Systemtheorie. Vorlesung 6: Lösung linearer Differentialgleichungen. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

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1 Systemtheorie Vorlesung 6: Lösung linearer Differentialgleichungen Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

2 Einführung Viele technischen Anwendungen lassen sich zumindest näherungsweise als lineare, zeitinvariante Systeme beschreiben, die durch lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten können über eine sogenannte Vier- Schritt-Methode gelöst werden u(t) y (t) System mit Anfangsbedingung y(0) Lösungsverfahren wird vorgestellt Zur Charakterisierung von Systemen werden gerne Sprung- und Impulsantworten verwendet, sie können ebenfalls mit der Vier-Schritt-Methode berechnen werden Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2

3 Vier-Schritt-Methode Allgemeine Form der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten 2 N 2 M dy d y d y du d u d u n = N m M a y t a a... a b u t b b... b dt dt dt dt dt dt Zur Charakterisierung dieser Systeme wird das Einschwingverhalten y(t) eines Systems unter Berücksichtigung von Anfangswerten des Signals y(t = 0) bestimmt Diese Aufgabenstellungen werden in der Mathematik als Anfangswertprobleme bezeichnet, die Lösung dieser Anfangswertprobleme erfolgt mit der Vier-Schritt-Methode Vier-Schritt-Methode umfasst folgende Schritte Berechnung der allgemeinen homogenen Lösungen Berechnung einer partikulären Lösung Superposition von homogener und partikulärer Lösung Bestimmung der Konstanten über Anfangsbedingungen Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 3

4 Vier-Schritt-Methode Lösung der allgemeinen homogenen Differentialgleichung Bei homogenen Differentialgleichungen wird das Eingangssignal u(t) zu null gesetzt 2 N dyh d yh d yh a0 yh ( t) + a + a a 2 n = 0 N dt dt dt Sie besteht aus einer mit den Koeffizienten a n gewichteten Summe der Funktion y H (t) und ihren Ableitungen Zur Lösung wird eine Exponentialfunktion angesetzt, da ihre Ableitung wieder eine Exponentialfunktion ist t = y t Y e H 0 n dyh n dt n = Y0 e t Einsetzen in die homogene Differentialgleichung ergibt 2 N dyh d yh d yh 0 = a0 yh ( t) + a + a a 2 n N dt dt dt = a Y e + a Y e + a Y e a Y e t t 2 t N t N 0 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 4

5 Vier-Schritt-Methode Lösung der allgemeinen homogenen Differentialgleichung Gleichung ist für Y 0 = 0 erfüllt, Fall ist jedoch technisch weniger von Interesse Für Y 0 0 kann die Gleichung vereinfacht werden zu 0 = a + a + a a 2 N 0 2 N Mit der Gleichung werden die Werte n bestimmt, für die die Exponentialfunktion die vorliegende homogene Differentialgleichung löst, sie wird charakteristische Gleichung des Systems genannt Polynom N-ter Ordnung weist N Nullstellen auf, so dass N Werte N Lösungen der charakteristischen Gleichung sind Allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung y h (t) ergibt sich bei einfachen Werten n aus der Linearkombination 2 N = y t Y e Y e... Y e t t t H 2 N Existiert ein P-facher Wert, ergibt sich die homogene Lösung P 3 y t = Y e + Y t e Y t e + Y e + Y e Y e + t t t 2t t N P t H 2 P P+ P+ 2 N Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 5

6 Beispiel: Vier-Schritt-Methode Lösung der allgemeinen homogenen Differentialgleichung Ausgangsspannung des RC-Netzwerkes wird über eine lineare Differentialgleichung beschrieben du A R C + ua t = ue t dt R it Homogene Differentialgleichung lautet du AH R C + uah t = 0 dt ue ( t) C ua ( t) Einsetzen des Ansatzes AH t = u t U e H Charakteristischen Gleichung t t 0 R C UH e = + UH e = R C + Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 6

