Zeitdiskrete Regelsysteme

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1 Institut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe Prof. Dr.-Ing. J. Roth-Stielow Umdruck 7: Zeitdiskrete Regelsysteme 7. Einführung Die Realisierung eines Regelrechengeräts kann mit Hilfe analoger Schaltungen (vgl. Umdruck 6) oder mit Hilfe von digitalen Rechnern erfolgen. Die Einstellparameter werden nicht mehr in Hardware, sonder durch Software eingestellt, was die Inbetriebnahme eines Regelsystems bedeutend vereinfacht. Jedoch müssen beim Einsatz digitaler Rechner deren Eigenschaften im Entwurfsprozess berücksichtigt werden. Realisierung RRG Einstellen der Einstellparameter Arbeitsweise Analoge Regelsysteme OP-Schaltungen Hardware Wert- und zeitkontinuierlich Digitale Regelsysteme Rechnersysteme (Bsp.: µc, FPGA,...) Software Wert- und zeitdiskret Soll eine Regel-Rechen-Gerät mit Hilfe eines Mikroprozessors (µp) realisiert werden, so muss die zeitdiskrete Arbeitsweise eines Rechnersystems in der Auslegung mit berücksichtigt werden. Auf Grund der heutzutage üblichen hohen Auflösung der A/D-Wandler kann die Wertediskretisierung vernachlässigt werden. Wichtige Abkürzungen: A z e p A Abtastzeit Definition der z-ransformation Blatt

2 Bild 7.: Analoges RRG (zeit- und wertekontinuierlich) Bild 7.2.: Digitales RRG (zeit- und wertediskret) Blatt 2

3 7.2 Quasi-kontinuierlicher Reglerentwurf (Quasi-analoge Regelungen) Die naheliegenste Methode ein Regelsystem auf ein digitales Rechnersystem zu übertragen besteht darin, die auf herkömmliche Weise berechneten Einstellparameter direkt zu verwenden. Dabei wird die zeitdiskrete Arbeitsweise des digitalen Systems nicht berücksichtigt. Dieses Vorgehen ist immer dann zulässig falls die Abtastzeit des Rechners sehr viel kleiner ist als die kleinste Zeitkonstante des Regelsystems (Richtwert: In vielen Anwendungsfällen ist dies ohne weiteres möglich (Bsp.: hermische und mechanische Regelstrecken), bei elektrischen Regelstrecken (Bsp.: Unterlagerte A ). 0 Stromregelung) können die Zeitkonstanten jedoch in Bereichen liegen in denen ein quasikontinuierlicher Ansatz nicht mehr zulässig ist. 7.3 Zeitdiskretes Modell einer Übertragungsstrecke 7.3. Die z-ransformation Um weitere analytische Untersuchungen zu Regelsystemen auf Basis digitaler Rechner anstellen zu können, wird eine mathematische Beschreibung des Übertragungsverhaltens der zu untersuchenden Regelstrecken unter Berücksichtigung der zeitdiskreten Arbeitsweise des RRG benötigt. Für diese Beschreibung des Übertragungsverhaltens kann die z-ransformation herangezogen werden, welche als diskrete Laplace-ransformation angesehen werden kann. Ziel der z-ransformation ist es die Berechnung des Übertragungsverhaltens von Signalfolgen in einen Bildbereich zu überführen in dem die Berechnungen vereinfacht werden. Der Übergang zwischen Laplace- und z-ransformation wird durch folgende Gleichung definiert: z e p A Erstellen eines zeitdiskreten Modells einer Übertragungsstrecke Für die Dimensionierung eines Regelsystems unter Berücksichtigung der zeitdiskreten Arbeitsweise muss die zu führende zeitkontinuierliche Regelstrecke mit Hilfe eines zeitdiskreten Modells beschrieben werden. Die Zustandsgrößen dieses zeitdiskreten Modells müssen zu allen Abtastzeitpunkten k A dieselben Werte aufweisen wie die kontinuierliche Regelstrecke. Das bedeutet, dass zeitdiskrete Modell einer Übertragungsstrecke beinhaltet sowohl die kontinuierliche Strecke als auch das S&H-Glied und die Abtastungen. Bild 7.2 zeigt dies im Blockschaltbild. Blatt 3

