Im Folgenden: Methoden zur Beeinflussung des Störungsverhaltens unabhängig vom Führungs-FG.

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1 Institut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe Prof. Dr.-Ing. J. Roth-Stielow 1 Behandlung von Störgrößen in Regelsystemen In Regelungstechnik I: Hauptsächliches Augenmerk auf Führungsfrequenzgang. Einzige Methode zur Eliminierung von Störgrößen: Ausstattung des Reglers mit echtem Integralverhalten (überlagerte I-Regelschleife oder Bypass-Integrierer). Störungsübertragungsverhalten wurde zwar analysiert, konnte aber nur mittelbar (durch Ändern des Führungs-FG) beeinflusst werden. Ausnahme: Bypass-I-Regler; dort zusätzlich Eingriffsmöglichkeit über Zeitkonstante des Bypass-Integrierers. Aber: Spielraum für die Veränderung dieser Zeitkonstante ist gering. Im Folgenden: Methoden zur Beeinflussung des Störungsverhaltens unabhängig vom Führungs-FG. Im Abschnitt 1.1 zunächst Annahme: Zeitlicher Verlauf einer von außen an der Regelstrecke angreifenden Störgröße sei bekannt. (Methoden zur Ermittlung der Verläufe von Störgrößen werden im Abschnitt 1.2 detailliert vorgestellt) Unterlagen zur Vorlesung Regelungstechnik 2 Kapitel 1 Blatt 1

2 1.1.1 Störgrößenangriff am Eingang einer Regelstrecke Vorab: Allgemeine Verabredung zur Darstellung physikalischer und normierter Größen in den Anwendungsbeispielen zu dieser Vorlesung: Dort, wo aus dem Zusammenhang direkt hervorgeht, ob es sich um physikalische oder um normierte Größen handelt (z.b. in Ersatzschaltbildern oder in Blockschaltbildern) wird keine getrennte Kennzeichnung vorgenommen. Wo dies nicht der Fall ist (z.b. in Systemgleichungen) werden physikalische Größen - mit Ausnahme der Zeit - durch den Index "p" gekennzeichnet. Bezugs- bzw. Normierungsgrößen werden durch den Index "n" gekennzeichnet. Normierte Größen werden weiterhin wie die entsprechenden physikalischen Größen angesprochen (z.b. wird ein Strom ip auch nach erfolgter Normierung weiterhin als "Strom i" bezeichnet). Parameter von Übertragungsstrecken werden stets ohne den Index "p" dargestellt. Blatt 1

3 Anwendungsbeispiel: Lageregelung beim "Schwebenden Körper" Blockschaltbild der zu führenden Regelstrecke (Herleitung siehe "RT I") 1. Schritt: Aufbau eines schnellen und exakten Reglers für die Zugkraft f. (Funktion und Eigenschaften siehe Kapitel 2 von RT II ). Folge: Positionsregler gibt Kraftsollwert f soll vor. Für Positionsregler ist Vereinfachung f = f soll zulässig. f soll ist Stellgröße Blatt 2

4 Unter der Voraussetzung f = f soll : Verbleibende Übertragungsstrecke für den Positionsregler Dynamisches Verhalten wird beschrieben durch: T 0 dv dt = f - (f g + f z ) = f Σ (1-1.1) und T 0 dx dt = v (2-1.1) Im vorliegenden Beispiel: T 0 = 60ms (3-1.1) Blatt 3

5 Struktur des Regelsystems: Führungs-FG: F g (p) = = = x x soll 1 K 1 + p K 2 T 0 + p 2 T 0 2 K 1 1 K p K 2 T K 0 + p 2 T K K 1 =! K W pt + q 2 p 2 T 2 Blatt 4

6 Wahl der Eigenschaftsparameter: K W = 1 (stat. Führungsbeiwert) (4a-1.1) T = 42,5 ms (4b-1.1) q 2 = 0,25. (4c-1.1) Zugehörige Einstellparameter des RRG: K W = 1 erfordert: K 1 = 1 (5a-1.1) Dynamisches Verhalten des Regelkreises wird über K und K 2 festgelegt: K 2 = 0,71 (5b-1.1) K = 7,90. (5c-1.1) Blatt 5

