Einführung in die Regelungstechnik I - Kontinuierliche Systeme -

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1 Überblick - Einführung in die Regelungstechnik I Einführung in die Regelungstechnik I - Kontinuierliche Ssteme - Kontinuierliche Ssteme. Beschreibung dnamischer Ssteme Torsten Kröger Technische Universität - 1/57 - Braunschweig - /57 - Überblick - Einführung in die Regelungstechnik II Einführung Reglerentwurf und diskrete Ssteme 1. Wiederholung. Reglerentwurf für kontinuierliche Ssteme 3. Beispiel 4. Einführung in die diskrete Signalverarbeitung 5. Z-Transformation 6. Digitale Regelung 7. Beispiel 8. Zusammenfassung Regelungstechnik automatisiert Vorgänge so, dass ein Zustand eingestellt wird oder erhalten bleibt. Regelkreise höherer Lebewesen: Pupille im Auge, Lichteinfall auf die Netzhaut Blutzucker, Blutdruck, CO -Gehalt im Blut Körpertemperatur Durch Kombinationen dieser Regelkreise: Aufrechter Gang Radfahren - 3/ /57 - Einführung Beispiele Technischer Regelkreise: Kesseltemperaturregelung Geschwindigkeitsregelung bei PKWs (Tempomat) Positionsregelung von Industrierobotern Kursregelung bei Flugzeugen - 5/ /57-1

2 - 7/ /57 - Einführung Einführung Kontrollierte Einwirkungen Stellgrößen Unkontrollierte Einwirkungen, Störungen Dnamisches technisches Sstem Nebeneffekte auf die Umgebung Umweltbedingte Änderung dnamischer Eigenschaften Technisch relevante Ausgangsgrößen Anhand der Sstemantwort unterscheidet man: Stabile Ssteme: Bei Anregung mit beschränkten Stellgrößen wird mit beschränkten Ausgangssignalen geantwortet. (BIBO-Stabilität: Bounded Input, Bounded Output) Instabile Ssteme: Anregung mit beschränkten Signalen erzeugt unbeschränkte Ausgangssignale. Praxis: ungewollte innere oder äußere Ausgangssignalbegrenzung Zerstörung des Sstems. - 9/ /57 - Aufgaben der Regelungstechnik Unterschied: Steuerung - Regelung Mathematische Modellierung eines Sstems (unter Berücksichtigung der statischen und vor allem der dnamischen Eigenschaften) Auf der Basis dieses Modells wird das Sstem mit einer technischen Einrichtung versehen (Steuereinheit, Regler), die dafür sorgt, dass Ausgangsgrößen einen bestimmten zeitlichen Verlauf annehmen. Anforderungen Stellgrößen Ausgangsgrößen Steuereinheit Störungen, Einflüsse Dnamisches technisches Sstem Vorwärtsgerichtete Signalverarbeitung - 11/ /57 -

3 Unterschied: Steuerung - Regelung Blockschema eines Regelkreises Störungen, Einflüsse Führungsgröße (Sollwert) Regeldifferenz Stellgröße Störgröße Regelgröße (Istwert) Anforderungen Stellgrößen Ausgangsgrößen Regler Dnamisches technisches Sstem w - e K Regler u d G Regelschleife G m Sensor Regeleinrichtung - 13/ /57 - Beispiel: Lenkung eines Autos Beispiel: Lenkung eines Schiffes Autofahrer (hier: Regler ) können nicht zwangsläufig auch Schiffe navigieren. Vergleichs- und Regelglied Sollkurs w Fahrer Stellglied Lenkrad Wind, Straßenzustand Fahrwerk Kurs Vergleichs- und Regelglied Sollkurs w Kapitän Stellglied Steuerrad Wind, Wasserströmung Ruder Kurs Auge Auge, Kompass Sensor Sensor - 15/ /57 - Beispiel: Regelung der Hauttemperatur Überblick Vergleichs- und Regelglied w Solltemp. Wärmezentrum im Zwischenhirn Stellglied Hautgefäße Schweißdrüsen Außentemperatur, körperliche Aktivität Haut Hauttemp.. Beschreibung dnamischer Ssteme Kälte- und Wärmesensoren der Haut Sensor - 17/ /57-3