4 Bild 7.3: Zeitdiskretes Modell einer kontinuierlichen Übertragungsstrecke Zusätzlich soll das zeitdiskrete Modell, in Anlehnung an das physikalische Standardmodell, nur aus Verzögerern erster Ordnung ( z ) bestehen. Zur Herleitung des zeitdiskreten Modells müssen die Wechselwirkungen zwischen den Zustandsgrößen ( x,x 2,...,x n ), sowie die Wirkung der Eingangsgröße ( y ) auf die Zustandsgrößen und zwar von einem Abtastschritt auf den nächsten, bekannt sein. Diese Wechselwirkungen können allgemein mit Hilfe von n Differenzengleichungen. Ordnung beschrieben werden: x (k) k y(k ) k x (k ) k x (k ) k x (k ) y 2 2 n n x (k) k y(k ) k x (k ) k x (k ) k x (k ) 2 y n2 n x (k) k y(k ) k x (k ) k x (k ) k x (k ) n yn n 2n 2 nn n Die Koeffizienten k y,,k yn, sowie k,,k nn beschreiben die Wirkung der Größen untereinander von einem Abtastschritt auf den nächsten. Blatt 4

5 Sie können durch lösen der entsprechenden Differentialgleichung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen bestimmt werden. Die Definition der Koeffizienten und die zugehörigen Anfangsbedingungen werden wie folgt festgelegt: k y x (t) für t A y(t) Sprungfunktion, x (t) x t 0 2(t) x t 0 n(t) 0 t0 d.h. ky Wert der Sprungantwort von x (t) zum Zeitpunkt t A k x (t) für ta y(t) 0, x (t) x (t) x (t) 0 t0 2 t0 t0 x (t) t0 x (t) x (t) 0 t0 n t0 d.h. k Wert der Größe x (t) zum Zeitpunkt t A bei: - Stellgröße y = 0 - Anfangsbedingung x (t) t0 und - alle anderen Zustandsgrößen besitzen den Anfangswert Null Die so bestimmten Differenzengleichungen müssen in zeitdiskrete Systemgleichungen überführt werden, es ergeben sich folgende Zusammenhänge: y 2 2 n n x (z) z k y(z) k x (z) k x (z) k x (z) 2 y n2 n x (z) z k y(z) k x (z) k x (z) k x (z) n yn n 2n 2 nn n x (z) z k y(z) k x (z) k x (z) k x (z) Die Multiplikation von z entspricht einer Verzögerung um ein Abtastintervall. Mit den nun vorliegenden Gleichungen kann ein Blockschaltbild der Regelstrecke unter Berücksichtigung der zeitdiskreten Arbeitsweise des RRG erstellt werden. Blatt 5

6 Beispielsweise ergibt sich für eine Übertragungstrecke 2. Ordnung folgendes allgemeingültige Blockschaltbild: Bild 7.4: Allgemeingültiges Blockschaltbild einer zeitdiskreten Regelstrecke 2. Ordnung Daraus kann die Übertragungsfunktion der Regelstrecke abgeleitet werden: x (z) ky z k2 ky2 k22 ky y(z) z k k z k k k k s OR 2 F (z) Der Zusammenhang zwischen den beiden Zustandsgrößen kann ebenfalls als eine zeitdiskrete Übertragungsfunktion ausgedrückt werden: x k z k k k k 2(z) x (z) k z k k k k y2 2 y y2 y 2 y2 22 y Blatt 6

7 7.3.3 Alternative Möglichkeit die Koeffizienten der Differenzengleichung zu bestimmen Anstelle die Differentialgleichungen zu lösen können die Koeffizienten der Differenzengleichungen ( k y,k ) mit Hilfe von Messungen oder Simulationsergebnissen bestimmt werden. Dazu müssen die in Abschnitt eingeführten Anfangsbedingungen zur Bestimmung der jeweiligen Koeffizienten an die Regelstrecke angelegt, bzw. als Startbedingung in die Simulation eingefügt werden. Die Werte der gesuchten Koeffizienten ergeben sich aus den zeitlichen Verläufen der Zustandsgrößen zum Zeitpunkt t A. Mit Hilfe dieser Methode und einem Simulationsprogramm (Bsp.: Matlab/Simulink) können die gesuchten Koeffizienten sehr schnell gefunden werden. Allerdings fehlen dann allgemeingültige Bestimmungsgleichung, da diese Methode nur für konkrete Werte der Streckenparameter anwendbar ist. Beispiel: Parameter: Zeitkonstante 2 Zeitkonstante Abtastzeit A 00 ms 50 ms 20 ms Bild 7.5: Modell der kontinuierlichen Regelstrecke Blatt 7

