermitteln Sie die Lösung x () t des Systems, wenn es zum Zeitpunkt t im Punkt x () 3 gestartet wird. c) Berechnen Sie die Systemmatrix A des Systems.

7 U Graz, Institut für egelungs- und Automatisierungstechnik Schriftliche Prüfung aus Nichtlineare elektrische Systeme eil: Dourdoumas am.4. Name / Vorname(n): Kennzahl/ Matrikel-Nummer.: erreichbare Punkte 6 4 erreichte Punkte

8 U Graz, Institut für egelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe Betrachten Sie folgendes ideale elektrische Netzwerk bestehend aus einer Spannungsquelle, einer Induktivität L, einer Induktivität L einem Ohmschen Widerstand und einem nichtlinearen Widerstand NL. Die von der Spannungsquelle gelieferte Spannung wird mit u symbolisiert. Für die Induktivitäten gelte L L L. u i i i NL L NL u NL L Die Kennlinie des nichtlinearen Widerstandes NL wird durch unl inl inl beschrieben. Hierbei bezeichnen unl die Spannung am nichtlinearen Widerstand und i NL durch den nichtlinearen Widerstand. den Strom a) Benützen Sie die Ströme i und i gemäß obiger Abbildung, führen Sie den sogenannten Zustandsvektor x [ i i] ein und ermitteln Sie ein mathematisches Modell der Form, u f x. Für bestimmte Parameterwerte des Netzwerkes ergibt sich folgendes nichtlineare System: ux( xx) ( xx) d t ( xx) ( xx) b) Bestimmen Sie alle uhelagen x des Systems für die konstante Eingangsgröße u u 5. c) Ermitteln Sie lineare und zeitinvariante Modelle der Form dζ Aζ b mit xx ζ und u=u, welche das Verhalten des nichtlinearen Systems für kleine Auslenkungen ζ und aus den ermittelten uhelagen näherungsweise beschreiben. d) Bestimmen Sie den Stabilitätscharakter aller uhelagen des nichtlinearen Systems. (Begründen Sie Ihre Antworten mathematisch)

9 U Graz, Institut für egelungs- und Automatisierungstechnik 3 Aufgabe : Gegeben sei ein mathematisches Modell. Ordnung der Form Ax y c x c x mit der konstanten Matrix A und den konstanten Parametern c und c. Zwei echtseigenvektoren der Systemmatrix A lauten p und p. Der zu p gehörige Eigenwert beträgt s 3. Ausgehend von einem bestimmten Anfangszustand x() x t wurde folgender Verlauf der Ausgangsgröße y gemessen: y() t 3 e. a) Ist das System asymptotisch stabil? (Geben Sie eine mathematische Begründung an!) b) Ermitteln Sie die Systemmatrix A und die ransitionsmatrix Φ () t. c) Skizzieren Sie in der Zustandsebene die rajektorien (mit Angabe des ichtungssinnes für wachsende t-werte) für die folgenden Anfangszustände x () () (3),, x x. Der asymptotische Verlauf der rajektorien ( t ) soll erkennbar sein!

10 U Graz, Institut egelungs- und Automatisierungstechnik Schriftliche Prüfung aus Nichtlineare elektrische Systeme am.5. Name / Vorname(n): Matrikel-Nr.: erreichbare Punkte 6 9 erreichte Punkte

11 U Graz, Institut egelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe Betrachten Sie folgende vier Systeme mit der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y: d a) y t 3 u t b) ( ) y t u t c) yt () ut () d) Die Eingangsgröße u t 4 t bewirkt die Ausgangsgröße y die Eingangsgröße u t t bewirkt die Ausgangsgröße y 8 y y t (grau in Abbildung), t (schwarz strichliert). y Untersuchen Sie obige Systeme auf Linearität. Geben Sie eine math. Begründung an! Aufgabe Betrachten Sie folgendes elektrische Netzwerk bestehend aus einer idealen Spannungsquelle, einer idealen Kapazität C, einer idealen Induktivität L, einem Ohmschen Widerstand und einem nichtlinearen Widerstand. Die von der idealen Spannungsquelle gelieferte Spannung wird mit u symbolisiert. C i L L t i u u C u Die Kennlinie des Widerstands wird durch folgende Funktion beschrieben: i u ( und sind reelle Konstanten, ungleich Null) a) Führen Sie den Zustandsvektor x [ u i ] ein und ermitteln Sie ein Modell der Form c L f(, u) x. b) Bestimmen Sie alle uhelagen x des obigen Systems. c) Betrachten Sie nun den Fall u. Ermitteln Sie lineare und zeitinvariante Modelle der Form dξ mit Aξ x x ξ, welche das Systemverhalten für kleine Auslenkungen ξ aus den ermittelten uhelagen x näherungsweise beschreiben. d) Bestimmen Sie den Stabilitätscharakter aller uhelagen des nichtlinearen (!) Systems in Abhängigkeit von und.

12 U Graz, Institut egelungs- und Automatisierungstechnik Schriftliche Prüfung aus Nichtlineare elektrische Systeme am 7.6. Name / Vorname(n): Matrikel-Nr.: 3 erreichbare Punkte erreichte Punkte

13 U Graz, Institut egelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe Betrachten Sie folgende zwei Systeme mit der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y: a) 8 y t u t Untersuchen Sie das System auf Zeitinvarianz. dy b) tyt () mit yt t y Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung und untersuchen Sie das System auf Zeitinvarianz. Geben Sie jeweils eine mathematische Begründung an! Aufgabe Gegeben sei ein nichtlineares System mit der reellen, skalaren Zustandsgröße x und der reellen Konstanten k: kxx a) Bestimmen Sie alle uhelagen x des Systems in Abhängigkeit von k. b) Bestimmen Sie den Stabilitätscharakter aller uhelagen. 3 Aufgabe 3 Gegeben sei ein System der Form: ( t ) x x x Skizzieren Sie den Verlauf der rajektorien (mit Angabe des ichtungssinnes für wachsende Zeiten t ) in der x x Ebene für folgende Anfangszustände: x ().5 () (3) (4),,, x x x Hierbei muss der asymptotische Verlauf der rajektorien (t ) erkennbar sein!