Theorie digitaler Systeme

Transkript

1 Theorie digitaler Systeme Vorlesung 5: Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

2 Einführung Im zeitkontinuierlichen Bereich werden dynamische Systeme mit Differentialgleichungen beschrieben Lineare, zeitinvariante Systeme erlauben im zeitkontinuierlichen Bereich eine besonders anschauliche Lösung und Interpretation Für zeitdiskrete Systeme geht die Differentiation in einen Differenzenquotienten über, daraus resultiert die Beschreibung zeitdiskreter Systeme mit Differenzengleichungen Darstellungen für zeitdiskrete Systeme werden sich ebenfalls auf lineare, zeitinvariante Systeme konzentrieren Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2

3 Signalfolge y[k] Signalfolge y[k] Beispiel: Zurückgekoppeltes System Bei vielen Geräten wird versucht, Filter mit lgorithmen zu implementieren, die wenig Rechenzeit und Speicherelemente benötigen.5 Parameter GF =.2 Ein einfacher Filter ergibt sich mit < GF < aus der Gleichung y k = ( GF) u k + GF y k Folgenindex k Für kleine Werte von GF folgt das usgangssignal dem Eingangssignal Für große Werte ändert sich das usgangssignal nur sehr langsam.5.5 Parameter GF = Folgenindex k Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 3

4 Signalfolge Signalfolge Beispiel: Gleitender Mittelwert Zur Verringerung von Störeffekten wird der Mittelwert einiger aufeinander folgender Werte gebildet.5 Reaktion auf Sprung Vorgehen wird als gleitende Mittelwertbildung bezeichnet y k u k u k u k 2 u k 3 u k 4 5 ( ) = Folgenindex k usgangsfolge ist in diesem Fall nur von dem Eingangssignal abhängig uswirkungen auf Signal geringeres Rauschen Signal hat eine langsamer steigende Flanke Reaktion auf Rauschen Eingang u[k] usgang y[k] Folgenindex k Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 4

5 pplikation: Zeitdiskrete Systeme Darstellung der Wirkung eines rekursiven Filters und eines Mittelwertfilters auf verrauschtes Signal Link auf pplikation in Systemtheorie Online verfügbar Variation des Parameters GF beim rekursiven Filter verändert Einschwingverhalten und Rauschen nzahl gemittelter btastwerte hat ebenfalls Einfluss auf Einschwingverhalten und Rauschen Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 5

6 Signal Zeitdiskrete pproximation zeitkontinuierlicher System Beschreibung eines zeitkontinuierlichen linearen, zeitinvarianten Systems durch lineare Differentialgleichung N-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Zur zeitdiskreten Darstellung wird Integral durch Trapez approximiert kt ( ) k T u( t ) dt = ( u k + u k ) T 2 u[k] u[k-] pproximation der Integration führt zu der Summe aufeinanderfolgender btastwerte, die mit dem Faktor T multipliziert wird k- k Zeit t / T usgangssignal ergibt sich aus Summe von Folgenwerten, die jeweils um einen btastwert verschoben sind, Differenzengleichung Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 6

7 Signal u / V Signal u / V Beispiel: Zeitdiskrete pproximation zeitkontinuierlicher System naloger Tiefpass mit der Differentialgleichung btastzeit T = s du u t R C ue t dt ( ) + = ( ) 5 zeitkontinuierlich zeitdiskret Integration und Diskretisierung führt zu der Differenzengleichung u k = + + u k u k u k 2 R C / T u k E E + 2 R C / T Zeit / s btastzeit T = s Vergleich zwischen dem zeitkontinuierlichen und dem zeitdiskreten System bei unterschiedlichen btastzeiten 5 Güte der pproximation steigt mit sinkender btastzeit T Zeit / s Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 7

8 Beispiel: Switched-Capacitor-Schaltung Kondensator C E wird der aufgeladen Nach Umschalten des Schalters wird der Kondensator C E mit dem Knoten des Operationsverstärkers verbunden, der Kondensator wird dabei entladen Ladung q E [k] fließt zum Kondensator C u E C E () - + C u = + q k u k C q k E E Ladung wird summiert, Verhalten vergleichbar zu invertierendem Integrierer u k q k u k C q k ( ) = = + E E C C Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 8

9 Beschreibung zeitdiskreter Systeme Systembeschreibung erfolgt über eine Summe von Folgen, die um btastwerte verschoben sind In die Berechnung des usgangssignals gehen nicht nur aktuelle, sondern auch vergangene Werte ein = Beschreibung zeitinvarianter Systeme führt zu linearen Differenzengleichungen bzw. mit c = ( ) y k f y k,y k 2,...,u k,u k,u k 2,... N M c y k n = d u k m n n= m= M N = y k d u k m c y k n m m= n= m n Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 9