Beschreibung linearer Systeme im Frequenzbereich

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1 Beschreibung linearer Systeme im Frequenzbereich Jan Albersmeyer Seminar Regelungstechnik Ziel Man möchte das Verhalten linearer Systeme der Form in Abhängigkeit der Steuerungen u(t) beschreiben Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 2 1

2 Bisheriger Ansatz: Allgemeine Lösung der linearen DGL oder Lösung mittels des Zustandsraummodells Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 3 Anderer Ansatz: Frequenzbereichsbeschreibung Idee Zerlege Eingangssignal u(t) in sinusförmige Anteile Betrachte Systemantworten für jeden einzelnen sinusförmigen Anteil von u(t) Bestimme Ausgangsgröße y(t) durch Überlagerung aller einzelnen Systemantworten (Superposition der Lösungen eines linearen Systems) Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 4 2

3 Inhalt I Zerlegung der Ausgangssignale in Elementarsignale Fourierreihe Fouriertransformation Laplacetransformation Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 5 Inhalt II Berechnung der Systemantworten Frequenzgang Übertragungsfunktion Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 6 3

4 Inhalt III Zusammenhang zwischen Zeitbereich und Frequenzbereich Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion Zeitkonstantenform der Übertragungsfunktion Berechnung des Systemverhaltens mittels der Übertragungsfunktion Eigenschaften wichtiger Übertragungsglieder im Frequenzbereich Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 7 Zerlegung des Eingangssignals Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 8 4

5 Unterscheidung: Zerlegung des Eingangssignals Periodische Signale Fourierreihe Nicht periodische Signale Fouriertransformation Laplacetransformation Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 9 Fourierreihe Wir haben eine periodische Funktion f(t) welche die sog. dirichletschen Bedingungen erfüllt: Es existiert endliche Zerlegung des Definitionsbereiches, auf der f monoton und stetig ist Grenzwerte in den Unstetigkeitsstellen müssen existieren Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 10 5

6 Dann kann man f darstellen als: mit: Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 11 Also kann man f darstellen als eine Überlagerung von Sinus- und Kosinusschwingungen mit diskreten Frequenzen. Wenn man jetzt von periodischen Eingangssignalen hin zu nichtperiodischen möchte, kann man diese als eine Funktion mit unendlicher Periodendauer auffassen und man braucht zur Darstellung ein kontinuierliches Frequenzspektrum Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 12 6

7 Fouriertransformation Wir haben eine Funktion f, die die Bedingungen für eine Fourierreihe erfüllt, also insbesondere absolut integrierbar ist. ( stabile Funktion ) Dann erhält man die Fouriertransformierte von f: Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 13 Man kann dann schließlich f mittels der Fourierumkehrtransformation als Summe von Elementarsignalen mit kontinuierlichem Frequenzspektrum beschreiben: Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 14 7

8 Laplacetransformation Fouriertransformation: f muss wegen Forderung der abs. Integrierbarkeit im Unendlichen verschwinden. z.b. die Sprungfunktion hat keine FT Idee der Laplacetransformation: Betrachte statt f(t) modifiziertes Signal: Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 15 Dann ist das modifizierte Signal für genügend großes Delta abs. integrierbar, falls f(t) nicht stärker als exponentiell wächst und man erhält die Laplacetransformierte als und für die Darstellung von f(t) mittels der Rücktransformierten entsprechend Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 16 8

9 Definitionsbereich der LT: Konvergenz des Integrals nur in der Halbebene für genügend großen Realteil (Delta) F(s) stellt dort analytische Funktion dar. Sie kann analytisch fortgesetzt werden auf die ganze komplexe Ebene bis auf singuläre Punkte. Gehe daher davon aus, dass LT F(s) in komplexer Ebene ohne singuläre Punkte existiert. Benutze in Zukunft normalerweise LT, weil am weitesten einsetzbar Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 17 Eigenschaften der LT Überlagerungssatz Verschiebungssatz Grenzwertsätze Satz vom Anfangswert Satz vom Endwert Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 18 9

10 Differentiationssatz Integrationssatz Faltungssatz Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 19 Berechnung der Systemantworten Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 20 10

11 Frequenzgang Berechnung der Systemantworten Definition und Berechnung Interpretation Eigenschaften Graphische Darstellung Ortskurve Bode-Diagramm Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 21 Berechnung der Systemantworten Übertragungsfunktion Definition und Berechnung Eigenschaften Graphische Darstellung Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 22 11