4 c Beispiel: Mathematisches Pendel Differentialgleichungen Momentengleichung: d α m l l = m g l sin α dt Allgemeine Form: d l dt α + g sin α = 0 Normalform: g α l m Normiert: l d α + sin α = 0 g dt Lösungen von Differentialgleichungen beschreiben das Verhalten eines linearen Sstems vollständig! Alternativ zur Lösung im Zeitbereich kann ein Sstem auch im Frequenzbereich beschrieben werden. Voraussetzung: Linearität Kausalität Zeitinvarianz Laplacetransformation - 19/ /57 - Laplacetransformation Laplacetransformation Erweiterung der Fouriertransformation absolute Integrierbarkeit nicht vorausgesetzt komplexe Frequenz Damit kommt man zur ÜBERTRAGUNGSFUNKTION: Bedingung - 1/ /57 - Zur Anwendung der Laplacetransformation Beispiel: irp-lkw u(t) Lösen der DGL (t) LKW mit Masse m und Zugkraft F a Feder mit Steifigkeit k Eingangs-/Stellgröße: F a Ausgangs-/Regelgröße: Laplacetransformation Inverse Laplacetransformation Dämpfer mit Koeffizient c U(s) U(s) multipliziert mit G(s) Y(s) F a - 3/ /57-4

5 c c c Beispiel: irp-lkw Beispiel: irp-lkw Aufgabe der Regelung: Einstellen eines Sollwertes für den Abstand F F F T F A F D F A - 5/ /57 - Beispiel: irp-lkw Charakterisierung dnamischer Ssteme Übertragungsfunktion: Die Charakterisierung linearer dnamischer Ssteme erfolgt durch Testsignale. F F Sprungfunktion σ(t) mit Sprungantwort h(t) 0, t < 0 σ ( t) = 1, t 0 F T F D F A x( t) = σ ( t) 1 X ( s) = s - 7/ /57 - Charakterisierung dnamischer Ssteme Frequenzgang Distribution: δ ( t) = 0, t 0 Impulsfunktion (Dirac-Impuls) δ(t) mit Impulsantwort g(t) t = + mit δ ( τ ) f ( τ ) dτ = f (0) t = Liefert Real- und Imaginärteil der Sstemantwort x( t) = δ ( t) X ( s) = 1-9/ /57-5

6 Ortskurve Bode-Diagramm Grafische Darstellung des Frequenzgangs in der komplexen Ebene. Teilung des Frequenzgangs nach Betrag und Phase ω wird logarithmisch aufgetragen - 31/ /57 - Pol-Nullstellen-Diagramm Überblick Aufteilung in Pole und Nullstellen Im(s). Beschreibung dnamischer Ssteme Re(s) Pol ( Nullstellen des Nennerpolnoms) Nullstelle ( Nullstellen des Zählerpolnoms) - 33/ /57 - Proportionalfaktor, P-Glied Integrator, I-Glied Sprungantwort: Bode-Diagramm: - 35/ /57-6

7 Verzögerungsglied erster Ordnung, PT 1 -Glied Differenzierer mit Verzögerung, DT 1 -Glied Sprungantwort: Bode-Diagramm: Sprungantwort: Bode-Diagramm: - 37/ /57 - Weitere Einzelelemente Überblick Allgemeines rationales Element erster Ordnung (PDT 1, PT 1 D) Verzögerungsglied zweiter Ordnung (PT, Beispiel: irp-lkw) Laufzeitglied. Beschreibung dnamischer Ssteme und weitere / /57 - Der Regelkreis Der Regelkreis Bis jetzt: Beschreibung dnamischer Ssteme im Zeit- und Freuquenzbereich Problem Einstellung eines Sollwertes möglichst schnell Führungsgröße (Sollwert) w - e K(s) Regler u G(s) Regelgröße (Istwert) ohne große Überschwinger stabil Lösung: Entwurf eines Reglers Übertragungsfunktion für den Regler:? - 41/ /57-7