8 Aus den Simulationsergebnissen ablesbare Koeffizienten: k y2 0,8 k y 0,03 Bild 7.6: Simulationsergebnisse der zeitkontinuierlichen Regelstrecke Blatt 8

9 7.4 Entwurf eines Regelsystems 7.4. Formales Vorgehen In der Vorlesung wurde die formale Entwurfsmethode (Kapitel 4.7) ausführlich behandelt. Der Vorteil dieser Methode ist der strenge Formalismus, der es ermöglicht auch für Systeme höherer Ordnung ein Regelsystem zu dimensionieren. Für Systeme niedriger Ordnung, die sich mit vertretbarem Aufwand noch als Blockschaltbild darstellen lassen, bietet sich jedoch ein Vorgehen an, das auch schon bei der Dimensionierung zeitkontinuierlicher Regelsysteme angewandt worden ist Entwurf mit Hilfe des zeitdiskreten Blockschaltbilds Mit Hilfe des Blockschaltbilds des geschlossenen Regelsystems kann die zeitdiskrete Führungsübertragungsfunktion F g(z) ermittelt werden. Diese wird mit einer Führungsübertragungsfunktion verglichen um daraus die Einstellparameter (K,K,...,K n ) zu dimensionieren. Beispiel: Bild 7.7: BSB eines zeitdiskretes Regelsystem. Ordnung Mit Hilfe des Blockschaltbilds kann direkt die zeitdiskrete Führungsübertragungsfunktion aufgestellt werden: F (z) g A 0 K z KK Mit dieser Führungsübertragungsfunktion kann analog wie unter 7.4. ein Koeffizientenvergleich mit einem gewünschten Sollverhalten durchgeführt werden um die Einstellparameter zu dimensionieren. A 0 Blatt 9

10 7.4.3 Festlegen eines gewünschten Einschwingverhaltens Die Sollübertragungsfunktion kann mit Hilfe der zeitdiskreten Polstellen vorgegeben werden. Häufig werden dies Polstellen durch ransformation von kontinuierlichen Polstellen in den z- Bereich festgelegt. Beispiel: Polstelle im Laplace-Bereich (kontinuierlich): p Polstelle im z-bereich (zeitdiskret): p z e A e A Geforderte Übertragungsfunktion:! F g(z) z z Dabei ist das K W der Übertragungsfunktion. Um ein K W = einzustellen muss die Sollübertragungsfunktion erweitert werden: Geforderte Übertragungsfunktion mit K W = :! F g(z) z z z Blatt 0

11 7.4.4 Endwertsatz und Stabilität Für die Bewertung eines Regelsystems ist das stationäre Verhalten, bzw. der eingeschwungene Zustand von Bedeutung ( t ). Dies entspricht im Laplace-Bereich dem Wert p 0. Um den stationären Wert einer zeitdiskreten Übertragungsstrecke zu erhalten, kann die Laplacevariable in den Übergang zwischen z- und Laplace-ransformation eingesetzt werden: p A p 0 z e p0 Für die Untersuchung des eingeschwungenen Zustands einer zeitdiskreten Übertragungsstrecke ist demnach z zu setzen. Die Stabilitätsuntersuchung für geschlossene zeitdiskrete Übertragungsstrecken kann in ähnlicher Weise hergeleitet werden (siehe Vorlesung). Zusammenfassend gelten folgende Aussagen: Eine Übertragungsfunktion besitzt: stabiles Verhalten, falls alle Polstellen einen Betrag kleiner eins aufweisen ( z ) labiles Verhalten, falls mindestens eine Polstelle einen Betrag von eins aufweist und keine der weiteren Polstellen einen Betrag größer eins aufweisen instabiles Verhalten, falls mindestens eine Polstelle einen Betrag größer als eins aufweist ( z ) Blatt

12 7.5 Synchronisierte Stellgrößenausgabe Kann die Rechentotzeit des digitalen Rechensystems nicht vernachlässigt werden, so muss dies in der Dimensionierung des RRG mitberücksichtigt werden. Dargestellt wird die nicht vernachlässigbare Rechentotzeit durch ein weiteres Verzögerungsglied am Ausgang des RRG. Durch diesen Verzögerer erhöht sich die Ordnung des Regelsystems um eins und der Ausgang des RRG wird als weitere Zustandsgröße gewichtet und zurückgeführt. Bild 7.9 zeigt ein Regelsystem mit Berücksichtigung der Rechentotzeit. Bild 7.8: Regelsystem mit vernachlässigbarer Rechentotzeit Bild 7.9: Regelsystem mit synchronisierter Stellgrößenausgabe Blatt 2