12 Frequenzgang Stabiles lineares System mit sinusförmigem Eingangssignal Betrachte Systemausgang für großes t (stationäre Bewegung) Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 23 Berechne Ausgangsamplituden aus E/A Beschreibung Zuerst für Man erhält Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 24 12

13 Stationärer Anteil Definiere den Frequenzgang G als und es folgt Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 25 Für sinusförmiges Signal erhält man durch Überlagerung und damit für gesuchte Amplitude Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 26 13

14 Interpretation des Frequenzgangs Zerlege Frequenzgang Amplitudenveränderung Phasenverschiebung Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 27 Frequenzgang gibt also an Wie Eingangssignal in Abhängigkeit von Frequenz verstärkt oder abgeschwächt wird (Amplitudengang). Wie sehr Ausgangssignal verzögert wird (Phasengang). Frequenzgang über dem gesamten Frequenzbereich betrachtet ist also eindeutige Beschreibung des E/A- Verhaltens des Systems Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 28 14

15 Berechnung des Frequenzgangs aus der DGL Es gilt und damit Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 29 Einsetzen in DGL liefert und schließlich Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 30 15

16 Eigenschaften Für technisch interessante Systeme Nennergrad q höchstens Zählergrad n Statische Verstärkung des Systems Signale hoher Frequenzen Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 31 Nicht sprungfähige Systeme können also Signale von sehr hoher Frequenz nicht übertragen Für sprungfähige nähert sich Amplitudengang dem Durchgriff Symmetrien im Argument Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 32 16

17 Graphische Darstellung Ortskurve Graphische Darstellung von G in der komplexen Ebene für den kompletten Frequenzbereich Wegen Symmetrie normalerweise nur positiver Bereich Hauptteil der Ortskurve durch kleinen Frequenzbereich bestimmt Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 33 Beginn mit statischer Verstärkung Ende in 0 (nicht sprungfähige Systeme) bzw. Ende im Durchgriff (sprungfähige) Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 34 17

18 Bode-Diagramm (Frequenzkennlinien-Diagramm) Separate logarithmische Darstellung von Betrag des Frequenzgangs Phase des Frequenzgangs in Abhängigkeit von Frequenz Bezeichnet als Amplitudenkennlinie Phasenkennlinie Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 35 Bode-Diagramm leicht in Ortskurve umwandelbar Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 36 18

19 Übertragungsfunktion Erweiterung des Frequenzgangs auf Exponentialsignale Definiert als wobei alle Anfangsbedingungen als 0 angenommen werden Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 37 Zerlegung in Betrag und Phase Beziehung wie beim Frequenzgang (Frequenzgang durch Grenzwertbildung) Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 38 19

20 Zur Bestimmung des Amplitudengangs auch bei instabilen Systemen nur stationäres Verhalten betrachten (auch bei instabilen Systemen i.a. sinusförmig) Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 39 Berechnung des Übertragungsverhaltens mit Hilfe der Übertragungsfunktion Es folgt aus der Definition als E/A- Beschreibung Danach Laplacerücktransformation Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 40 20

21 Berechnung der Übertragungsfunktion aus der Gewichtsfunktion Aus E/A Beschreibung bekommt man mit Faltungssatz der LT Durch Vergleich Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 41 Berechnung der Übertragungsfunktion aus der DGL Aus DGL mittels Überlagerungs- und Differentiationssatz der LT Führt analog zum Frequenzgang auf Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 42 21

22 Darstellung als gebrochen rationale Funktion stets möglich für Systeme, die durch gew. DGL mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden können. Betrachte im Folgenden nur solche Übertragungsfunktionen Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 43 Berechnung der Übertragungsfunktion aus dem Zustandsraummodell Elementweise LT für Zustandsvektor x Differentiationssatz und Überlagerungssatz der LT Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 44 22

23 Inverse existiert für alle s außer für Aus Ausgabegleichung Zusammengefasst (Zur Berechnung der Inversen: Fadeev- Algorithmus) Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 45 Eigenschaften der Übertragungsfunktion Analog zu Frequenzgang: Statische Verstärkung Verhalten für hohe Frequenzen Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 46 23

24 Graphische Darstellung Komplexe Funktion komplexer Variable Dreidimensionale Darstellung für Amplitude und Phase Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 47 Dreidimensionale Darstellung nicht sehr übersichtlich Es reicht auch meist Darstellung wie beim Frequenzgang zur Beschreibung Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 48 24

25 Zusammenhang zwischen Zeitbereich und Frequenzbereich Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 49 Zusammenhang Zeit- und Frequenzbereich Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion Pol Nullstellenform der Übertragungsfunktion Interpretation der Pole und Nullstellen Pole und Eigenwerte der Systemmatrix A Nullstellen und Blockierung von Frequenzen Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 50 25