7 Beispiel: Vier-Schritt-Methode Lösung der allgemeinen homogenen Differentialgleichung Lösung der charakteristischen Gleichung = R C Lösung der homogenen Differentialgleichung R it AH H t RC u t = U e ue ( t) C ua ( t) Konstante U h ist zunächst unbekannt, sie wird später über die Anfangsbedingungen des Systems bestimmt Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 7

8 Vier-Schritt-Methode Berechnung einer partikulären Lösung Bestimmung einer partikulären oder speziellen Lösung der Differentialgleichung für u(t) 0 und t 0 2 N 2 M dy d y d y du d u d u n = N m M a y t a a... a b u t b b... b dt dt dt dt dt dt Wesentlich ist, dass eine beliebige partikuläre Lösung ausreicht, da sie durch Kombination mit der allgemeinen homogenen Lösung das Anfangswertproblem beschreibt Partikuläre Lösung der Differentialgleichung kann auf verschiedene Arten bestimmt werden, hier wird die Lösung durch Lösungsansätze vorgestellt Lösungsansätze sind im Allgemeinen von der Ordnung der Differentialgleichung abhängig, für eine konstanten Anregung u(t) = U kann immer der Ansatz y(t) = Y verwendet werden Freier Parameter Y des Lösungsansatzes ergibt sich aus dem vorliegenden Eingangssignal sowie der vorliegenden Differentialgleichung Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 8

9 Beispiel: Vier-Schritt-Methode Berechnung einer partikulären Lösung Berechnung der Systemreaktion auf ein konstantes Eingangssignal der Größe U Einsetzen des Eingangssignals u E (t) = U und des Ansatzes u AP (t) = U A0 in die Differentialgleichung du ( t) AP R C + uap t = U dt führt zu der Gleichung ue ( t) R it C ua ( t) R C 0 + U = U A0 Konstanten U und U A0 sind identisch, partikuläre Lösung lautet für t 0 AP u t = U Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 9

10 Vier-Schritt-Methode Superposition von homogener und partikulärer Lösung Sind die allgemeine homogene Lösung und die partikuläre Lösung bekannt, ergibt sich die Lösung der Differentialgleichung aus der Summe der beiden Lösungen = + y t y t y t H Für das Beispiel des RC-Gliedes mit der allgemeinen homogenen Lösung AH H und der partikulären Lösung P t RC u t = U e AP u t = U ergibt sich das Ausgangssignal zu t RC A = H + u t U e U Dabei ist die Konstante U H noch unbekannt Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 0

11 Vier-Schritt-Methode Bestimmung der Konstanten über Anfangsbedingungen Summe aus homogener und partikulärer Lösung weist Parameter auf, die bestimmt werden müssen Es kann gezeigt werden, dass bei einer Differentialgleichung N-ter Ordnung N Parameter bestimmt werden müssen, damit müssen N Bedingungen bekannt sein Bei Anfangswertproblemen sind diese Bedingung die Anfangswerte der Funktion y(t) und ihrer N - Ableitungen Bei dem RC-Netzwerk handelt es sich um ein System, das mit einer Differentialgleichung erster Ordnung beschrieben wird, Parameter der Spannung U H muss über die Anfangsbedingung u A (0) bestimmt werden 0 RC A = H + = H + u 0 U e U U U Lösung des Anfangswertproblems in Abhängigkeit der Ausgangsspannung u A (0) zum Zeitpunkt t = 0 zu u t ( u 0 U ) e U u ( 0) e U e t t t R C R C R C A A = + = A + Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

12 Ausgangsspannung u A (t) / V Beispiel: Vier-Schritt-Methode Bestimmung der Konstanten über Anfangsbedingungen Ausgangsspannung setzt sich aus zwei Termen zusammen u A (0) = V 0 V 2.5 V 5 V u t u 0 e U e t t R C R C A A = + Erster Term beschreibt das Abklingen der Anfangsbedingung Zweiter Term beschreibt die Reaktion des Systems auf einen Spannungssprung am Eingang Darstellung des Einschwingverhalten der Kondensatorspannung u A (t) für U = 5 V, R = 5 k und C = 4 nf bei unterschiedlichen Anfangswerten Zeit t / s Das Ausgangssignal schwingt abhängig von dem Anfangswert auf den Endwert von u A = 5 V ein Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2