7 Berechnung des Störungs-FG: Für w = 0 gilt f = f soll = y (ÜS) = (RRG) = p 2 T 0 2 x + z - K 1 + pt 0 K 2 x K (6-1.1) Separiert: Störungs-FG: z = - KK 1 + p KK 2 T 0 + p 2 2 T 0 x F gz (p) = x z = w=0 = - 1 K = - 1 K F g (p) x f g + f z 1 K 1 + p K 2 T 0 + p 2 T 2 0 K (5c-1.1) = - 0,13 F g (p) (7-1.1) Führungs-FG wie gewünscht; Störungs-FG so aber kaum tolerierbar. Blatt 6

8 Lösung: Nachbildung der Störgröße f g + f z und additives Aufschalten der nachgebildeten Störgröße (f g + f z ) * auf den Reglerausgang. Dadurch: Führungs-FG unverändert, aber Störungs-FG x = 0! f g + f z Blatt 7

9 Simulation der Positionsregelung für die Vorführanlage Schwebender Körper Betriebsablauf: Nach jeweils T spr = 0,6s wechselt der Lagesollwert zwischen den Werten x o = 0,8 (Abstand 7mm) und x u = 0,2 (Abstand 28mm); Die Stellgröße f wird auf den Bereich [0;2] begrenzt; Regelsystem ohne Störgrößenaufschaltung Blatt 8

10 Simulation der Positionsregelung für die Vorführanlage Schwebender Körper Betriebsablauf: Nach jeweils T spr = 0,6s wechselt der Lagesollwert zwischen den Werten x o = 0,8 (Abstand 7mm) und x u = 0,2 (Abstand 28mm); Die Stellgröße f wird auf den Bereich [0;2] begrenzt; Regelsystem mit Störgrößenaufschaltung Blatt 9

11 1.1.2 Störgrößenangriff im Inneren einer Regelstrecke Praktisches Beispiel: Spannungsregelung bei einem LC-Filter, das an einen Vierquadranten-Gleichstromsteller angeschlossen ist (Ausgangsfilter für ein Labor-Netzgerät größerer Leistung). Der Vierquadranten-Gleichstromsteller wird vereinfachend als stufenlos steuerbare Spannungsquelle vorausgesetzt. Ersatzschaltbild der Gesamtanordnung Aus regelungstechnischer Sicht sind in diesem System die Regelgröße x: die Kondensatorspannung u C, die Stellgröße y: die Spannung u und die Störgröße z: der Laststrom i R. Blatt 10

12 Physikalische Gleichungen der Übertragungsstrecke: L F di L,p dt = u p _ u C,p (8a-1.1) i C,p = i L,p _ i R,p (8b-1.1) C F du C,p dt = i C,p (8c-1.1) Normierung auf die Bemessungswerte u n bzw. i n : u = i = i C = i L = u C = i R = u p u n i p i n i C,p i n i L,p i n u C,p u n i R,p i n (9a-1.1) (9b-1.1) (9c-1.1) (9d-1.1) (9e-1.1) (9f-1.1) Blatt 11

13 Normierung der Gleichungen (8a-1.1) - (8c-1.1): aus (8a-1.1): i di di L T u u n L L F = L = C un dt dt = T L (10a-1.1) aus (8b-1.1): i C = i L _ i R (10b-1.1) und aus (8c-1.1): u du du C T i n C C F = C = C in dt dt = T C (10c-1.1) mit den Parametern T L = L F i n u n = 286 µs (10d-1.1) und T C = C F u n i n = 38,5 ms (10e-1.1) Blatt 12

14 Aus den Gln. (10a-1.1) - (10e-1.1) resultiert das folgende Blockschaltbild der Regelstrecke: Übertragungsfunktionen der Regelstrecke: Übertragungsfunktion der Regelstrecke: F s (p) OR = x y = u C u = p 2 T L T C (11-1.1) Störübertragungsfunktion der Regelstrecke: F z (p) OR = x z y=0 = u C i R u=0 = - p T L 1 + p 2 T L T C (12-1.1) Blatt 13

15 Aufbau eines Zustandsreglers für x = u C : Führungs-FG: Für z = i R = 0 gilt: y = u (ÜS) = 1 + p 2 (RRG) T L T C x = w - K 1 x - K 2 pt C x K Separiert: K w = x 1 + KK 1 + p KK 2 T C + p 2 T L T C Blatt 14