26 Zusammenhang zwischen Zeitbereich und Frequenzbereich Zeitkonstantenform der Übertragungsfunktion Berechnung des Systemverhaltens mittels der Übertragungsfunktion Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 51 Zusammenhang zwischen Zeitbereich und Frequenzbereich Übertragungsfunktionen zusammengeschalteter Übertragungsglieder Reihenschaltung Parallelschaltung Rückführschaltung Beziehungen zwischen Kennfunktionen im Zeit-/Frequenzbereich Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 52 26

27 Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion Aus Darstellung durch Zerlegung von Zähler und Nenner in Linearfaktoren Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 53 Pol-Nullstellen-Form Graphische Darstellung mittels Pol-Nullstellen- Bild Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 54 27

28 Nullstellen des Zählers heißen Nullstellen Nullstellen des Nenners heißen Pole Nennerpolynom heißt charakteristisches Polynom des Systems Zugehörige Gleichung heißt charakteristische Gleichung Entspricht der charakteristischen Gleichung der Systemmatrix A Falls sich Pole gg. Nullstellen rauskürzen, so werden nicht alle Zustände angeregt oder tragen nicht alle zur Ausgabe bei (vgl. kanonische Darstellung, in der nicht alle Lambdas vorkommen) Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 55 Interpretation der Pole Pole der ungekürzten Übertragungsfunktion entsprechen genau den Eigenwerten der Systemmatrix A Eigenbewegung des Systems setzt sich aus Exponentialfunktionen zusammen, bei denen die Pole im Exponenten vorkommen System ist genau dann stabil, falls alle Realteile der Pole negativ sind Frequenzen im Eingangssignal, die Polen entsprechen, werden unendlich verstärkt ( peaks nach oben in der 3D-Darstellung) Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 56 28

29 Interpretation der Nullstellen Nullstellen entsprechen Frequenzen, für die G(s) Null wird. Ausgangsgröße Y besitzt keine Komponente mit Frequenz der Nullstelle System blockiert diese Frequenzen Evtl. nur noch Übergangsverhalten, falls Eingabesignal nur aus Nullfrequenzen besteht Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 57 Zeitkonstantenform der Übertragungsfunktion Definiere Zeitkonstanten (Zeitpunkt, zu dem zum Pol gehörender Eigenvorgang auf e-ten Teil von AW angenommen hat ). Nur für stabile Systeme und analog Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 58 29

30 Man erhält Zeitkonstantenform der Übertragungsfunktion Für reelle Pole und Nullstellen mit erhalte Summenzeitkonstante Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 59 Berechnung des Systemverhaltens mittels der Übertragungsfunktion Gegeben: Übertragungsfunktion G(s) Eingangssignal u(t) Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 60 30

31 1. Berechne Laplacetransformierte des Eingangssignals 2. Berechne LT des Ausgangssignals aus der LT der Eingangsgröße und der Übertragungsfunktion 3. Bestimmung des Ausgangssignals durch Laplacerücktransformation Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 61 Rechenschema Schwierigster Schritt: Laplacerücktransformation Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 62 31

32 Übertragungsfunktion zusammengeschalteter Übertragungsglieder Gegeben: 2 Teilsysteme Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 63 - Für Reihenschaltung gilt Daraus folgt Analog zum Zeitbereich Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 64 32

33 Schaltbildansicht Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 65 - Für Parallelschaltung gilt Daraus folgt Analog zum Zeitbereich Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 66 33

34 Schaltbildansicht Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 67 - Für Rückführschaltung gilt Daraus folgt und Im Zeitbereich ist nur implizite Formulierung möglich Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 68 34

35 Schaltbildansicht Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 69 Beziehungen zwischen Kennfunktionen im Zeitbereich und Frequenzbereich Zeitbereich Gewichtsfunktion Frequenzbereich Übertragungsfunktion Übergangsfunktion Integrationssatz der LT Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 70 35

36 Zeitbereich Statische Verstärkung Frequenzbereich Statische Verstärkung Anfangswert der Übergangsfunktion Endwert des Frequenzgangs Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 71 Graphischer Vergleich zwischen Übergangsfunktion und Frequenzgang Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 72 36

37 Eigenschaften einiger Übertragungsglieder im Frequenzbereich Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 74 37

38 Literatur Lunze: Regelungstechnik I, Kapitel Jan Albersmeyer - Seminar Regelungstechnik 75 38