13 Vier-Schritt-Methode Zusammenfassung Schritt Beschreibung Lösung der homogenen Differentialgleichung über Ansatz t = y t Y e H 0 durch Lösen der charakteristischen Gleichung 0 = a + a + a a 2 N 0 2 N 2 3 Bestimmung einer partikulären Lösung y P (t) - über einen Lösungsansatz je nach Eingangssignal - über die Methode Variation der Konstanten Superposition von allgemeiner homogener und spezieller partikulärer Lösung = + y t y t y t H P 4 Bestimmung der nicht definierten Konstanten über Anfangsbedingungen Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 3

14 Vier-Schritt-Methode Stabilität und charakteristische Gleichung Stabile Systeme kehren nach einer Anregung mit endlicher Energie wieder in ihren Ausgangszustand zurück Verhalten des Systems nach der Anregung wird durch die homogene Lösung der Differentialgleichung beschrieben, sie setzt sich bei einfachen Lösungen n aus einer Linearkombination von Exponentialfunktionen zusammen 2 N = y t Y e Y e... Y e t t t H 2 N Damit die homogene Lösung für t zu null wird, müssen die Lösungen n einen Realteil Re( n ) < 0 aufweisen, besitzt ein Wert n einen positiven Realteil, divergiert der entsprechende Summand der homogenen Lösung und damit auch die gesamte Lösung der homogenen Differentialgleichung Liegt mit eine P-fache Lösung der charakteristischen Gleichung vor, weisen die zugehörigen Summanden der homogenen Lösung Terme der Form P = y t Y e Y t e... Y t e t t t H 2 P Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 4

15 Vier-Schritt-Methode Stabilität und charakteristische Gleichung Exponentialfunktion fällt schneller und wächst schnelle als jede Potenz von t, damit konvergiert diese Summe ebenfalls für einen negativen Realteils Re( ) < 0, und sie divergiert für einen positiven Realteil Re( ) > 0, es ist unerheblich, ob die Lösungen n reell oder komplex sind Sonderfall: Lösungen mit einem Realteil Re( n ) = 0 dar. 0t 0 + j t 0 j t jt jt H y t = Y e + Y e + Y e +... = Y + Y e + Y e +.. Lösungen sind konstant bzw. schwingen mit konstanter Amplitude, für den Fall einfacher Lösungen liegt damit weder eine konvergente, noch eine divergente Lösung vor, Fall entspricht dem diskutierten Fall der Grenzstabilität des zugehörigen Systems Besitzt eine Lösung mit Re( n ) = 0 eine Vielfachheit von P >, entstehen Terme der Form 2 jt jt 2 jt jt jt 2 jt y t = Y + Y t + Y t Y e + Y t e + Y t e Y e + Y t e + Y t e +.. H Exponentialfunktion dämpft die Terme t n nicht, die Ausdrücke divergieren und damit die gesamte homogene Lösung, System ist instabil Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 5

16 Vier-Schritt-Methode Zusammenfassung Stabilität und charakteristische Gleichung Eigenschaft Asymtotisch stabiles System Lösungen n der charakteristischen Gleichung Alle Lösungen n besitzen einen negativen Realteil Re( n ) < 0 Grenzstabiles System Alle Lösungen n besitzen einen negativen Realteil Re( n ) < 0, zusätzlich liegt mindestens eine einfache Lösung mit Re( n ) = 0 vor Instabiles System Es existiert mindestens eine Lösung n mit positivem Realteil Re( n ) > 0 oder eine mehrfache Lösung mit Re( n ) = 0 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 6