16 x w = u C u C,soll = 1+KK 1 K 1 + p K 2 T C + p 2 T L T C K (13a-1.1) mit und mit x w = K W p T + q 2 p2 T 2 (13b-1.1) K W = K 1 + KK 1, (14a-1.1) T = K W K 2 T C (14b-1.1) q 2 T 2 = K W T L T C K Gewählte Dimensionierung: (14c-1.1) K W = 1, T = 5 ms und q 2 = 0,5 (15a-1.1) Einstellparameter des RRG: K = K W T L T C q 2 T 2 = 0,88 (15b-1.1) K 2 = 1 T = 0,13 (15c-1.1) K T K 1 = W 1 K W - 1 K C = -0,14 (15d-1.1) Blatt 15

17 Störungs-FG: Für w = u C,soll = 0 gilt: y = u (ÜS) = 1 + p 2 T L T C x + pt L z Separiert: (RRG) = - K K 1 x + K 2 pt C x + z -z pt L + KK 2 = x 1 + KK 1 + pkk 2 T C + p 2 T L T C x z w=0 = u C i R uc,soll =0 = KK 1 K K 2 + p T L K + pk 2 T C + p 2 T L T C K mit (13a-1.1) = - mit (15-1.1) = - K 2 + p T L K x w 0,13 + 0,065pT 1 + pt + 0,5p 2 T 2 (16-1.1) Blatt 16

18 Reaktion der Kondensatorspannung u C auf eine sprungförmige Änderung des Laststroms i R zum Zeitpunkt t = 0 vom Wert 0 auf den Wert 1 durch Zuschalten einer ohmschen Last. (Regelsystem mit Rückführung des Drosselstroms) Blatt 17

19 Verbesserung: Rückführung von i L - z = i L - i R = i C anstelle von i L. neuer Störungs-FG: Ansatz: (ÜS) y = u = (RRG) - = 1 + p 2 T L T C x + pt L z K 1 x + K 2 pt C x K Blatt 18

20 Rechengang wie bei Gl. (16-1.1): x z w=0 = u C i R uc,soll =0 = KK 1 K p T L K + pk 2 T C + p 2 T L T C K mit (13a-1.1) = - p T L K x w mit (15-1.1) = - 0,065pT 1 + pt + 0,5p 2 T 2 (19-1.1) Blatt 19

21 Reaktion der Kondensatorspannung u C auf eine sprungförmige Änderung des Laststroms i R zum Zeitpunkt t = 0 vom Wert 0 auf den Wert 1 durch Zuschalten einer ohmschen Last. (verbessertes Regelsystem mit Rückf. des Kondensatorstroms) Blatt 20

22 LC-Filter mit Rückführung des Drosselstroms LC-Filter mit Rückführung des Kondensatorstroms Blatt 21

23 Anordnung zur Betrachtung eines Störgrößenangriffs im Inneren einer Regelstrecke: Blatt 22

24 Gliederung der ÜS: Blatt 23

25 Regelsystem mit Rückführung der Regelgröße x und deren ν- 1 Abl. n. d. Zeit sowie der Größe m und deren μ - 1 Abl. n. d. Zeit Blatt 24

26 Führungs-FG dieser Anordnung: Für z = 0 gilt: y (ÜS) = a x (p) a m (p) + r(p) x (RRG) = w K Außerdem: - C x1 + C x2 p C xν p ν-1 x K - C m1 + C m2 p C mμ p μ-1 m K (32-1.1) (26-1.1) m = e x = a x (p) x (33-1.1) Abkürzungen: C x1 + C x2 p C xν p ν-1 =! C x (p) (34a-1.1) C m1 + C m2 p C mμ p μ-1 =! C m (p) (34b-1.1) Damit aus (32-1.1): a x (p) a m (p) + r(p) x = w - C x (p) + C m (p) a x (p) x K F g (p) = = x w 1 C x (p) + C m (p) a x (p) + a x (p) a m (p) + r(p) K (35-1.1) Blatt 25

27 Störungsfrequenzgang dieses Regelsystems: Für w = 0 gilt: y (ÜS) = a x (p) a m (p) + r(p) x + a m (p) z (RRG) - = Außerdem: C x (p) x + C m (p) m K (36-1.1) (26-1.1) m = e x + z = a x (p) x + z (37-1.1) Damit aus (36-1.1): a x (p) a m (p) + r(p) x + a m (p) z Separiert: = - K C x (p) + C m (p) a x (p) x + C m (p) z x K C x (p) + C m (p) a x (p) + (a x (p) a m (p) + r(p)) F gz (p) = x z = - = - z K C m (p) + a m (p) C m (p) + a m (p) K a C x (p) + C m (p) a x (p) + x (p) a m (p) + r(p) K (35-1.1) = - C m (p) + a m (p) F K g (p) (38-1.1) Blatt 26