8 Die Kreisübertragungsfunktion Anforderungen an den Regler w - e K(s) Regler u G(s) Ein Regler beeinflusst Amplitude und Häufigkeit von Lastwechseln, beides soll nach Möglichkeit auf ein Minimum reduziert werden! Anforderungen: - Stabilität des geschlossen Kreises (G g stabil) - Im Arbeitsbereich der Regelung (ω = 0.. ω g ) gutes Führungsverhalten, d.h. - Gutes Störungsverhalten - Robustheit gegen Parametervariation der Übertragungsfunktion für den geschlossenen Regelkreis: - Breiter Nutzungsfrequenzbereich, d.h. ω g möglichst groß - 43/ /57 - Anforderungen an den Regler Stabilität, Hurwitz-Kriterium Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises: Wenn das charakteristisches Polnom eines Sstems ein Hurwitz-Polnom ist, ist es stabil. Ein Polnom ist genau dann und nur dann ein Hurwitz-Polnom, wenn - alle Koeffizienten a i von Null verschieden sind, - alle Koeffizient a i ein positives Vorzeichen haben und - alle n Hurwitz-Determinanten positiv sind - 45/ /57 - Stabilität, Hurwitz-Kriterium Stabilität Hurwitz-Determinanten D i des charakteristischen Polnoms Anmerkung: Koeffizienten mit mit Indizes größer als n werden durch Nullen ersetzt. Weitere Stabilitätskriterien: - Phasenintegral: durch Pole und Nullstellen in der komplexen Ebene - Nquistkriterium: graphisch anhand der Ortskurve - Ljapunow-Methode: Energiebetrachtung (auch für nichtlineare Ssteme) - 47/ /57-8

9 Offener Kreis - geschlossener Kreis Überschwingweite e max und Ausregelzeit t ε - 49/ /57 - Regelfläche Überblick. Beschreibung dnamischer Ssteme - 51/ /57 - Zusammenfassung Überblick - Es wurden nur lineare dnamische Ssteme betrachtet. - Dnamische Ssteme werden durch Differentialgleichungen beschrieben, die durch Laplacetransformation in den Frequenzbereich transformiert werden. - Das Verhältnis von Ausgangssignal und Eingangssignal wird durch die Übertragungsfunktion G(s) beschrieben. - Regelungstechnische n werden durch elementare Einzelelemente beschrieben und charakterisiert.. Beschreibung dnamischer Ssteme - Die Stabilität dnamischer Ssteme muss auf jeden Fall gewährleistet sein. - 53/ /57-9

10 Literatur Ausblick - Einführung in die Regelungstechnik II - Föllinger, Otto: Regelungstechnik, Hüthig Verlag, Lunze, Jan: Regelungstechnik 1 +, Springer Verlag Leonard, Werner: Einführung in die Regelungstechnik, Vieweg Verlag, Schumacher, Walter: Grundlagen der Regelungstechnik, Vorlesungsskript, Föllinger, Otto: Laplace-, Fourier- und z-transformation, Hüthig Verlag, Lutz, Holger und Wendt, Wolfgang: Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harri Deutsch, 00 Reglerentwurf und diskrete Ssteme 1. Wiederholung. Reglerentwurf für kontinuierliche Ssteme 3. Beispiel 4. Einführung in die diskrete Signalverarbeitung 5. Z-Transformation 6. Digitale Regelung 7. Beispiel 8. Zusammenfassung - 55/ /57 - Danksagung Dieser Vortrag lehnt sich in vielen Punkten an den Aufbau der Vorlesung Grundlagen der Regelungstechnik von Prof. Schumacher an. An dieser stelle sei dem Institut für Regelungstechnik für die freundliche Zusammenarbeit gedankt. - 57/57-10