28 Maßnahme 1 zur Verringerung des Störgrößeneinflusses Blatt 27

29 Maßnahme 2 zur Verringerung des Störgrößeneinflusses Blatt 28

30 Beurteilung der Maßnahme 2: Vorteil: Vollständige Eliminierung der Wirkung der Störgröße z auf die Regelgröße x bei korrekter Annahme der Streckenparameter a m1, a m2, bis a m(µ+1). Nachteil: In der Praxis oft nicht einsetzbar, da z in vielen Fällen nicht oft genug differenzierbar ist. Betrachtung der beiden Fälle 1 und 3 als Sonderfälle des Störgrößenangriffs im Inneren der Regelstrecke: Störgrößeneingriff am Eingang der Regelstrecke (Fall 1): a m (p) = 1 ; r(p) = 0 Störgrößeneingriff am Ausgang der Regelstrecke (Fall 3): a x (p) = 1 ; r(p) = 0 Blatt 29

31 1.1.3 Zusammenfassung zur Behandlung von Störgrößen bei Kenntnis von deren zeitlichem Verlauf In vielen Fällen ist bei der Durchführung einer Störgrößenaufschaltung gemäß den Unterabschnitten und folgende Vorgehensweise günstig: 1. Aufbau eines Regelsystems mit Rückführung aller Zustandsgrößen und Auslegung des Regel-Rechen-Geräts so, dass das Regelsystem ein gewünschtes Führungsverhalten aufweist. 2. Berechnung der Störübertragungsfunktion, die sich bei dem Regelsystem ohne Störgrößenaufschaltung ergibt. Dabei ist es oft vorteilhaft, zunächst eine modifizierte Störgröße z' zu ermitteln, die am Summationspunkt am Eingang des Regelsystems angreift. Anschließend kann die Störübertragungsfunktion sofort in Abhängigkeit des Führungsfrequenzgangs angegeben werden. 3. Die resultierende Störübertragungsfunktion des Regelsystems mit Störgrößenaufschaltung ergibt sich mit Hilfe des Überlagerungssatzes aus der Übertragungsfunktion der Störgrößenaufschaltung und der Störübertragungsfunktion ohne Störgrößenaufschaltung. 4. Bei Kenntnis der Störübertragungsfunktion des Regelsystems ohne Störgrößenaufschaltung lassen sich Forderungen formulieren, die an die resultierende Störübertragungsfunktion des Regelsystems mit Störgrößenaufschaltung, und damit an die Störgrößenaufschaltung selbst, zu stellen sind, um z.b. - eine bleibende Regelabweichung bei einem Störgrößenangriff mit bleibendem Anteil zu vermeiden (Maßnahme 1); - den Einfluss der Störgröße auf die Regelgröße vollständig zu eliminieren (Maßnahme 2). 5. Der Einfluss einer nichtidealen Störgrößennachbildung (z* z) kann bei der Berechnung der resultierenden Störübertragungsfunktion des Regelsystems mit Störgrößenaufschaltung berücksichtigt werden. Blatt 30

32 Generell wurden nur Maßnahmen zur Verbesserung des Störverhaltens betrachtet, die keinen Einfluss auf den Führungsfrequenzgang des betrachteten Regelkreises nehmen. Nennerpolynom des Störungs-FG bleibt unverändert. Pole des Störungs-FG in der p-ebene bleiben damit ebenfalls unverändert. Pole des Führungs-FG in der p-ebene bleiben damit ebenfalls unverändert. Die untersuchten Maßnahmen beeinflussen stets das Zählerpolynom des Störungs-FG, so dass die Wirkung des betrachteten Störgrößeneingriffs auf die Regelgröße verringert oder sogar eliminiert wird. In und wurden die vorgestellten Maßnahmen nur in Kombination mit Reglern untersucht, die ein reines P- Verhalten aufweisen. Eine Anwendung in Verbindung mit Reglern, die ein echtes I-Verhalten aufweisen, ist ebenso möglich und oft sehr vorteilhaft. Blatt 31